69.2 Funciones y variables para polinomios ortogonales

Función: assoc_legendre_p (n, m, x) ¶

Función asociada de Legendre de primera especie de grado n y orden m.

Referencia: Abramowitz y Stegun, ecuaciones 22.5.37, página 779, 8.6.6 (segunda ecuación), página 334 y 8.2.5, página 333.

Función: assoc_legendre_q (n, m, x) ¶

Función asociada de Legendre de segunda especie de grado n y orden m.

Referencia: Abramowitz y Stegun, ecuaciones 8.5.3 y 8.1.8.

Función: chebyshev_t (n, x) ¶

Función de Chebyshev de primera especie.

Referencia: Abramowitz y Stegun, ecuación 22.5.47, página 779.

Función: chebyshev_u (n, x) ¶

Función de Chebyshev de segunda especie.

Referencia: Abramowitz y Stegun, ecuación 22.5.48, página 779.

Función: gen_laguerre (n, a, x) ¶

Polinomio de Laguerre generalizado de grado n.

Referencia: Abramowitz y Stegun, ecuación 22.5.54, página 780.

Función: hermite (n, x) ¶

Polinomio de Hermite.

Referencia: Abramowitz y Stegun, ecuación 22.5.55, página 780.

Función: intervalp (e) ¶

Devuelve true si la entrada es un intervalo y false en caso contrario.

Función: jacobi_p (n, a, b, x) ¶

Polinomio de Jacobi.

Los polinomios de Jacobi están definidos para todo a y b; sin embargo, el peso (1 - x)^a (1 + x)^b no es integrable para a <= -1 o b <= -1.

Referencia: Abramowitz y Stegun, ecuación 22.5.42, página 779.

Función: laguerre (n, x) ¶

Polinomio de Laguerre.

Referencia: Abramowitz y Stegun, ecuaciones 22.5.16 y 22.5.54, página 780.

Función: legendre_p (n, x) ¶

Polinomio de Legendre de primera especie.

Referencia: Abramowitz y Stegun, ecuaciones 22.5.50 y 22.5.51, página 779.

Función: legendre_q (n, x) ¶

Polinomio de Legendre de segunda especie.

Referencia: Abramowitz y Stegun, ecuaciones 8.5.3 y 8.1.8.

Función: orthopoly_recur (f, args) ¶

Devuelve una relación recursiva para la familia de funciones ortogonales f con argumentos args. La recursión se hace con respecto al grado del polinomio.

(%i1) orthopoly_recur (legendre_p, [n, x]);
                    (2 n + 1) P (x) x - n P     (x)
                               n           n - 1
(%o1)   P     (x) = -------------------------------
         n + 1                   n + 1

El segundo argumento de orthopoly_recur debe ser una lista con el número correcto de argumentos para la función f; si no lo es, Maxima emite un mensaje de error.

(%i1) orthopoly_recur (jacobi_p, [n, x]);

Function jacobi_p needs 4 arguments, instead it received 2
 -- an error.  Quitting.  To debug this try debugmode(true);

Además, si f no es el nombre de ninguna de las familias de polinomios ortogonales, se emite otro mensaje de error.

(%i1) orthopoly_recur (foo, [n, x]);

A recursion relation for foo isn't known to Maxima
 -- an error.  Quitting.  To debug this try debugmode(true);

Variable opcional: orthopoly_returns_intervals ¶

Valor por defecto: true

Si orthopoly_returns_intervals vale true, los números decimales en coma flotante se retornan con el formato interval (c, r), donde c es el centro del intervalo y r su radio. El centro puede ser un número complejo, en cuyo caso el intervalo es un disco en el plano complejo.

Función: orthopoly_weight (f, args) ¶

Devuelve una lista con tres elementos; el primer elemento es la fórmula del peso para la familia de polinomios ortogonales f con los argumentos dados por la lista args; el segundo y tercer elementos son los extremos inferior y superior del intervalo de ortogonalidad. Por ejemplo,

(%i1) w : orthopoly_weight (hermite, [n, x]);
                            2
                         - x
(%o1)                 [%e    , - inf, inf]
(%i2) integrate (w[1] * hermite (3, x) * hermite (2, x), x, w[2], w[3]);
(%o2)                           0

La variable principal de f debe ser un símbolo, en caso contrario Maxima emite un mensaje de error.

Función: pochhammer (n, x) ¶

Símbolo de Pochhammer. Para enteros no negativos n con n <= pochhammer_max_index, la expresión pochhammer (x, n) se evalúa como el producto x (x + 1) (x + 2) ... (x + n - 1) si n > 0 y como 1 si n = 0. Para n negativo, pochhammer (x, n) se define como (-1)^n / pochhammer (1 - x, -n). Así por ejemplo,

(%i1) pochhammer (x, 3);
(%o1)                   x (x + 1) (x + 2)
(%i2) pochhammer (x, -3);
                                 1
(%o2)               - -----------------------
                      (1 - x) (2 - x) (3 - x)

A fin de convertir el símbolo de Pochhammer en un cociente de funciones gamma (véase Abramowitz y Stegun, ecuación 6.1.22), hágase uso de makegamma. Por ejemplo,

(%i1) makegamma (pochhammer (x, n));
                          gamma(x + n)
(%o1)                     ------------
                            gamma(x)

Si n es mayor que pochhammer_max_index o si n es simbólico, pochhammer devuelve una forma nominal.

(%i1) pochhammer (x, n);
(%o1)                         (x)
                                 n

Variable opcional: pochhammer_max_index ¶

Valor por defecto: 100

pochhammer (n, x) se evalúa como un producto si y sólo si n <= pochhammer_max_index.

Ejemplos:

(%i1) pochhammer (x, 3), pochhammer_max_index : 3;
(%o1)                   x (x + 1) (x + 2)
(%i2) pochhammer (x, 4), pochhammer_max_index : 3;
(%o2)                         (x)
                                 4

Referencia: Abramowitz y Stegun, ecuación 6.1.16, página 256.

Función: spherical_bessel_j (n, x) ¶

Función de Bessel esférica de primera especie.

Referencia: Abramowitz y Stegun, ecuaciones 10.1.8, página 437 y 10.1.15, página 439.

Función: spherical_bessel_y (n, x) ¶

Función de Bessel esférica de segunda especie.

Referencia: Abramowitz y Stegun, ecuaciones 10.1.9, página 437 y 10.1.15, página 439.

Función: spherical_hankel1 (n, x) ¶

Función esférica de Hankel de primera especie.

Referencia: Abramowitz y Stegun, ecuación 10.1.36, página 439.

Función: spherical_hankel2 (n, x) ¶

Función esférica de Hankel de segunda especie.

Referencia: Abramowitz y Stegun, ecuación 10.1.17, página 439.

Función: spherical_harmonic (n, m, x, y) ¶

Función armónica esférica.

Referencia: Merzbacher 9.64.

Función: unit_step (x) ¶

Función de escalón unidad continua por la izquierda, definida de tal forma que unit_step (x) se anula para x <= 0 y es igual a 1 para x > 0.

En caso de ser necesaria una función escalón unidad que tome el valor 1/2 en el origen, utilícese (1 + signum (x))/2.

Función: ultraspherical (n, a, x) ¶

Polinomio ultraesférico o de Gegenbauer.

Referencia: Abramowitz y Stegun, ecuación 22.5.46, página 779.