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Usando a função f como a função de adição, retorne a adição das matrizes M_1, ..., M_n. A função f deve aceitar qualquer número de argumentos (uma função enária do Maxima).
Exemplos:
(%i1) m1 : matrix([1,2],[3,4])$
(%i2) m2 : matrix([7,8],[9,10])$
(%i3) addmatrices('max,m1,m2);
(%o3) matrix([7,8],[9,10])
(%i4) addmatrices('max,m1,m2,5*m1);
(%o4) matrix([7,10],[15,20])
Retorna true se e somente se M for uma matriz e toda entrada de
M também for uma matriz.
Se M for uma matriz, retorna a matriz que resulta de fazer a
operação de coluna C_i <- C_i - theta * C_j. Se M não tiver uma linha
i ou j, emite uma mensagem de erro.
Se M for uma matriz, troca as colunas i e j. Se M não tiver uma coluna i ou j, emite uma mensagem de erro.
Se M for uma matriz, retorna span (v_1, ..., v_n), onde o conjunto
{v_1, ..., v_n} é uma base para o espaço coluna de M. A diferença entre o maior elemento e o menor elemento do
conjunto vazio é {0}. Dessa forma, quando o espaço coluna tiver somente
um membro, retorna span ().
Retorna uma cópia da expressão e do Maxima. Embora e possa ser qualquer
expressão do Maxima, Afunção copy é mais útil quando e for ou
uma lista ou uma matriz; considere:
load ("linearalgebra");
m : [1,[2,3]]$
mm : m$
mm[2][1] : x$
m;
mm;
(%i1) load("linearalgebra")$
(%i2) m : [1,[2,3]]$
(%i3) mm : m$
(%i4) mm[2][1] : x$
(%i5) m;
(%o5) [1,[x,3]]
(%i6) mm;
(%o6) [1,[x,3]]
Vamos tentar a mesma experiência, mas dessa vez tomemos mm como sendo uma cópia de m m : [1,[2,3]]$ mm : copy(m)$ mm[2][1] : x$ m; mm;
(%i7) m : [1,[2,3]]$ (%i8) mm : copy(m)$ (%i9) mm[2][1] : x$ (%i10) m; (%o10) [1,[2,3]] (%i11) mm; (%o11) [1,[x,3]]
Dessa vez, a atribuição a mm não muda o valor de m.
Retorna factorização de Cholesky da matriz hermitiana (or autoadjunta)
M. O valor padrão para o segundo argumento é generalring. Para uma descrição dos
possíveis valores para corpo, veja lu_factor.
Retorna a matriz transposta conjugada complexa da matriz M. A função
ctranspose usa matrix_element_transpose para transpor cada elemento da matriz.
Retorna uma matriz diagonal matriz com entradas de diagonal d_1, d_2,...,d_n. Quando as entradas de diagonal forem matrizes, as entradas zero da matriz retornada serão todas matrizes de tamanho apropriado; por exemplo:
(%i1) load("linearalgebra")$
(%i2) diag_matrix(diag_matrix(1,2),diag_matrix(3,4));
[ [ 1 0 ] [ 0 0 ] ]
[ [ ] [ ] ]
[ [ 0 2 ] [ 0 0 ] ]
(%o2) [ ]
[ [ 0 0 ] [ 3 0 ] ]
[ [ ] [ ] ]
[ [ 0 0 ] [ 0 4 ] ]
(%i3) diag_matrix(p,q);
[ p 0 ]
(%o3) [ ]
[ 0 q ]
Retorna o produto do ponto (produto escalar) dos vectores u e v. Isso é o mesmo
que conjugate (transpose (u)) . v. Os argumentos u e v devem ser
vectores coluna.
Calculam os autovalores e autovectores de A pelo método de rotações de Jacobi.
A deve ser uma matriz simétrica (mas essa matriz simétrica precisa não ser nem definida positiva e nem semidefinida positiva).
tipo_corpo indica o corpo computacional, pode ser ou floatfield ou bigfloatfield.
Se tipo_corpo não for especificado, o padrão é floatfield.
Os elementos de A devem ser números ou expressões que avaliam para números
via float ou bfloat (dependendo do valor de tipo_corpo).
Exemplos:
(%i1) load ("linearalgebra");
(%o1) /home/robert/tmp/maxima-head/maxima/share/linearalgebra/li\
nearalgebra.mac
(%i2) S : matrix ([1/sqrt(2), 1/sqrt(2)], [- 1/sqrt(2), 1/sqrt(2)]);
[ 1 1 ]
[ ------- ------- ]
[ sqrt(2) sqrt(2) ]
(%o2) [ ]
[ 1 1 ]
[ - ------- ------- ]
[ sqrt(2) sqrt(2) ]
(%i3) L : matrix ([sqrt(3), 0], [0, sqrt(5)]);
[ sqrt(3) 0 ]
(%o3) [ ]
[ 0 sqrt(5) ]
(%i4) M : S . L . transpose (S);
[ sqrt(5) sqrt(3) sqrt(5) sqrt(3) ]
[ ------- + ------- ------- - ------- ]
[ 2 2 2 2 ]
(%o4) [ ]
[ sqrt(5) sqrt(3) sqrt(5) sqrt(3) ]
[ ------- - ------- ------- + ------- ]
[ 2 2 2 2 ]
(%i5) eigens_by_jacobi (M);
The largest percent change was 0.1454972243679
The largest percent change was 0.0
number of sweeps: 2
number of rotations: 1
(%o5) [[1.732050807568877, 2.23606797749979],
[ 0.70710678118655 0.70710678118655 ]
[ ]]
[ - 0.70710678118655 0.70710678118655 ]
(%i6) float ([[sqrt(3), sqrt(5)], S]);
(%o6) [[1.732050807568877, 2.23606797749979],
[ 0.70710678118655 0.70710678118655 ]
[ ]]
[ - 0.70710678118655 0.70710678118655 ]
(%i7) eigens_by_jacobi (M, bigfloatfield);
The largest percent change was 1.454972243679028b-1
The largest percent change was 0.0b0
number of sweeps: 2
number of rotations: 1
(%o7) [[1.732050807568877b0, 2.23606797749979b0],
[ 7.071067811865475b-1 7.071067811865475b-1 ]
[ ]]
[ - 7.071067811865475b-1 7.071067811865475b-1 ]
Quando x = lu_factor (A), então get_lu_factors retorna uma lista da
forma [P, L, U], onde P é uma matriz de permutação, L é triangular baixa com
a diagonal preenchida com a unidade, e U é triangular alta, e A = P L U.
Retorna uma matriz de Hankel H. A primeira coluna de H é col; excepto para a primeira entrada, a última linha de H é lin. O valor padrão para lin é o vector nulo com o mesmo comprimento que col.
Retorna a matriz hessiana de f com relação às variáveis na lista vars. As entradas i,j da matriz hessiana são diff(f vars[i],1,vars[j],1).
Retorna the n by n matriz de Hilbert. Quando n não for um inteiro positivo, emite uma mensagem de erro.
Retorna uma matriz identidade que tem o mesmo tamanho que a matriz M. As entradas de diagonal da matriz identidade são a identidade multiplicativa do corpo corpo; o padrão para corpo é generalring.
O primeiro argumento M pode ser uma matriz quadrada ou um não matriz. Quando M for uma matriz, cada entrada de M pode ser uma matriz quadrada – dessa forma M pode ser uma matriz de bloco do Maxima. A matriz pode ser de bloco para qualquer (finita) quantidade de níveis.
Veja também zerofor
Inverte a matriz M através de factorização linear alta (LU). A factorização LU é concluída usando o anel rng.
Retorna o produto de Kronecker das matrizes A e B.
Recebendo um argumento opcional p, retorna true se e for
uma lista do Maxima e p avalia para true para elemento da lista.
Quando listp não recebe o argumento opcional, retorna true se e for
uma lista do Maxima. em todos os outros casos, retorna false.
O primeiro argumento deve ser uma matriz; os argumentos que vão de r_1 até c_2 determinam um sub-matriz de M que consiste de linhas que vão de r_1 até r_2 e colunas que vão de c_1 até c_2.
Encontra uma entrada na sub-matriz M que satisfaz alguma propriedade. Existem três casos:
(1) rel = 'bool e f um predicado:
Examina a sub-matriz da esquerda para a direita e de cima para baixo,
e retorna o índice da primeira entrada que satisfizer o
predicado f. Se nenhuma entrada da matriz satisfizer o predicado f, retorna false.
(2) rel = 'max e f avaliar para um número real:
Examina a sub-matriz procurando por uma entrada que maximize f. Retorna retorna o índice da entrada maximizada.
(3) rel = 'min e f avaliar para um número real:
Examina a sub-matriz procurando por uma entrada que minimize f. Retorna o índice de uma entrada minimizada.
Quando M = lu_factor (A, corpo),
então lu_backsub (M, b) resolve o sistema
linear A x = b.
Retorna uma lista da forma [LU, perm, corpo],
ou da forma [LU, perm, cmp, baixo-cnd alto-cnd], onde
(1) A matriz LU contéa factorização de M na forma enpacotada. Forma
empacotada significa três coisas: Primeiro, as linhas de LU são permutadas confirme a
lista perm. Se, por exemplo, perm for a lista list [3,2,1], a primeira linha actual
da factorização LU será a terceira linha da matriz LU. Segundo,
o factor triangular baixo de m é a parte triangular baixa de LU com as
entradas de diagonal todas substituídas pela unidade. Terceiro, o factor triangular alto de
M é a parte triangular alta de LU.
(2) Quando o corpo for ou floatfield ou complexfield,
os números baixo-cnd e alto-cnd serão associados baixo e alto para o
número condicional de norma infinita de M. Para todos os corpos (fields), o número condicional de norma infinita
não pode ser estimado; para tais corpos, lu_factor retorna uma lista com dois itens.
Ambos o baixo e o alto associado podem diferir de seus verdadeiros valores de
factores arbitráriamente grandes. (Veja também mat_cond.)
O argumento M deve ser a matriz quadrada.
O argumento opcional cmp deve ser um símbolo que determine um anel ou corpo. Os corpos e anéis predefinidos são:
(a) generalring – o anel de expressões do Maxima,
(b) floatfield – o corpo dos números em ponto flutuante do tipo de precisão dupla,
(c) complexfield – o corpo dos números complexos em ponto flutuante do
tipo de precisão dupla,
(d) crering – o anel das expressões racionais canónicas (CRE) do Maxima,
(e) rationalfield – o corpo dos números racionais,
(f) runningerror – rastro de todos os erros de arredondamento de números em ponto flutuante,
(g) noncommutingring – o anel de expressões do Maxima onde multiplicação for o
operador ponto não comutativo.
Quando o corpo for floatfield, complexfield, ou
runningerror, o algoritmo usa pivotagem parcial; para todos
os outros corpos, linhas são comutadas somente quando necessário para evitar um pivô
nulo.
A adição aritmética em ponto flutuante não é associativa, então o significado de ’corpo’ difere da definição matemática.
Um membro do corpo runningerror é uma lista do Máxima de dois membros
da forma [x,n],onde x é um número em onto flutuante e
n é um inteiro. A diferença relativa entre o valor de
’verdadeiro’ de x e x é aproximadamente associado pelo épsilon da
máquina vezes n. O erro de execução associado arrasta alguns termos
da ordem do quadrado do épsilon da máquina.
Não existe interface de utilizador definida um novo anel. Um utilizador que estiver
familiazrizado com o Lisp Comum está apto para definir um novo corpo. Para fazer
isso, um utilizador deve definir funções para as operações aritméticas e
funções para conversão para a representação de corpo do Máxima e
vice-versa. Adicionalmente, para corpos ordenados (onde a pivotagem parcial será
usada), um uduário deve definir funções para módulo e para
comparar membros do corpo. Após isso tudo que resta é definir uma
estrutura de Lisp Comum mring. O ficheiro mring tem muitos
exemplos.
Para calcular a factorização, a primeira tarefa é converter cada entrada de
matriz para um elemento do corpo indicado. Quando a cnversão não for
possível, a factorização encerra com uma mensagem de erro. Elementos do
corpo não precisam ser expressões do Maxima. Elementos do
complexfield, por exemplo, são números complexos do Lisp Comum. Dessa forma
após calcular a factorização, como entradas da matriz devem ser
convertidas para expressões do Maxima.
Veja também get_lu_factors.
Exemplos:
(%i1) load ("linearalgebra");
Warning - you are redefining the Maxima function require_list
Warning - you are redefining the Maxima function matrix_size
Warning - you are redefining the Maxima function rank
(%o1) /usr/local/share/maxima/5.9.2/share/linearalgebra/linearalgebra.mac
(%i2) w[i,j] := random (1.0) + %i * random (1.0);
(%o2) w := random(1.) + %i random(1.)
i, j
(%i3) showtime : true$
Evaluation took 0.00 seconds (0.00 elapsed)
(%i4) M : genmatrix (w, 100, 100)$
Evaluation took 7.40 seconds (8.23 elapsed)
(%i5) lu_factor (M, complexfield)$
Evaluation took 28.71 seconds (35.00 elapsed)
(%i6) lu_factor (M, generalring)$
Evaluation took 109.24 seconds (152.10 elapsed)
(%i7) showtime : false$
(%i8) M : matrix ([1 - z, 3], [3, 8 - z]);
[ 1 - z 3 ]
(%o8) [ ]
[ 3 8 - z ]
(%i9) lu_factor (M, generalring);
[ 1 - z 3 ]
[ ]
(%o9) [[ 3 9 ], [1, 2]]
[ ----- - z - ----- + 8 ]
[ 1 - z 1 - z ]
(%i10) get_lu_factors (%);
[ 1 0 ] [ 1 - z 3 ]
[ 1 0 ] [ ] [ ]
(%o10) [[ ], [ 3 ], [ 9 ]]
[ 0 1 ] [ ----- 1 ] [ 0 - z - ----- + 8 ]
[ 1 - z ] [ 1 - z ]
(%i11) %[1] . %[2] . %[3];
[ 1 - z 3 ]
(%o11) [ ]
[ 3 8 - z ]
Retorna o número condiciona da norma de ordem p da matriz
m. Os valores permitidos para p são 1 e inf. Essa
função utiliza a factorização linear alta para inverter a matriz m. Dessa forma
o tempode execução para mat_cond é proporcional ao cubo do
tamanho da matriz; lu_factor determina as associaçãoes baixa e alta
para o número de condição de norma infinita em tempo proporcional ao
quadrado do tamanho da matriz.
Retorna a matriz de norma p da matriz M. Os valores permitidos para p são
1, inf, e frobenius (a norma da matriz de Frobenius). A matriz M pode ser
uma matriz não de bloco.
Fornecendo um argumento opcional p, matrixp retorna true se e for
uma matriz e p avaliar para true para todo elemento da matriz.
Quando a matrixp não for fornecido umargumento opcional, retorna true
se e for uma matriz. em todos os outros casos, retorna false.
Veja também blockmatrixp
Retorna uma lista com dois elementos que fornecem o número de linhas e colunas, respectivamente da matriz M.
Se M for uma matriz de bloco, expande todos os blocos da matriz em todos os níveis. Se M for uma matriz, retorna M; de outra forma, emite uma mensagem de erro.
Retorna o traço da matriz M. Se M não for uma matriz, retorna uma
forma substantiva. Quando M for uma matriz de bloco, mat_trace(M) retorna
o mesmo valor retornado por mat_trace(mat_unblocker(m)).
Se M for uma matriz de bloco, mat_unbloker desfaz o bloco de M um nível. Se M for uma matriz,
mat_unblocker (M) retorna M; de outra forma, emite uma mensagem de erro.
Dessa forma se cada entrada de M for matriz, mat_unblocker (M) retorna uma
matriz "desblocada", mas se cada entrada de M for uma matriz de bloco, mat_unblocker (M)
retorna uma matriz de bloco com um nível de bloco a menos.
Se usar matrizes de bloco, muito provavelmente irá querer escolher matrix_element_mult para
"." e matrix_element_transpose para 'transpose. Veja também mat_fullunblocker.
Exemplo:
(%i1) load ("linearalgebra");
Warning - you are redefining the Maxima function require_list
Warning - you are redefining the Maxima function matrix_size
Warning - you are redefining the Maxima function rank
(%o1) /usr/local/share/maxima/5.9.2/share/linearalgebra/linearalgebra.mac
(%i2) A : matrix ([1, 2], [3, 4]);
[ 1 2 ]
(%o2) [ ]
[ 3 4 ]
(%i3) B : matrix ([7, 8], [9, 10]);
[ 7 8 ]
(%o3) [ ]
[ 9 10 ]
(%i4) matrix ([A, B]);
[ [ 1 2 ] [ 7 8 ] ]
(%o4) [ [ ] [ ] ]
[ [ 3 4 ] [ 9 10 ] ]
(%i5) mat_unblocker (%);
[ 1 2 7 8 ]
(%o5) [ ]
[ 3 4 9 10 ]
Retorna true se e somente se n >= 0 e n for um inteiro.
Se M for uma matriz, retorna span (v_1, ..., v_n), onde o conjunto {v_1, ..., v_n}
é uma base para o espaço nulo de M. A diferença entre o maior elemento e o menor elemento do conjunto vazio é {0}.
Dessa forma, quando o espaço nulo tiver somente um membro, retorna span ().
Se M for uma matriz, retorna a dimensão do espaço nulo de M.
Retorna span (u_1, ..., u_m), onde o conjunto {u_1, ..., u_m} é uma
base para o complemento ortogonal do conjunto (v_1, ..., v_n).
Cada vector no intervalo de v_1 até v_n deve ser um vector coluna.
Retorna true se p for um polinómio nas variáveis da lista L,
O predicado coeffp deve avaliar para true para cada
coeficiente, e o predicado exponp deve avaliar para true para todos os
expoentes das variáveis na lista L. Se quiser usar um valor
personalizado para exponp, deverá fornecer coeffp com um valor mesmo se quiser
o valor padrão para coeffp.
polynomialp (p, L, coeffp) é equivalente a
polynomialp (p, L, coeffp, 'nonnegintegerp).
polynomialp (p, L) é equivalente a
polynomialp (p, L, 'constantp, 'nonnegintegerp).
O polinómio não precisa ser expandido:
(%i1) load ("linearalgebra");
Warning - you are redefining the Maxima function require_list
Warning - you are redefining the Maxima function matrix_size
Warning - you are redefining the Maxima function rank
(%o1) /usr/local/share/maxima/5.9.2/share/linearalgebra/linearalgebra.mac
(%i2) polynomialp ((x + 1)*(x + 2), [x]);
(%o2) true
(%i3) polynomialp ((x + 1)*(x + 2)^a, [x]);
(%o3) false
Um exemplo usando um valor personalizado para coeffp e para exponp:
(%i1) load ("linearalgebra");
Warning - you are redefining the Maxima function require_list
Warning - you are redefining the Maxima function matrix_size
Warning - you are redefining the Maxima function rank
(%o1) /usr/local/share/maxima/5.9.2/share/linearalgebra/linearalgebra.mac
(%i2) polynomialp ((x + 1)*(x + 2)^(3/2), [x], numberp, numberp);
(%o2) true
(%i3) polynomialp ((x^(1/2) + 1)*(x + 2)^(3/2), [x], numberp, numberp);
(%o3) true
Polinómios com duas variáveis:
(%i1) load ("linearalgebra");
Warning - you are redefining the Maxima function require_list
Warning - you are redefining the Maxima function matrix_size
Warning - you are redefining the Maxima function rank
(%o1) /usr/local/share/maxima/5.9.2/share/linearalgebra/linearalgebra.mac
(%i2) polynomialp (x^2 + 5*x*y + y^2, [x]);
(%o2) false
(%i3) polynomialp (x^2 + 5*x*y + y^2, [x, y]);
(%o3) true
Se p for um polinómio em x, retorna a atriz companheira de p. Para
um polinómio mônico p de grau n,
temos p = (-1)^n charpoly (polytocompanion (p, x)).
Quando p não for um polinómio em x, emite uma mensagem de erro.
Se M for uma matriz onde cada entrada dessa matriz for um polinómio em v, retorna a matriz M2 tal que
(1) M2 é triangular alta,
(2) M2 = E_n ... E_1 M,
onde os elemetnos de E_1 a E_n são matrizes elementares
cujas entrada são polinómios em v,
(3) |det (M)| = |det (M2)|,
Nota: Essa função não verifica se toda entrada é um polinómio em v.
Se M for uma matriz, retorna a matriz que resulta de se fazer a
operação de linha R_i <- R_i - theta * R_j. Se M não tiver uma linha
i ou j, emite uma mensagem de erro.
Retorna o ranque daquela matriz M. O rank é a dimensão do espaço coluna. Exemplo:
(%i1) load ("linearalgebra")$
WARNING: DEFUN/DEFMACRO: redefining function $COPY in
/share/maxima/5.11.0/share/linearalgebra/linalg-utilities.lisp,
was defined in
/maxima-5.11.0/src/binary-clisp/comm2.fas
(%i2) rank(matrix([1,2],[2,4]));
(%o2) 1
(%i3) rank(matrix([1,b],[c,d]));
Proviso: {d - b c # 0}
(%o3) 2
Se M for uma matriz, permuta as linha i e j. Se M não tiver uma linha i ou j, emite uma mensagem de erro.
Retorna uma matriz de Toeplitz T. a primeira coluna de T é col; excepto para a primeira entrada, a primeira linha de T é lin. O padrão para lin é o conjugado complexo de col. Exemplo:
(%i1) load("linearalgebra")$
(%i2) toeplitz([1,2,3],[x,y,z]);
[ 1 y z ]
[ ]
(%o2) [ 2 1 y ]
[ ]
[ 3 2 1 ]
(%i3) toeplitz([1,1+%i]);
[ 1 1 - %I ]
(%o3) [ ]
[ %I + 1 1 ]
Retorna uma matriz n por n cuja i-ésima linha é
[1, x_i, x_i^2, ... x_i^(n-1)].
Retorna uma matriz zero que tem o mesmo tamanho da matriz M. Toda entrada da matriz zero é a identidade aditiva do anel fld; o valor padrão para fld é generalring.
O primeiro argumento M pode ser uma matriz quadrada ou uma não matriz. Quando M for uma matriz, cada entrada de M pode ser uma matriz quadrada – dessa forma M pode ser uma matriz de bloco do Maxima. A matriz pode ser de bloco para qualquer nível (finito).
Veja também identfor
Se M não for uma matriz de bloco, retorna true se is (equal (e, 0))
for verdadeiro para cada elemento e da matriz M. Se M for uma matriz de bloco, retorna
true se zeromatrixp avaliar para true para cada elemento de e.
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