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Valor por omissão: true
Se stats_numer for true, funções de inferência estatística
retornam seus resultados em números com ponto flutuante. Se stats_numer for false,
resultados são fornecidos em formato simbólico e racional.
Esse é o teste-t de média. O argumento x é uma lista ou uma matriz coluna
contendo uma amostra unidimensional. test_mean tamb;em executa um teste assintótico
baseado no Teorema do Limite Central se a opção 'asymptotic for
true.
Opções:
'mean, o valor padrão é 0, é o valor da média a ser verificado.
'alternative, o valor padrão é 'twosided, é a hipótese alternativa;
valores válidos são: 'twosided, 'greater e 'less.
'dev, o valor padrão é 'unknown, corresponde ao valor do desvio padrão quando esse valor de desvio padrão for
conhecido; valores válidos são: 'unknown ou uma expressão positiva.
'conflevel, o valor padrão é 95/100, nível de confidência para o intervalo de confidência; deve
ser uma expressão que toma um valor em (0,1).
'asymptotic, o valor padrão é false, indica se test_mean exeecuta um teste-t exato ou
um teste assintótico baseando-se no Teorema do Limite Central;
valores válidos são true e false.
A saída da função test_mean é um objecto inference_result do Maxima
mostrando os seguintes resultados:
'mean_estimate: a média da amostra.
'conf_level: nível de confidência seleccionado pelo utilizador.
'conf_interval: intervalo de confidência para a média da população.
'method: procedimento de inferência.
'hypotheses: hipótese do nulo e hipótese alternativa a ser testada.
'statistic: valor da amostra estatística a ser usado para testar a hipótese do nulo.
'distribution: distribuição da amostra estatística, juntamente com seus parâmetro(s).
'p_value: valores de \(p\) do teste.
Exemplos:
Executa um teste-t exato com variância desconhecida. A hipótese do nulo é \(H_0: mean=50\) contra a alternativa unilatera \(H_1: mean<50\); conforme os resultados, o valor de \(p\) é muito grande, não existem evidências paa rejeitar \(H_0\).
(%i1) load("stats")$
(%i2) data: [78,64,35,45,45,75,43,74,42,42]$
(%i3) test_mean(data,'conflevel=0.9,'alternative='less,'mean=50);
| MEAN TEST
|
| mean_estimate = 54.3
|
| conf_level = 0.9
|
| conf_interval = [minf, 61.51314273502712]
|
(%o3) | method = Exact t-test. Unknown variance.
|
| hypotheses = H0: mean = 50 , H1: mean < 50
|
| statistic = .8244705235071678
|
| distribution = [student_t, 9]
|
| p_value = .7845100411786889
Nesta ocasião Maxima executa um testte assintótico, baseado no Teorema do Limite Central.
A hipótese do nulo é \(H_0: equal(mean, 50)\) contra a alternativa de duas vias \(H_1: not equal(mean, 50)\);
conforme os resultados, o valor de \(p\) é muito pequeno, \(H_0\) pode ser rejeitado em
favor da alternativa \(H_1\). Note que, como indicado pela componente Method,
esse procedimento pode ser aplicado a grandes amostras.
(%i1) load("stats")$
(%i2) test_mean([36,118,52,87,35,256,56,178,57,57,89,34,25,98,35,
98,41,45,198,54,79,63,35,45,44,75,42,75,45,45,
45,51,123,54,151],
'asymptotic=true,'mean=50);
| MEAN TEST
|
| mean_estimate = 74.88571428571429
|
| conf_level = 0.95
|
| conf_interval = [57.72848600856194, 92.04294256286663]
|
(%o2) | method = Large sample z-test. Unknown variance.
|
| hypotheses = H0: mean = 50 , H1: mean # 50
|
| statistic = 2.842831192874313
|
| distribution = [normal, 0, 1]
|
| p_value = .004471474652002261
Esse é o teste-t de diferença de médias entre duas amostras.
Os argumentos x1 e x2 são listas ou matrizes colunas
contendo duas amostras independentes. No caso de diferentes variâncias desconhecidas
(veja opções 'dev1, 'dev2 e 'varequal abaixo),
os graus de liberdade são calculados por meio da aproximação de Welch.
test_means_difference também executa um teste assintótico
baseado no Teorema do Limite Central se a opção 'asymptotic for
escolhida para true.
Opções:
'alternative, o valor padrão é 'twosided, é a hipótese alternativa;
valores válidos são: 'twosided, 'greater e 'less.
'dev1, o valor padrão é 'unknown, é o valor do desvio padrão
da amostra x1 quando esse desvio for conhecido; valores válidos são: 'unknown ou uma expressão positiva.
'dev2, o valor padrão é 'unknown, é o valor do desvio padrão
da amostra x2 quando esse desvio for conhecido; valores válidos são: 'unknown ou uma expressão positiva.
'varequal, o valor padrão é false, se variâncias podem serem consideradas como iguais ou não;
essa opção tem efeito somente quando 'dev1 e/ou 'dev2 forem 'unknown.
'conflevel, o valor padrão é 95/100, nível de confidência para o intervalo de confidência; deve
ser uma expressão que toma valores em (0,1).
Nota de Tradução: (0,1) representa intervalo aberto.
'asymptotic, o valor padrão é false, indica se test_means_difference executa um teste-t exato ou
um teste assíntótico baseando-se no Teorema do Limite Central;
valores válidos são true e false.
A saída da função test_means_difference é um objecto inference_result do Maxima
mostrando os seguintes resultados:
'diff_estimate: a diferença de médias estimadas.
'conf_level: nível de confidência seleccionado pelo utilizador.
'conf_interval: intervalo de confidência para a diferença de médias.
'method: procedimento de inferência.
'hypotheses: a hipótese do nulo e a hipótese alternativa a serem testadas.
'statistic: valor da amostra estatística usado para testar a hipótese do nulo.
'distribution: distribuição da amostra estatística, juntamente com seu(s) parâmetro(s).
'p_value: valor de \(p\) do teste.
Exemplos:
A igualdade de médias é testada com duas pequenas amostras x e y, contra a alternativa \(H_1: m_1>m_2\), sendo \(m_1\) e \(m_2\) as médias das populações; variâncias são desconhecidas e supostamente admitidas para serem diferentes.
(%i1) load("stats")$
(%i2) x: [20.4,62.5,61.3,44.2,11.1,23.7]$
(%i3) y: [1.2,6.9,38.7,20.4,17.2]$
(%i4) test_means_difference(x,y,'alternative='greater);
| DIFFERENCE OF MEANS TEST
|
| diff_estimate = 20.31999999999999
|
| conf_level = 0.95
|
| conf_interval = [- .04597417812882298, inf]
|
(%o4) | method = Exact t-test. Welch approx.
|
| hypotheses = H0: mean1 = mean2 , H1: mean1 > mean2
|
| statistic = 1.838004300728477
|
| distribution = [student_t, 8.62758740184604]
|
| p_value = .05032746527991905
O mesmo teste que antes, mas agora as variâncias são admitidas serem supostamente iguais.
(%i1) load("stats")$
(%i2) x: [20.4,62.5,61.3,44.2,11.1,23.7]$
(%i3) y: matrix([1.2],[6.9],[38.7],[20.4],[17.2])$
(%i4) test_means_difference(x,y,'alternative='greater,'varequal=true);
| DIFFERENCE OF MEANS TEST
|
| diff_estimate = 20.31999999999999
|
| conf_level = 0.95
|
| conf_interval = [- .7722627696897568, inf]
|
(%o4) | method = Exact t-test. Unknown equal variances
|
| hypotheses = H0: mean1 = mean2 , H1: mean1 > mean2
|
| statistic = 1.765996124515009
|
| distribution = [student_t, 9]
|
| p_value = .05560320992529344
Esse é o teste da variância chi^2. O argumento x é uma lista ou uma matriz coluna contendo uma amostra unidimensional tomada entre a população normal.
Opções:
'mean, o valor padrão é 'unknown, é a média da população, quando for conhecida.
'alternative, o valor padrão é 'twosided, é a hipótese alternativa;
valores válidos são: 'twosided, 'greater e 'less.
'variance, o valor padrão é 1, isso é o valor (positivo) da variância a ser testado.
'conflevel, o valor padrão é 95/100, nível de confidência para o intervalo de confidência; deve
ser uma expressão que toma valores em (0,1).
A saída da função test_variance está no objecto inference_result do Maxima
mostrando os seguintes resultados:
'var_estimate: a variância da amostra.
'conf_level: nível de confidência seleccionado pelo utilizador.
'conf_interval: intervalo de confidência para a variância da população.
'method: procedimento de inferência.
'hypotheses: a hipótese do nulo e a hipótese alternativa a serem testadas.
'statistic: valor da amostra estatística usado para testar a hipótese do nulo.
'distribution: distribuição da amostra estatística, juntamente com seu parâmetro.
'p_value: o valor de \(p\) do teste.
Exemplos:
Isso é testado se a variância de uma população com média desconhhecida for igual ou maior que 200.
(%i1) load("stats")$
(%i2) x: [203,229,215,220,223,233,208,228,209]$
(%i3) test_variance(x,'alternative='greater,'variance=200);
| VARIANCE TEST
|
| var_estimate = 110.75
|
| conf_level = 0.95
|
| conf_interval = [57.13433376937479, inf]
|
(%o3) | method = Variance Chi-square test. Unknown mean.
|
| hypotheses = H0: var = 200 , H1: var > 200
|
| statistic = 4.43
|
| distribution = [chi2, 8]
|
| p_value = .8163948512777689
Isso é o teste F da razão de variância para duas populações normais. Os argumentos x1 e x2 são listas ou matrizes colunas contendo duas amostras independentes.
Opções:
'alternative, o valor padrão é 'twosided, é a hipótese alternativa;
valores válidos são: 'twosided, 'greater e 'less.
'mean1, o valor padrão é 'unknown, quando for conhecida, isso é a média da
população da qual x1 foi tomada.
'mean2, o valor padrão é 'unknown, quando for conhecida, isso é a média da
população da qual x2 foi tomada.
'conflevel, o valor padrão é 95/100, nível de confidência para o intervalo de confidência da
razão; deve ser uma expressão que tome valores em (0,1).
A saída da função test_variance_ratio é um objecto inference_result do Maxima
mostrando os seguintes resultados:
'ratio_estimate: a razão de variância da amostra.
'conf_level: nível de confidência seleccionado pelo utilizador.
'conf_interval: intervalo de confidência para a razão de variância.
'method: procedimento de inferência.
'hypotheses: a hipótese do nulo e a hipótese alternativa a serem testadas.
'statistic: valor da amostra estatística usado para testar a hipótese do nulo.
'distribution: distribuição da amostra estatística, juntamente com seus parâmetros.
'p_value: o valor de \(p\) do teste.
Exemplos:
a igualdade das variâncias de duas populações normais é verificado contra a alternativa que a primeira é maior que a segunda.
(%i1) load("stats")$
(%i2) x: [20.4,62.5,61.3,44.2,11.1,23.7]$
(%i3) y: [1.2,6.9,38.7,20.4,17.2]$
(%i4) test_variance_ratio(x,y,'alternative='greater);
| VARIANCE RATIO TEST
|
| ratio_estimate = 2.316933391522034
|
| conf_level = 0.95
|
| conf_interval = [.3703504689507268, inf]
|
(%o4) | method = Variance ratio F-test. Unknown means.
|
| hypotheses = H0: var1 = var2 , H1: var1 > var2
|
| statistic = 2.316933391522034
|
| distribution = [f, 5, 4]
|
| p_value = .2179269692254457
Esse é o teste de sinal não paramétrico para a mediana de uma população contínua. O argumento x é uma lista ou uma matriz coluna contendo uma amostra unidimensional.
Opções:
'alternative, o valor padrão é 'twosided, é a hipótese alternativa;
valores válidos são: 'twosided, 'greater e 'less.
'median, o valor padrão é 0, é o valor da mediana a ser verificado.
A saída da função test_sign é um objecto inference_result do Maxima
mostrando os seguintes resultados:
'med_estimate: a mediana da amostra.
'method: procedimento de inferência.
'hypotheses: a hipótese do nulo e a hipótese alternativa a serem testadas.
'statistic: valor da amostra estatística usada para testar a hipótese do nulo.
'distribution: distribuição da amostra estatística, juntamente com seu(s) parâmetro(s).
'p_value: o valor de \(p\) do teste.
Exemplos:
Verifica se a população da qual a amostra foi tomada tem mediana 6, contra a alternativa \(H_1: median > 6\).
(%i1) load("stats")$
(%i2) x: [2,0.1,7,1.8,4,2.3,5.6,7.4,5.1,6.1,6]$
(%i3) test_sign(x,'median=6,'alternative='greater);
| SIGN TEST
|
| med_estimate = 5.1
|
| method = Non parametric sign test.
|
(%o3) | hypotheses = H0: median = 6 , H1: median > 6
|
| statistic = 7
|
| distribution = [binomial, 10, 0.5]
|
| p_value = .05468749999999989
Esse é o teste de ranque sinalizado de Wilcoxon para fazer inferências sobre a mediana de uma população contínua. O argumento x é uma lista ou uma matriz coluna contendo uma amostra unidimensional. Executa uma aproximação normal se o tamanho da amostra for maior que 20, ou se existirem zeros ou houverem empates.
Veja também pdf_rank_test e cdf_rank_test.
Opções:
'median, o valor padrão é 0, é o valor da mediana a ser verificado.
'alternative, o valor padrão é 'twosided, é a hipótese alternativa;
valores válidos são: 'twosided, 'greater e 'less.
A saída da função test_signed_rank é um objecto inference_result do Maxima
com os seguintes resultados:
'med_estimate: a mediana da amostra.
'method: procedimento de inferência.
'hypotheses: a hipótese do nulo e a hipótese alternativa a serem testadas.
'statistic: valor da amostra estatística usado para testar a hipótese do nulo.
'distribution: distribuição da amostra estatística, juntamente com seu(s) parâmetro(s).
'p_value: o valor de \(p\) do teste.
Exemplos:
Verifica a hipótese do nulo \(H_0: median = 15\) contra a alternativa \(H_1: median > 15\). Esse é um teste exato, ua vez que não exite empates.
(%i1) load("stats")$
(%i2) x: [17.1,15.9,13.7,13.4,15.5,17.6]$
(%i3) test_signed_rank(x,median=15,alternative=greater);
| SIGNED RANK TEST
|
| med_estimate = 15.7
|
| method = Exact test
|
(%o3) | hypotheses = H0: med = 15 , H1: med > 15
|
| statistic = 14
|
| distribution = [signed_rank, 6]
|
| p_value = 0.28125
Verifica a hipótese do nulo \(H_0: equal(median, 2.5)\) contra a alternativa \(H_1: not equal(median, 2.5)\). Esse é um teste aproximado, uma vez que ocorrem empates.
(%i1) load("stats")$
(%i2) y:[1.9,2.3,2.6,1.9,1.6,3.3,4.2,4,2.4,2.9,1.5,3,2.9,4.2,3.1]$
(%i3) test_signed_rank(y,median=2.5);
| SIGNED RANK TEST
|
| med_estimate = 2.9
|
| method = Asymptotic test. Ties
|
(%o3) | hypotheses = H0: med = 2.5 , H1: med # 2.5
|
| statistic = 76.5
|
| distribution = [normal, 60.5, 17.58195097251724]
|
| p_value = .3628097734643669
Esse é o teste de Wilcoxon-Mann-Whitney para comparação das medianas de duas populações contínuas. Os primeiros dois argumentos x1 e x2 são listas ou matrizes colunas com os dados de duas amostras independentes. Executa aproximação normal se quaisquer dos tamanhos de amostra for maior que 10, ou se houverem empates.
Opção:
'alternative, o valor padrão é 'twosided, é a hipótese alternativa;
valores válidos são: 'twosided, 'greater e 'less.
A saída da função test_rank_sum é um objecto inference_result do Maxima
com os seguintes resultados:
'method: procedimento de inferência.
'hypotheses: a hipótese do nulo e a hipótese alternativa a serem testadas.
'statistic: valor da amostra estatística usada para testar a hipótese do nulo.
'distribution: distribuição da amostra estatística, juntamente com seus parâmetros.
'p_value: o valor de \(p\) do teste.
Exemplos:
Verifica se populações possuem medianas similares. Tamanhos de amotra são pequenos e é feito um teste exato.
(%i1) load("stats")$
(%i2) x:[12,15,17,38,42,10,23,35,28]$
(%i3) y:[21,18,25,14,52,65,40,43]$
(%i4) test_rank_sum(x,y);
| RANK SUM TEST
|
| method = Exact test
|
| hypotheses = H0: med1 = med2 , H1: med1 # med2
(%o4) |
| statistic = 22
|
| distribution = [rank_sum, 9, 8]
|
| p_value = .1995886466474702
Agora, com grandes amostras e empates, o procedimento faz aproximação norma. A hipótese alternativa é \(H_1: median1 < median2\).
(%i1) load("stats")$
(%i2) x: [39,42,35,13,10,23,15,20,17,27]$
(%i3) y: [20,52,66,19,41,32,44,25,14,39,43,35,19,56,27,15]$
(%i4) test_rank_sum(x,y,'alternative='less);
| RANK SUM TEST
|
| method = Asymptotic test. Ties
|
| hypotheses = H0: med1 = med2 , H1: med1 < med2
(%o4) |
| statistic = 48.5
|
| distribution = [normal, 79.5, 18.95419580097078]
|
| p_value = .05096985666598441
Teste de Shapiro-Wilk para normalidade. O argumento x é uma lista de números, e o tamanho
da amostra deve ser maior que 2 e menor ou igua a 5000, de outra forma, a função
test_normality sinaliza com um erro.
Referência:
[1] Algorithm AS R94, Applied Statistics (1995), vol.44, no.4, 547-551
A saída da função test_normality é um objecto inference_result do Maxima
com os seguintes resultados:
'statistic: valor do W estatístico.
'p_value: valor de \(p\) sob a hipótese de normalidade.
Exemplos:
Verifica a normalidade de uma população, baseada em uma amostra de tamanho 9.
(%i1) load("stats")$
(%i2) x:[12,15,17,38,42,10,23,35,28]$
(%i3) test_normality(x);
| SHAPIRO - WILK TEST
|
(%o3) | statistic = .9251055695162436
|
| p_value = .4361763918860381
Regressão linear simples, \(y_i=a+b x_i+e_i\), onde os \(e_i\) são \(N(0,sigma)\) variáveis aleatórias independentes. O argumento x deve ser uma matriz de duas colunas ou uma lista de pares.
Opções:
'conflevel, o valor padrão é 95/100, nível de confidência para o intervalo de confidência; isso deve
ser uma expressão que tome valores em (0,1).
'regressor, o valor padrão é 'x, nome da variável independente.
A saída da função simple_linear_regression é um objecto inference_result do Maxima
com os seguintes resultados:
'model: a equação ajustada. Útil para fazer novas previsões. Veja exemplos abaixo.
'means: média de duas variáveis pseudo-aleatórias.
'variances: variâncias de ambas as variáveis.
'correlation: coeficiente de correlação.
'adc: coeficiente de determinação ajustado.
'a_estimation: estimador do parâmetro a.
'a_conf_int: intervalo de confidência do parâmetro a.
'b_estimation: estimador do parâmetro b.
'b_conf_int: intervalo de confidência do parâmetro b.
'hypotheses: a hipótese do nulo e a hipótese alternativa sobre o parâmetro b.
'statistic: valor da amostra estatística usado para testar a hipótese do nulo.
'distribution: distribuição da amostra estatística, juntamente com seu parâmetro.
'p_value: o valor de \(p\) do teste sobre b.
'v_estimation: estimador de variância imparcial, ou variância residual.
'v_conf_int: intervalo de confidência da variância.
'cond_mean_conf_int: intervalo de confidência paa a média condicionada. Veja exemplos abaixo.
'new_pred_conf_int: intervalo de confidência para uma nova previsão. Veja exemplos abaixo.
'residuals: lista de pares (previsão, resíduo), ordenados em relação às previsões.
Útil para achar o melhor da análise de ajuste. Veja exemplos abaixo.
Somente os itens 1, 4, 14, 9, 10, 11, 12, e 13 acima, nessa ordem, são mostrados por padrão. Os restantes
escondem-se até que o utilizador faça uso de funções items_inference e take_inference.
Exemplo:
Ajustando um modelo linear para uma amostras de duas variáveis. A entrada %i4 monta p gráfico
da amostra junto com a linha de regressão; a entrada %i5
calcula y dado x=113; a média e o
intervalo de confidência para uma nova previsão quando x=113 são também calculados.
(%i1) load("stats")$
(%i2) s:[[125,140.7],[130,155.1],[135,160.3],[140,167.2],[145,169.8]]$
(%i3) z:simple_linear_regression(s,conflevel=0.99);
| SIMPLE LINEAR REGRESSION
|
| model = 1.405999999999985 x - 31.18999999999804
|
| correlation = .9611685255255155
|
| v_estimation = 13.57966666666665
|
(%o3) | b_conf_int = [.04469633662525263, 2.767303663374718]
|
| hypotheses = H0: b = 0 ,H1: b # 0
|
| statistic = 6.032686683658114
|
| distribution = [student_t, 3]
|
| p_value = 0.0038059549413203
(%i4) plot2d([[discrete, s], take_inference(model,z)],
[x,120,150],
[gnuplot_curve_styles, ["with points","with lines"]] )$
(%i5) take_inference(model,z), x=133;
(%o5) 155.808
(%i6) take_inference(means,z);
(%o6) [135.0, 158.62]
(%i7) take_inference(new_pred_conf_int,z), x=133;
(%o7) [132.0728595995113, 179.5431404004887]
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