11.4 Funktionen und Variablen für Aussagen

Funktion: charfun (p) ¶

Gibt den Wert 0 zurück, wenn die Aussage p zu false ausgewertet werden kann und den Wert 1, wenn die Auswertung true liefert. Kann die Aussage weder zu false oder true ausgewertet werden, wird eine Substantiv-Form zurück gegeben.

Beispiele:

(%i1) charfun (x < 1);
(%o1)                    charfun(x < 1)
(%i2) subst (x = -1, %);
(%o2)                           1
(%i3) e : charfun ('"and" (-1 < x, x < 1))$
(%i4) [subst (x = -1, e), subst (x = 0, e), subst (x = 1, e)];
(%o4)                       [0, 1, 0]

Funktion: compare (x, y) ¶

Liefert den Vergleichsoperator op (<, <=, >, >=, = oder #), so dass der Ausdruck is(x op y) zu true ausgewertet werden kann. Ist eines der Argumente eine komplexe Zahl, dann wird notcomparable zurückgegeben. Kann Maxima keinen Vergleichsoperator bestimmen, wird unknown zurückgegeben.

Beispiele:

(%i1) compare (1, 2);
(%o1)                           <
(%i2) compare (1, x);
(%o2)                        unknown
(%i3) compare (%i, %i);
(%o3)                           =
(%i4) compare (%i, %i + 1);
(%o4)                     notcomparable
(%i5) compare (1/x, 0);
(%o5)                           #
(%i6) compare (x, abs(x));
(%o6)                          <=

Die Funktion compare versucht nicht festzustellen, ob der Wertebereich einer Funktion reelle Zahlen enthält. Obwohl der Wertebereich von acos(x^2+1) bis auf Null keine reellen Zahlen enthält, gibt compare das folgende Ergebnis zurück:

(%i1) compare (acos (x^2 + 1), acos (x^2 + 1) + 1);
(%o1)                           <

Funktion: equal (a, b) ¶

Repräsentiert die Äquivalenz, das heißt den gleichen Wert.

equal wird nicht ausgewertet oder vereinfacht. Die Funktion is versucht einen Ausdruck mit equal zu einem booleschen Wert auszuwerten. is(equal(a, b)) gibt true oder false zurück, wenn und nur wenn a und b gleich oder ungleich sind für alle Werte ihrer Variablen, was mit ratsimp(a - b) bestimmt wird. Gibt ratsimp das Ergebnis 0 zurück, werden die beiden Ausdrücke als äquivalent betracht. Zwei Ausdrücke können äquivalent sein, obwohl sie nicht syntaktisch gleich (im allgemeinen identisch) sind.

Kann is einen Ausdruck mit equal nicht zu true oder false auswerten, hängt das Ergebnis vom Wert des globalen Flags prederror ab. Hat prederror den Wert true, gibt is eine Fehlermeldung zurück. Ansonsten wird unknown zurückgegeben.

Es gibt weitere Operatoren, die einen Ausdruck mit equal zu true oder false auswerten können. Dazu gehören if, and, or und not.

Die Umkehrung von equal ist notequal.

Beispiele:

equal wird von allein weder ausgewertet noch vereinfacht:

(%i1) equal (x^2 - 1, (x + 1) * (x - 1));
                        2
(%o1)            equal(x  - 1, (x - 1) (x + 1))
(%i2) equal (x, x + 1);
(%o2)                    equal(x, x + 1)
(%i3) equal (x, y);
(%o3)                      equal(x, y)

Die Funktion is versucht, equal zu einem booleschen Wert auszuwerten. Der Ausdruck is(equal(a, b)) gibt den Wert true zurück, when ratsimp(a - b) den Wert 0 hat. Zwei Ausdrücke können äquivalent sein, obwohl sie nicht syntaktisch gleich sind.

(%i1) ratsimp (x^2 - 1 - (x + 1) * (x - 1));
(%o1)                           0
(%i2) is (equal (x^2 - 1, (x + 1) * (x - 1)));
(%o2)                         true
(%i3) is (x^2 - 1 = (x + 1) * (x - 1));
(%o3)                         false
(%i4) ratsimp (x - (x + 1));
(%o4)                          - 1
(%i5) is (equal (x, x + 1));
(%o5)                         false
(%i6) is (x = x + 1);
(%o6)                         false
(%i7) ratsimp (x - y);
(%o7)                         x - y
(%i8) is (equal (x, y));
(%o8)                        unknown
(%i9) is (x = y);
(%o9)                         false

Kann is einen Ausdruck mit equal nicht zu true oder false vereinfachen, hängt das Ergebnis vom Wert des globalen Flags prederror ab.

(%i1) [aa : x^2 + 2*x + 1, bb : x^2 - 2*x - 1];
                    2             2
(%o1)             [x  + 2 x + 1, x  - 2 x - 1]
(%i2) ratsimp (aa - bb);
(%o2)                        4 x + 2
(%i3) prederror : true;
(%o3)                         true
(%i4) is (equal (aa, bb));
Maxima was unable to evaluate the predicate:
       2             2
equal(x  + 2 x + 1, x  - 2 x - 1)
 -- an error.  Quitting.  To debug this try debugmode(true);
(%i5) prederror : false;
(%o5)                         false
(%i6) is (equal (aa, bb));
(%o6)                        unknown

Einige weitere Operatoren werten equal und notequal zu einem booleschen Wert aus.

(%i1) if equal (y, y - 1) then FOO else BAR;
(%o1)                          BAR
(%i2) eq_1 : equal (x, x + 1);
(%o2)                    equal(x, x + 1)
(%i3) eq_2 : equal (y^2 + 2*y + 1, (y + 1)^2);
                         2                   2
(%o3)             equal(y  + 2 y + 1, (y + 1) )
(%i4) [eq_1 and eq_2, eq_1 or eq_2, not eq_1];
(%o4)                  [false, true, true]

Da not expr den Ausdruck expr auswertet, ist not equal(a, b) äquivalent zu is(notequal(a, b))

(%i1) [notequal (2*z, 2*z - 1), not equal (2*z, 2*z - 1)];
(%o1)            [notequal(2 z, 2 z - 1), true]
(%i2) is (notequal (2*z, 2*z - 1));
(%o2)                         true

Funktion: notequal (a, b) ¶

Repräsentiert die Verneinung von equal(a, b).

Beispiele:

(%i1) equal (a, b);
(%o1)                      equal(a, b)
(%i2) maybe (equal (a, b));
(%o2)                        unknown
(%i3) notequal (a, b);
(%o3)                    notequal(a, b)
(%i4) not equal (a, b);
(%o4)                    notequal(a, b)
(%i5) maybe (notequal (a, b));
(%o5)                        unknown
(%i6) assume (a > b);
(%o6)                        [a > b]
(%i7) equal (a, b);
(%o7)                      equal(a, b)
(%i8) maybe (equal (a, b));
(%o8)                         false
(%i9) notequal (a, b);
(%o9)                    notequal(a, b)
(%i10) maybe (notequal (a, b));
(%o10)                        true

Funktion: unknown (expr) ¶

Gibt den Wert true zurück, wenn der Ausdruck expr einen Operator oder eine Funktion enthält, die nicht von Maximas Vereinfacher erkannt wird.

Funktion: zeroequiv (expr, v) ¶

Testet, ob ein Ausdruck expr mit der Variablen v äquivalent zu Null ist. Die Funktion gibt true, false oder dontknow zurück.

zeroequiv hat Einschränkungen:

1. Funktionen im Ausdruck expr müssen von Maxima differenzierbar und auswertbar sein.
2. Hat der Ausdruck Pole auf der reellen Achse, können Fehler auftreten.
3. Enthält der Ausdruck Funktionen, die nicht Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung sind (zum Beispiel Bessel Funktionen), können die Ergebnisse fehlerhaft sein.
4. Der Algorithmus wertet die Funktion an zufällig Punkten für ausgewählte Teilausdrücke aus. Dies ist ein riskantes Verfahren und kann zu Fehlern führen.

zeroequiv(sin(2*x) - 2*sin(x)*cos(x), x) hat zum Beispiel das Ergebnis true und zeroequiv (%e^x + x, x) hat das Ergebnis false. Andererseits hat zeroequiv (log(a*b) - log(a) - log(b), a) das Ergebnis dontknow, wegen dem zusätzlichem Parameter b.