Introdução ao Pacote atensor (Manual do Maxima 5.47.0)

29.1, Introdução ao Pacote atensor

atensor é um pacote de manipulção de tensores algébricos. Para usar atensor, digite load("atensor"), seguido por uma chamada à função init_atensor.

A essência de atensor é um conjunto de regras de simplificação para o operador de produto (ponto) não comutativo ("."). atensor reconhece muitos tipos de álgebra; as regras de simplificação correspondentes são activadas quando a função init_atensor é chamada.

A compatibilidade de atensor pode ser demonstrada pela definição da álgebra de quaterniões como uma álgebra de Clifford Cl(0,2) com dois vectores fundamentais. As três unidades quaterniónicas imaginárias fundamentais são então os dois vectores base e seu produto, i.e.:

    i = v     j = v     k = v  .  v
         1         2         1    2

Embora o pacote atensor tenha uma definição interna para a álgebra dos quaterniões, isso não foi usado nesse exemplo, no qual nós nos esforçamos para construir a tabela de multiplicação dos quaterniões como uma matriz:


(%i1) load("atensor");
(%o1)       /share/tensor/atensor.mac
(%i2) init_atensor(clifford,0,0,2);
(%o2)                                done
(%i3) atensimp(v[1].v[1]);
(%o3)                                 - 1
(%i4) atensimp((v[1].v[2]).(v[1].v[2]));
(%o4)                                 - 1
(%i5) q:zeromatrix(4,4);
                                [ 0  0  0  0 ]
                                [            ]
                                [ 0  0  0  0 ]
(%o5)                           [            ]
                                [ 0  0  0  0 ]
                                [            ]
                                [ 0  0  0  0 ]
(%i6) q[1,1]:1;
(%o6)                                  1
(%i7) for i thru adim do q[1,i+1]:q[i+1,1]:v[i];
(%o7)                                done
(%i8) q[1,4]:q[4,1]:v[1].v[2];
(%o8)                               v  .  v
                                     1    2
(%i9) for i from 2 thru 4 do for j from 2 thru 4 do
      q[i,j]:atensimp(q[i,1].q[1,j]);
(%o9)                                done
(%i10) q;
                   [    1        v         v      v  .  v  ]
                   [              1         2      1    2 ]
                   [                                      ]
                   [   v         - 1     v  .  v    - v    ]
                   [    1                 1    2      2   ]
(%o10)             [                                      ]
                   [   v      - v  .  v     - 1      v     ]
                   [    2        1    2              1    ]
                   [                                      ]
                   [ v  .  v      v        - v       - 1   ]
                   [  1    2      2          1            ]

atensor reconhece como bases vectoriais símbolos indexados, onde o símbolo é aquele armazenado em asymbol e o iíndice está entre 1 e adim. Para símbolos indexado, e somente para símbolos indexados, as formas bilineares sf, af, e av são avaliadas. A avaliação substitui os valores de aform[i,j] em lugar de fun(v[i],v[j]) onde v representa o valor de asymbol e fun é ainda af ou sf; ou, isso substitui v[aform[i,j]] em lugar de av(v[i],v[j]).

Desnecessário dizer, as funções sf, af e av podem ser redefinidas.

Quando o pacote atensor é chamado, os seguintes sinalizadores são configurados:

dotscrules:true;
dotdistrib:true;
dotexptsimp:false;

Se quiser experimentar com uma álgebra não associativa, pode também considerar a configuração de dotassoc para false. Nesse caso, todavia, atensimp não stará sempre habilitado a obter as simplificações desejadas.