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Reduz a ordem de recorrência linear rec quando uma solução particular sol for conhecida. A recorrência reduzida pode ser usada para pegar outras soluções.
Exemplo:
(%i3) rec: x[n+2] = x[n+1] + x[n]/n;
x
n
(%o3) x = x + --
n + 2 n + 1 n
(%i4) solve_rec(rec, x[n]);
WARNING: found some hypergeometrical solutions!
(%o4) x = %k n
n 1
(%i5) reduce_order(rec, n, x[n]);
(%t5) x = n %z
n n
n - 1
====
\
(%t6) %z = > %u
n / %j
====
%j = 0
(%o6) (- n - 2) %u - %u
n + 1 n
(%i6) solve_rec((n+2)*%u[n+1] + %u[n], %u[n]);
n
%k (- 1)
1
(%o6) %u = ----------
n (n + 1)!
So the general solution is
n - 1
==== n
\ (- 1)
%k n > -------- + %k n
2 / (n + 1)! 1
====
n = 0
Valor por omissão: true
Se simplify_products for true, solve_rec irá tentar
simplificar produtos no resultado.
Veja também: solve_rec.
Tenta simplificar todos os somatórios que aparecem na expr para uma forma a mais simplificada possível.
simplify_sum usa os algoritmos de Gosper e de Zeilberger para simplificar somatórios.
Para usar essa função primeiramente chame o pacote simplify_sum com
load("simplify_sum").
Exemplo:
(%i1) load("simplify_sum")$
(%i2) sum(binom(n+k,k)/2^k, k, 0, n) + sum(binom(2*n, 2*k), k, 0, n);
n n
==== ====
\ binomial(n + k, k) \
(%o2) > ------------------ + > binomial(2 n, 2 k)
/ k /
==== 2 ====
k = 0 k = 0
(%i3) simplify_sum(%);
n
4 n
(%o3) -- + 2
2
Encontra soluções hipergeométricas para a recorrência linear eqn com coeficientes polinomiais na variável var. Argumentos opcionais init são as condições iniciais.
solve_rec pode resolver recorrências lineares com coeficientes constantes,
encontrando soluções hipergeométricas para recorrências lineares homogêneas com
coeficientes polinomiais, soluções racionais para recorrências lineares com
coeficientes polinomiais e pode resolver recorrências do tipo de Ricatti.
Note que o tempo de execução do algoritmo usado para encontrar soluções hipergeométricas aumenta exponencialmente com o grau do coeficiente lider e guia.
Para usar essa função primeiramente chame o pacote solve_rec com
load("solve_rec");.
Exemplo de recorrência linear com coeficientes constantes:
(%i2) solve_rec(a[n]=a[n-1]+a[n-2]+n/2^n, a[n]);
n n
(sqrt(5) - 1) %k (- 1)
1 n
(%o2) a = ------------------------- - ----
n n n
2 5 2
n
(sqrt(5) + 1) %k
2 2
+ ------------------ - ----
n n
2 5 2
Exemplo de recorrência linear com coeficientes polinomiais:
(%i7) 2*x*(x+1)*y[x] - (x^2+3*x-2)*y[x+1] + (x-1)*y[x+2];
2
(%o7) (x - 1) y - (x + 3 x - 2) y + 2 x (x + 1) y
x + 2 x + 1 x
(%i8) solve_rec(%, y[x], y[1]=1, y[3]=3);
x
3 2 x!
(%o9) y = ---- - --
x 4 2
Exemplo de recorrência do tipo de Ricatti:
(%i2) x*y[x+1]*y[x] - y[x+1]/(x+2) + y[x]/(x-1) = 0;
y y
x + 1 x
(%o2) x y y - ------ + ----- = 0
x x + 1 x + 2 x - 1
(%i3) solve_rec(%, y[x], y[3]=5)$
(%i4) ratsimp(minfactorial(factcomb(%)));
3
30 x - 30 x
(%o4) y = - -------------------------------------------------
x 6 5 4 3 2
5 x - 3 x - 25 x + 15 x + 20 x - 12 x - 1584
Veja também: solve_rec_rat, simplify_products, e product_use_gamma.
Encontra soluções racionais para recorrências lineares. Veja solve_rec para uma descrição dos argumentos.
Para usar essa função primeirametne chame o pacote solve_rec com
load("solve_rec");.
Exemplo:
(%i1) (x+4)*a[x+3] + (x+3)*a[x+2] - x*a[x+1] + (x^2-1)*a[x];
(%o1) (x + 4) a + (x + 3) a - x a
x + 3 x + 2 x + 1
2
+ (x - 1) a
x
(%i2) solve_rec_rat(% = (x+2)/(x+1), a[x]);
1
(%o2) a = ---------------
x (x - 1) (x + 1)
Veja também: solve_rec.
Valor por omissão: true
Quando simplificando produtos, solve_rec introduz a função gama
dentro da expressão se product_use_gamma for true.
Veja também: simplify_products, solve_rec.
Retorna a recorrência satisfeita pelo somatório
sup
====
\
> x
/
====
k = inf
onde x é hipergeométrico em k e n. SE inf e sup
forem omitidos, são assumidos como sendo inf = -inf e sup = inf.
Para usar essa função primeiro chame o pacote simplify_sum com
load("simplify_sum").
Exemplo:
(%i1) load("simplify_sum")$
(%i2) summand: binom(n,k);
(%o2) binomial(n, k)
(%i3) summand_to_rec(summand,k,n);
(%o3) 2 sm - sm = 0
n n + 1
(%i7) summand: binom(n, k)/(k+1);
binomial(n, k)
(%o7) --------------
k + 1
(%i8) summand_to_rec(summand, [k, 0, n], n);
(%o8) 2 (n + 1) sm - (n + 2) sm = - 1
n n + 1
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