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23.4 Funktionen und Variablen für Fourierreihen

Funktion: equalp (x, y)

Gibt true zurück, wenn equal(x, y) das Ergebnis true hat. Ansonsten ist das Ergebnis false.

Funktion: remfun (f, expr)
Funktion: remfun (f, expr, x)

remfun(f, expr ersetzt f(arg) durch arg im Ausdruck expr.

remfun(f, expr, x) ersetzt f (arg) durch arg im Ausdruck expr nur dann, wenn arg die Variable x enthält.

Funktion: funp (f, expr)
Funktion: funp (f, expr, x)

funp(f, expr) hat das Ergebnis true, wenn der Ausdruck expr die Funktion f enthält.

funp(f, expr, x) hat das Ergebnis true, wenn der Ausdruck expr die Funktion f enthält und die Variable x ein Argument der Funktion f ist.

Funktion: absint (f, x, halfplane)
Funktion: absint (f, x)
Funktion: absint (f, x, a, b)

absint(f, x, halfplane) gibt das unbestimmte Integral der Funktion f für die Variable x zurück. Das Integral wird in der angegebenen Halbebene pos, neg oder für beide Halbebenen mit both berechnet. Der Integrand kann die Betragsfunktion enthalten: abs(x), abs(sin(x)), abs(a) * exp(-abs(b) * abs(x)).

absint(f, x) ist äquivalent zu absint(f, x, pos).

absint(f, x, a, b) gibt das bestimmte Integral der Funktion f für die Variable x in den Grenzen a und b zurück. Der Integrand kann die Betragsfunktion enthalten.

Funktion: fourier (f, x, l)

Berechnet die Fourier-Koeffizienten a[0], a[n] und b[n] der Funktion f(x) für das Intervall [-l, l]. Die Fourierreihe ist definiert als:

         inf
         ====
         \             %pi n x           %pi n x
  f(x) =  >    (b  sin(-------) + a  cos(-------))
         /       n        l        n        l
         ====
         n = 0

Die Koeffizienten der Fourierreihe werden folgendermaßen berechnet:

                     l
                    /
                - 1 [
      a  = 1/2 l    I    f(x) dx
       0            ]
                    /
                     - l
                 l
                /
            - 1 [                  - 1
      a  = l    I    f(x) cos(%pi l    n x) dx
       n        ]
                /
                 - l
                  l
                 /
            - 1 [                  - 1
      b  = l    I    f(x) sin(%pi l    n x) dx
       n        ]
                /
                 - l

fourier weist die Fourier-Koeffizienten Zwischenmarken zu. Die Zwischenmarken werden als eine Liste zurückgegeben.

Der Index der Summe ist immer das Symbol n. Sinus- und Kosinusfunktionen mit ganzzahligen Vielfachen von %pi werden nicht automatisch vereinfacht. Dies kann mit der Funktion foursimp erreicht werden, der als Argument die Liste der Fourier-Koeffizienten übergeben wird.

Mit der Funktion fourexpand kann die Fourierreihe aus den Fourier-Koeffizienten konstruiert werden. Siehe auch die Funktion totalfourier.

Mit den Funktionen fourcos und foursin werden jeweils die Koeffizienten der Kosinus- und Sinus-Entwicklung berechnet.

Beispiel:

(%i1) load("fourie")$

(%i2) fourier(x, x, 1);
(%t2)                        a  = 0
                              0

(%t3)                        a  = 0
                              n

                        sin(%pi n)   cos(%pi n)
(%t4)           b  = 2 (---------- - ----------)
                 n          2  2       %pi n
                         %pi  n

(%o4)                    [%t2, %t3, %t4]
(%i5) foursimp(%);
(%t5)                        a  = 0
                              0

(%t6)                        a  = 0
                              n

                                       n
                                2 (- 1)
(%t7)                    b  = - --------
                          n      %pi n

(%o7)                    [%t5, %t6, %t7]
(%i8) fourexpand(%, x, 1, inf);
                      inf
                      ====       n
                      \     (- 1)  sin(%pi n x)
                    2  >    -------------------
                      /              n
                      ====
                      n = 1
(%o8)             - ---------------------------
                                %pi
Funktion: foursimp (l)

foursimp wird auf das Ergebnis der Funktion fourier angewendet, um Sinus- und Kosinus-Funktionen zu vereinfachen, die ganzzahlige Vielfache von %pi enthalten. Das Argument l ist eine Liste mit den Koeffizienten der Fourierreihe, für die die Vereinfachung ausgeführt werden soll.

sin(n %pi) wird zu 0 vereinfacht, wenn die Optionsvariable sinnpiflag den Wert true hat, und cos(n %pi) wird zu (-1)^n, wenn die Optionsvariable cosnpiflag den Wert true hat.

Siehe die Funktion fourier für ein Beispiel.

Optionsvariable: sinnpiflag

Standardwert: true

Kontrolliert die Vereinfachung der Sinus-Funktion durch die Funktion foursimp. Siehe die Funktion foursimp.

Optionsvariable: cosnpiflag

Standardwert: true

Kontrolliert die Vereinfachung der Kosinus-Funktion durch die Funktion foursimp. Siehe die Funktion foursimp.

Funktion: fourexpand (l, x, p, limit)

Konstruiert aus der Liste der Fourier-Koeffizienten l eine Fourierreihe mit limit Termen. Das Argument limit kann inf sein. Die Argumente x und p haben dieselbe Bedeutung wie für die Funktion fourier.

Siehe die Funktion fourier für ein Beispiel.

Funktion: fourcos (f, x, p)

Gibt die Kosinus-Koeffizienten einer Fourierreihe für die Funktion f(x) zurück, die auf dem Intervall [0, p] definiert ist.

Funktion: foursin (f, x, p)

Gibt die Sinus-Koeffizienten einer Fourierreihe für die Funktion f(x) zurück, die auf dem Intervall [0, p] definiert ist.

Funktion: totalfourier (f, x, l)

Gibt die Fourierreihe der Funktion f(x) für das Intervall [-l, l] zurück. Das Ergebnis wird berechnet, indem die nacheinander die Funktionen foursimp und fourexpand auf das Ergebnis der Funktion fourier angewendet werden.

Beispiel:

(%i1) load("fourie")$

(%i2) totalfourier(x, x, 1);
(%t2)                        a  = 0
                              0

(%t3)                        a  = 0
                              n

                        sin(%pi n)   cos(%pi n)
(%t4)           b  = 2 (---------- - ----------)
                 n          2  2       %pi n
                         %pi  n

(%t5)                        a  = 0
                              0

(%t6)                        a  = 0
                              n
                                       n
                                2 (- 1)
(%t7)                    b  = - --------
                          n      %pi n
                      inf
                      ====       n
                      \     (- 1)  sin(%pi n x)
                    2  >    -------------------
                      /              n
                      ====
                      n = 1
(%o7)             - ---------------------------
                                %pi
Funktion: fourint (f, x)

Konstruiert eine Liste der Fourierintegral-Koeffizienten der Funktion f(x), die auf dem Intervall [minf, inf] definiert ist.

Funktion: fourintcos (f, x)

Gibt die Koeffizienten des Kosinus-Fourierintegrals der Funktion f(x) zurück, die auf dem Intervall [0, inf] definiert ist.

Funktion: fourintsin (f, x)

Gibt die Koeffizienten des Sinus-Fourierintegrals der Funktion f(x) zurück, die auf dem Intervall [0, inf] definiert ist.


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