Integra numéricamente por el método de Romberg.
La llamada romberg(expr, x, a, b)
devuelve una estimación de la integral integrate(expr, x, a, b).
El argumento expr debe ser una expresión reducible a un valor decimal
en coma flotante cuando x es a su vez un número decimal.
La llamada romberg(F, a, b) devuelve una estimación
de la integral integrate(F(x), x, a, b), siendo
x el único argumento de F. El argumento F debe ser
una función en Lisp o en Maxima que devuelva un valor decimal
en coma flotante cuando x es a su vez un número decimal; F
puede ser el nombre de una función de Maxima traducida o compilada.
La exactitud de romberg se controla con las variables globales
rombergabs y rombergtol. La función romberg
termina con éxito su cálculo cuando la diferencia absoluta entre
sucesivas aproximaciones es menor que rombergabs,
o cuando la diferencia relativa de sucesivas aproximaciones es menor que
rombergtol. Así, cuando rombergabs vale 0.0
(su valor por defecto) sólo tiene efecto el test del error relativo basado
en romberg.
La función romberg reduce a mitades sucesivas la amplitud del paso un máximo de
rombergit veces antes de abandonar el cómputo; el número máximo de
evaluaciones del integrando es, por consiguiente, igual a 2^rombergit.
De no satisfacerse el criterio de error establecido por rombergabs y
rombergtol, romberg devuelve un mensaje de error.
La función romberg hace siempre al menos rombergmin
iteraciones; se trata de una heurística para evitar
la finalización prematura cuando el integrando oscila mucho.
La función romberg evalúa el integrando repetidamente tras asignarle
a la variable de integración un valor específico. Este criterio
permite anidar llamadas a romberg para calcular integrales múltiples.
Sin embargo, los errores de cálculo no tienen en cuenta los errores de
las integraciones anidadas, por lo que tales errores pueden subestimarse.
Por otro lado, métodos especialmente desarrollados para integraciones
múltiples pueden dar la misma exactitud con menos evaluaciones
del integrando.
Para hacer uso de esta función ejecútese primero load("romberg").
Véase también QUADPACK, un conjunto de funciones para
integración numérica.
Ejemplos:
Una integración unidimensional.
(%i1) load ("romberg");
(%o1) /usr/share/maxima/5.11.0/share/numeric/romberg.lisp
(%i2) f(x) := 1/((x - 1)^2 + 1/100) + 1/((x - 2)^2 + 1/1000)
+ 1/((x - 3)^2 + 1/200);
1 1 1
(%o2) f(x) := -------------- + --------------- + --------------
2 1 2 1 2 1
(x - 1) + --- (x - 2) + ---- (x - 3) + ---
100 1000 200
(%i3) rombergtol : 1e-6;
(%o3) 9.9999999999999995E-7
(%i4) rombergit : 15;
(%o4) 15
(%i5) estimate : romberg (f(x), x, -5, 5);
(%o5) 173.6730736617464
(%i6) exact : integrate (f(x), x, -5, 5);
(%o6) 10 sqrt(10) atan(70 sqrt(10))
+ 10 sqrt(10) atan(30 sqrt(10)) + 10 sqrt(2) atan(80 sqrt(2))
+ 10 sqrt(2) atan(20 sqrt(2)) + 10 atan(60) + 10 atan(40)
(%i7) abs (estimate - exact) / exact, numer;
(%o7) 7.5527060865060088E-11
Una integración bidimensional, implementada mediante llamadas anidadas a romberg.
(%i1) load ("romberg");
(%o1) /usr/share/maxima/5.11.0/share/numeric/romberg.lisp
(%i2) g(x, y) := x*y / (x + y);
x y
(%o2) g(x, y) := -----
x + y
(%i3) rombergtol : 1e-6;
(%o3) 9.9999999999999995E-7
(%i4) estimate : romberg (romberg (g(x, y), y, 0, x/2), x, 1, 3);
(%o4) 0.81930239628356
(%i5) assume (x > 0);
(%o5) [x > 0]
(%i6) integrate (integrate (g(x, y), y, 0, x/2), x, 1, 3);
3
2 log(-) - 1
9 2 9
(%o6) - 9 log(-) + 9 log(3) + ------------ + -
2 6 2
(%i7) exact : radcan (%);
26 log(3) - 26 log(2) - 13
(%o7) - --------------------------
3
(%i8) abs (estimate - exact) / exact, numer;
(%o8) 1.3711979871851024E-10
Valor por defecto: 0.0
La exactitud de romberg se controla con las variables globales
rombergabs y rombergtol. La función romberg
termina con éxito su cálculo cuando la diferencia absoluta entre
sucesivas aproximaciones es menor que rombergabs,
o cuando la diferencia relativa de sucesivas aproximaciones es menor que
rombergtol. Así, cuando rombergabs vale 0.0
(su valor por defecto) sólo tiene efecto el test del error relativo basado
en romberg.
Véanse también rombergit y rombergmin.
Valor por defecto: 11
La función romberg reduce a mitades sucesivas la amplitud del paso un máximo de
rombergit veces antes de abandonar el cómputo; el número máximo de
evaluaciones del integrando es, por consiguiente, igual a 2^rombergit.
La función romberg hace siempre al menos rombergmin
iteraciones; se trata de una heurística para evitar
la finalización prematura cuando el integrando oscila mucho.
Véanse también rombergabs y rombergtol.
Valor por defecto: 0
La función romberg hace siempre al menos rombergmin
iteraciones; se trata de una heurística para evitar
la finalización prematura cuando el integrando oscila mucho.
Véanse también rombergit, rombergabs y rombergtol.
Valor por defecto: 1e-4
La exactitud de romberg se controla con las variables globales
rombergabs y rombergtol. La función romberg
termina con éxito su cálculo cuando la diferencia absoluta entre
sucesivas aproximaciones es menor que rombergabs,
o cuando la diferencia relativa de sucesivas aproximaciones es menor que
rombergtol. Así, cuando rombergabs vale 0.0
(su valor por defecto) sólo tiene efecto el test del error relativo basado
en romberg.
Véanse también rombergit y rombergmin.