61.2, Definições para polinómios ortogonais

Função: assoc_legendre_p (n, m, x) ¶

As funções de Legendre associadas de primeiro tipo.

Referência: Abramowitz e Stegun, equações 22.5.37, página 779, 8.6.6 (segunda equação), página 334, e 8.2.5, página 333.

Função: assoc_legendre_q (n, m, x) ¶

A função de Legendre associada de segundo tipo.

Referência: Abramowitz e Stegun, equação 8.5.3 e 8.1.8.

Função: chebyshev_t (n, x) ¶

A função de Chebyshev de primeiro tipo.

Referência: Abramowitz e Stegun, equação 22.5.47,página 779.

Função: chebyshev_u (n, x) ¶

A função de Chebyshev do segundo tipo.

Referência: Abramowitz e Stegun, equação 22.5.48,página 779.

Função: gen_laguerre (n, a, x) ¶

O poliômio generalizado de Laguerre.

Referência: Abramowitz e Stegun, equação 22.5.54,página 780.

Função: hermite (n, x) ¶

O polinómio de Hermite.

Referência: Abramowitz e Stegun, equação 22.5.55,página 780.

Função: intervalp (e) ¶

Retorna true se a entrada for um intervalo e retorna false se não for.

Função: jacobi_p (n, a, b, x) ¶

o polinómio de Jacobi.

Os polinómios de Jacobi são actualmente definidos para todo a e b; todavia, o peso do polinómio de Jacobi (1 - x)^a (1 + x)^b não é integrável para a <= -1 ou b <= -1.

Referência: Abramowitz e Stegun, equação 22.5.42,página 779.

Função: laguerre (n, x) ¶

O polinómio de Laguerre.

Referência: Abramowitz e Stegun, equatções 22.5.16 e 22.5.54,página 780.

Função: legendre_p (n, x) ¶

O polinómio de Legendre de primeiro tipo.

Referência: Abramowitz e Stegun, equações 22.5.50 e 22.5.51,página 779.

Função: legendre_q (n, x) ¶

O polinómio de Legendre de primeiro tipo.

Referência: Abramowitz e Stegun, equações 8.5.3 e 8.1.8.

Função: orthopoly_recur (f, args) ¶

Retorna uma relação recursiva para a família de funções ortogonais f com argumentos args. A recursividade é com relação ao grau do polinómio.

(%i1) orthopoly_recur (legendre_p, [n, x]);
                (2 n - 1) P     (x) x + (1 - n) P     (x)
                           n - 1                 n - 2
(%o1)   P (x) = -----------------------------------------
         n                          n

O segundo argumento a orthopoly_recur deve ser uma lista com o número correcto de argumentos para a função f; se o número de argumentos não for o correcto, Maxima sinaliza com um erro.

(%i1) orthopoly_recur (jacobi_p, [n, x]);

Function jacobi_p needs 4 arguments, instead it received 2
 -- an error.  Quitting.  To debug this try debugmode(true);

Adicionalmente, quando f não for o nome de uma das famílias de polinómios ortogonais, um erro é sinalizado.

(%i1) orthopoly_recur (foo, [n, x]);

A recursion relation for foo isn't known to Maxima
 -- an error.  Quitting.  To debug this try debugmode(true);

Variable: orthopoly_returns_intervals ¶

Valor por omissão: true

Quando orthopoly_returns_intervals for true, resultados em ponto flutuante são retornados na forma interval (c, r), onde c é o centro de um intervalo e r é seu raio. O centro pode ser um número complexo; nesse caso, o intervalo é um disco no plano complexo.

Função: orthopoly_weight (f, args) ¶

Retorna uma lista de três elementos; o primeiro elemento é a fórmula do peso para a família de polinómios ortogonais f com argumentos fornecidos pela lista args; os segundos e terceiros elementos fornecem os pontos finais inferior e superior do intervalo de ortogonalidade. Por exemplo,

(%i1) w : orthopoly_weight (hermite, [n, x]);
                            2
                         - x
(%o1)                 [%e    , - inf, inf]
(%i2) integrate (w[1] * hermite (3, x) * hermite (2, x), x, w[2], w[3]);
(%o2)                           0

A variável principal de f deve ser um símbolo; Se não for, Maxima sinaliza com um erro.

Função: pochhammer (n, x) ¶

O símbolo de Pochhammer. Para inteiros não negativos n com n <= pochhammer_max_index, a expressão pochhammer (x, n) avalia para o produto x (x + 1) (x + 2) ... (x + n - 1) when n > 0 e para 1 quando n = 0. Para valores negativos de n, pochhammer (x, n) é definido como (-1)^n / pochhammer (1 - x, -n). Dessa forma

(%i1) pochhammer (x, 3);
(%o1)                   x (x + 1) (x + 2)
(%i2) pochhammer (x, -3);
                                 1
(%o2)               - -----------------------
                      (1 - x) (2 - x) (3 - x)

Para converter um símbolo de Pochhammer em um quociente de funções gama, (veja Abramowitz e Stegun, equação 6.1.22) use makegamma; por exemplo

(%i1) makegamma (pochhammer (x, n));
                          gamma(x + n)
(%o1)                     ------------
                            gamma(x)

Quando n exceder pochhammer_max_index ou quando n for simbólico, pochhammer retorna uma forma substantiva.

(%i1) pochhammer (x, n);
(%o1)                         (x)
                                 n

Variável: pochhammer_max_index ¶

Valor por omissão: 100

pochhammer (n, x) expande para um produto se e somente se n <= pochhammer_max_index.

Exemplos:

(%i1) pochhammer (x, 3), pochhammer_max_index : 3;
(%o1)                   x (x + 1) (x + 2)
(%i2) pochhammer (x, 4), pochhammer_max_index : 3;
(%o2)                         (x)
                                 4

Referência: Abramowitz e Stegun, equação 6.1.16,página 256.

Função: spherical_bessel_j (n, x) ¶

A Função de Bessel esférica de primeiro tipo.

Referência: Abramowitz e Stegun, equações 10.1.8,página 437 e 10.1.15,página 439.

Função: spherical_bessel_y (n, x) ¶

A Função de Bessel esférica de segundo tipo.

Referência: Abramowitz e Stegun, equações 10.1.9,página 437 e 10.1.15,página 439.

Função: spherical_hankel1 (n, x) ¶

A Função de Hankel esférica de primeiro tipo.

Referência: Abramowitz e Stegun, equação 10.1.36,página 439.

Função: spherical_hankel2 (n, x) ¶

A Função de Hankel esférica de segundo tipo.

Referência: Abramowitz e Stegun, equação 10.1.17,página 439.

Função: spherical_harmonic (n, m, x, y) ¶

A função armônica esférica.

Referência: Merzbacher 9.64.

Função: unit_step (x) ¶

A função de passo de unidade contínua à esquerda; dessa forma unit_step (x) tende para x <= 0 e é igual a 1 para x > 0.

Se quiser uma função de degrau unitário que tome o valor 1/2 em zero, use (1 + signum (x))/2.

Função: ultraspherical (n, a, x) ¶

A função polinômial ultraesférica (também conhecida como função polinomial de Gegenbauer).

Referência: Abramowitz e Stegun, equação 22.5.46,página 779.