Einführung in Elliptische Funktionen und Integrale (Maxima Manual)

22.6.1 Einführung in Elliptische Funktionen und Integrale

Maxima unterstützt die Jacobischen elliptische Funktionen sowie die vollständigen und unvollständigen elliptischen Integrale. Die Funktionen sind für das symbolische und numerische Rechnen geeignet. Die Definition der Funktionen und viele ihrer Eigenschaften sind in Abramowitz and Stegun, Kapitel 16 und 17 enthalten. Die dort beschriebenen Definitionen und Beziehungen werden so weit als möglich verwendet.

Im besonderen nutzen alle elliptischen Funktionen und Integrale den Parameter \(m\) anstatt den Modulus \(k\) oder den modularen Winkel \(\alpha\). Dies ist ein Unterschied zu der Definition von Abramowitz und Stegun. Es gelten die folgenden Beziehungen:

Die elliptischen Funktionen und Integrale sind zuallererst für das symbolische Rechnen gedacht. Daher sind die Ableitungen und Integrale der Funktionen im wesentlichen in Maxima bekannt. Maxima unterstützt jedoch auch die numerische Berechnung, wenn die Argumente Gleitkommazahlen sind.

Viele bekannte Eigenschaften der Elliptischen Funktionen und Integrale sind noch nicht in Maxima implementiert.

Einige Beispiele für elliptische Funktionen.

(%i1) jacobi_sn (u, m);
(%o1)                    jacobi_sn(u, m)
(%i2) jacobi_sn (u, 1);
(%o2)                        tanh(u)
(%i3) jacobi_sn (u, 0);
(%o3)                        sin(u)
(%i4) diff (jacobi_sn (u, m), u);
(%o4)            jacobi_cn(u, m) jacobi_dn(u, m)
(%i5) diff (jacobi_sn (u, m), m);
(%o5) jacobi_cn(u, m) jacobi_dn(u, m)

      elliptic_e(asin(jacobi_sn(u, m)), m)
 (u - ------------------------------------)/(2 m)
                     1 - m

            2
   jacobi_cn (u, m) jacobi_sn(u, m)
 + --------------------------------
              2 (1 - m)

Einige Beispiele für elliptische Integrale.

(%i1) elliptic_f (phi, m);
(%o1)                  elliptic_f(phi, m)
(%i2) elliptic_f (phi, 0);
(%o2)                          phi
(%i3) elliptic_f (phi, 1);
                               phi   %pi
(%o3)                  log(tan(--- + ---))
                                2     4
(%i4) elliptic_e (phi, 1);
(%o4)                       sin(phi)
(%i5) elliptic_e (phi, 0);
(%o5)                          phi
(%i6) elliptic_kc (1/2);
                                     1
(%o6)                    elliptic_kc(-)
                                     2
(%i7) makegamma (%);

                                 2 1
                            gamma (-)
                                   4
(%o7)                      -----------
                           4 sqrt(%pi)

(%i8) diff (elliptic_f (phi, m), phi);
                                1
(%o8)                 ---------------------
                                    2
                      sqrt(1 - m sin (phi))
(%i9) diff (elliptic_f (phi, m), m);
       elliptic_e(phi, m) - (1 - m) elliptic_f(phi, m)
(%o9) (-----------------------------------------------
                              m

                                 cos(phi) sin(phi)
                             - ---------------------)/(2 (1 - m))
                                             2
                               sqrt(1 - m sin (phi))

Die Implementierung der elliptischen Funktionen und Integrale wurde von Raymond Toy geschrieben. Der Code steht wie Maxima unter der General Public License (GPL).