15.10 Funciones y variables para las funciones especiales

Función: specint (exp(- s*t) * expr, t) ¶

Calcula la transformada de Laplace de expr respecto de la variable t. El integrando expr puede contener funciones especiales.

La función specint admite las funciones especiales siguientes: la gamma incompleta, las funciones de error (pero no erfi, siendo sencillo transformar erfi en la función de error erf), integrales exponenciales, funciones de Bessel (incluidos productos de funciones de Bessel), funciones de Hankel, de Hermite y los polinomios de Laguerre.

Además, specint también admite la función hipergeométrica %f[p,q]([],[],z), la función de Whittaker de primera especie %m[u,k](z) y la de segunda especie %w[u,k](z).

El resultado puede darse en términos de funciones especiales y es posible que incluya también funciones hipergeométricas sin simplificar.

Cuando laplace es incapaz de calcular la transformada de Laplace, entonces llama a la función specint. Puesto que laplace tiene programadas más reglas para calcular transformadas de Laplace, es preferible utilizar laplace en lugar de specint.

La ejecución de demo(hypgeo) muestra algunos ejemplos de transformadas de Laplace calculadas con specint.

Ejemplos:

(%i1) assume (p > 0, a > 0)$
(%i2) specint (t^(1/2) * exp(-a*t/4) * exp(-p*t), t);
                           sqrt(%pi)
(%o2)                     ------------
                                 a 3/2
                          2 (p + -)
                                 4
(%i3) specint (t^(1/2) * bessel_j(1, 2 * a^(1/2) * t^(1/2))
              * exp(-p*t), t);
                                   - a/p
                         sqrt(a) %e
(%o3)                    ---------------
                                2
                               p

Ejemplos para integrales exponenciales:

(%i4) assume(s>0,a>0,s-a>0)$
(%i5) ratsimp(specint(%e^(a*t)
                      *(log(a)+expintegral_e1(a*t))*%e^(-s*t),t));
                             log(s)
(%o5)                        ------
                             s - a
(%i6) logarc:true$

(%i7) gamma_expand:true$

radcan(specint((cos(t)*expintegral_si(t)
                     -sin(t)*expintegral_ci(t))*%e^(-s*t),t));
                             log(s)
(%o8)                        ------
                              2
                             s  + 1
ratsimp(specint((2*t*log(a)+2/a*sin(a*t)
                      -2*t*expintegral_ci(a*t))*%e^(-s*t),t));
                               2    2
                          log(s  + a )
(%o9)                     ------------
                                2
                               s

Resultados cuando se utiliza la expansión de gamma_incomplete y se cambia la representación de expintegral_e1:

(%i10) assume(s>0)$
(%i11) specint(1/sqrt(%pi*t)*unit_step(t-k)*%e^(-s*t),t);
                                            1
                            gamma_incomplete(-, k s)
                                            2
(%o11)                      ------------------------
                               sqrt(%pi) sqrt(s)

(%i12) gamma_expand:true$
(%i13) specint(1/sqrt(%pi*t)*unit_step(t-k)*%e^(-s*t),t);
                              erfc(sqrt(k) sqrt(s))
(%o13)                        ---------------------
                                     sqrt(s)

(%i14) expintrep:expintegral_e1$
(%i15) ratsimp(specint(1/(t+a)^2*%e^(-s*t),t));
                              a s
                        a s %e    expintegral_e1(a s) - 1
(%o15)                - ---------------------------------
                                        a

Función: hgfred (a, b, t) ¶

Simplifica la función hipergeométrica generalizada en términos de otras funciones más sencillas. a es una lista de parámetros del numerador y b lo es de parámetros del denominador.

En caso de que hgfred no pueda simplificar la función hipergeométrica devolverá una expresión de la forma %f[p,q]([a], [b], x), siendo p el número de elementos de a y q el de b. Esta es la función hipergeométrica generalizada pFq.

(%i1) assume(not(equal(z,0)));
(%o1)                          [notequal(z, 0)]
(%i2) hgfred([v+1/2],[2*v+1],2*%i*z);

                     v/2                               %i z
                    4    bessel_j(v, z) gamma(v + 1) %e
(%o2)               ---------------------------------------
                                       v
                                      z
(%i3) hgfred([1,1],[2],z);

                                   log(1 - z)
(%o3)                            - ----------
                                       z
(%i4) hgfred([a,a+1/2],[3/2],z^2);

                               1 - 2 a          1 - 2 a
                        (z + 1)        - (1 - z)
(%o4)                   -------------------------------
                                 2 (1 - 2 a) z

Tal como muestra el siguiente ejemplo, puede ser de utilidad cargar también el paquete orthopoly. Nótese que L es el polinomio generalizado de Laguerre.

(%i5) load("orthopoly")$
(%i6) hgfred([-2],[a],z);

                                    (a - 1)
                                 2 L       (z)
                                    2
(%o6)                            -------------
                                   a (a + 1)
(%i7) ev(%);

                                  2
                                 z        2 z
(%o7)                         --------- - --- + 1
                              a (a + 1)    a

Función: lambert_w (z) ¶

Rama principal de la función W de Lambert, solución de la ecuación z = W(z) * exp(W(z)). (DLMF 4.13)

Función: generalized_lambert_w (k, z) ¶

k-ésima rama de la función W de Lambert’s, W(z), solución de z = W(z) * exp(W(z)). (DLMF 4.13)

La rama principal, representada por Wp(z) en DLMF, es lambert_w(z) = generalized_lambert_w(0,z).

La otra rama con valores reales, representada por Wm(z) en DLMF, es generalized_lambert_w(-1,z).

Función: nzeta (z) ¶

Función de dispersión del plasma. nzeta(z) = %i*sqrt(%pi)*exp(-z^2)*(1-erf(-%i*z))

Función: nzetar (z) ¶

Devuelve realpart(nzeta(z)).

Función: nzetai (z) ¶

Devuelve imagpart(nzeta(z)).