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Faz a mudança de variável dada por
f(x,y) = 0 em todas as integrais que ocorrem em expr com integração em
relação a x.
A nova variável é y.
(%i1) assume(a > 0)$
(%i2) 'integrate (%e**sqrt(a*y), y, 0, 4);
4
/
[ sqrt(a) sqrt(y)
(%o2) I %e dy
]
/
0
(%i3) changevar (%, y-z^2/a, z, y);
0
/
[ abs(z)
2 I z %e dz
]
/
- 2 sqrt(a)
(%o3) - ----------------------------
a
Uma expressão contendo uma forma substantiva, tais como as instâncias de 'integrate acima,
pode ser avaliada por ev com o sinalizador nouns.
Por exemplo, a expressão retornada por changevar acima pode ser avaliada
por ev (%o3, nouns).
changevar pode também ser usada para alterações nos índices de uma soma ou de um
produto. Todavia, isso deve obrigatóriamente ser realizado de forma que quando uma alteração é feita em uma
soma ou produto, essa mudança deve ser um artifício, i.e., i = j+ ..., não uma
função de grau mais alto. E.g.,
(%i4) sum (a[i]*x^(i-2), i, 0, inf);
inf
====
\ i - 2
(%o4) > a x
/ i
====
i = 0
(%i5) changevar (%, i-2-n, n, i);
inf
====
\ n
(%o5) > a x
/ n + 2
====
n = - 2
Uma rotina de integral dupla que foi escrita no
alto-nível do Maxima e então traduzida e compilada para linguagem de máquina.
Use load ("dblint") para acessar esse pacote. Isso usa o método da regra de
Simpson em ambas as direções x e y para calcular
/b /s(x) | | | | f(x,y) dy dx | | /a /r(x)
A função f deve ser uma função traduzida ou compilada de duas
variáveis, e r e s devem cada uma ser uma função traduzida ou
compilada de uma variável, enquanto a e b devem ser números em ponto
flutuante. A rotina tem duas variáveis globais que determinam o
número de divisões dos intervalos x e y: dblint_x e dblint_y,
ambas as quais são inicialmente 10, e podem ser alteradas independentemente para
outros valores inteiros (existem 2*dblint_x+1 pontos calculados na
direção x , e 2*dblint_y+1 na direção y).
A rotina subdivide o eixo X e então para cada valor de X isso
primeiro calcula r(x) e s(x); então o eixo Y entre r(x) e s(x) é
subdividido e a integral ao longo do eixo Y é executada usando
a regra de Simpson; então a integral ao longo do eixo X é concluída usando
a regra de Simpson com os valores da função sendo as integrais-Y. Esse
procedimento pode ser numericamente instável por uma grande variedade razões,
mas razoávelmente rápido: evite usar isso sobre funções altamente oscilatórias
e funções com singularidades (postes ou pontos de ramificação na
região). As integrais Y dependem de quanto fragmentados r(x) e s(x) são,
então se a ditância s(x) - r(x) varia rapidamente com X, nesse ponto pode ter
erros substanciais provenientes de truncação com diferentes saltos-tamanhos
nas várias integrais Y. Um pode incrementar dblint_x e dblint_y em
uma tentativa para melhorar a convergência da reião, com sacrifício do
tempo de computação. Os valores da função não são salvos, então se a
função é muito desperdiçadora de tempo,você terá de esperar por
re-computação se você mudar qualquer coisa (desculpe).
Isso é requerido que as funções f, r, e s sejam ainda traduzidas
ou compiladas previamente chamando dblint. Isso resultará em ordens de
magnitude de melhoramentos de velocidade sobre o código interpretado em muitos casos!
demo (dblint) executa uma demonstração de dblint aplicado a um problema exemplo.
Tenta calcular uma integral definida.
defint é chamada por integrate quando limites de integração são especificados,
i.e., quando integrate é chamado como integrate (expr, x, a, b).
Dessa forma do ponto de vista do usuário, isso é suficiente para chamar integrate.
defint retorna uma expressão simbólica,
e executa um dos dois: ou calcula a integral ou a forma substantiva da integral.
Veja quad_qag e funções rellacionadas para aproximação numérica de integrais definidas.
Representa a função de erro, cuja derivada é:
2*exp(-x^2)/sqrt(%pi).
Valor padrão: true
Quando erfflag é false, previne risch da introdução da
função erf na resposta se não houver nenhum no integrando para
começar.
Calcula a transformação inversa de Laplace de expr em
relação a t e parâmetro s. expr deve ser uma razão de
polinômios cujo denominador tem somente fatores lineares e quadráticos.
Usando a funções laplace e ilt juntas com as funções solve ou
linsolve o usuário pode resolver uma diferencial simples ou
uma equação integral de convolução ou um conjunto delas.
(%i1) 'integrate (sinh(a*x)*f(t-x), x, 0, t) + b*f(t) = t**2;
t
/
[ 2
(%o1) I f(t - x) sinh(a x) dx + b f(t) = t
]
/
0
(%i2) laplace (%, t, s);
a laplace(f(t), t, s) 2
(%o2) b laplace(f(t), t, s) + --------------------- = --
2 2 3
s - a s
(%i3) linsolve ([%], ['laplace(f(t), t, s)]);
2 2
2 s - 2 a
(%o3) [laplace(f(t), t, s) = --------------------]
5 2 3
b s + (a - a b) s
(%i4) ilt (rhs (first (%)), s, t);
Is a b (a b - 1) positive, negative, or zero?
pos;
sqrt(a b (a b - 1)) t
2 cosh(---------------------) 2
b a t
(%o4) - ----------------------------- + -------
3 2 2 a b - 1
a b - 2 a b + a
2
+ ------------------
3 2 2
a b - 2 a b + a
Tenta símbolicamente calcular a integral de expr em relação a x.
integrate (expr, x) é uma integral indefinida,
enquanto integrate (expr, x, a, b) é uma integral definida,
com limites de integração a e b.
Os limites não poderam conter x, embora integrate não imponha essa restrição.
a não precisa ser menor que b.
Se b é igual a a, integrate retorna zero.
Veja quad_qag e funções relacionadas para aproximação numérica de integrais definidas.
Veja residue para computação de resíduos (integração complexa).
Veja antid para uma forma alternativa de calcular integrais indefinidas.
A integral (uma expressão livre de integrate) é retornada se integrate obtém sucesso.
De outra forma o valor de retorno é
a forma substantiva da integral (o operador com apóstrofo 'integrate)
ou uma expressão contendo uma ou mais formas substantivas.
A forma substantiva de integrate é mostrada com um sinal de integral.
Em algumas circunstâncias isso é útil para construir uma forma substantiva manualmente,
colocando em integrate um apóstrofo, e.g., 'integrate (expr, x).
Por exemplo, a integral pode depender de alguns parâmetos que não estão ainda calculados.
A forma substantiva pode ser aplicada a seus argumentos por ev (i, nouns)
onde i é a forma substantiva de interesse.
integrate manuseia integrais definidas separadamente das indefinidas,
e utiliza uma gama de heurísticas para manusear cada caso.
Casos especiais de integrais definidas incluem limites de integração iguais a
zero ou infinito (inf ou minf),
funções trigonométricas com limites de integração iguais a zero e %pi ou 2 %pi,
funções racionais,
integrais relacionadas para as definições de funções beta e psi,
e algumas integrais logarítmicas e trigonométricas.
Processando funções racionais pode incluir computação de resíduo.
Se um caso especial aplicável não é encontrado,
tentativa será feita para calcular a integra indefinida e avaliar isso nos limites de integração.
Isso pode incluir pegar um limite como um limite de integração tendendo ao infinito ou a menos infinito;
veja também ldefint.
Casos especiais de integrais indefinidas incluem funções trigonométricas,
exponenciais e funções logarítmicas,
e funções racionais.
integrate pode também fazer uso de uma curta tabela de integais elementares.
integrate pode realizar uma mudança de variável
se o integrando tem a forma f(g(x)) * diff(g(x), x).
integrate tenta achar uma subexpressão g(x) de forma que
a derivada de g(x) divida o integrando.
Essa busca pode fazer uso de derivadas definidas pela função gradef.
Veja também changevar e antid.
Se nenhum dos procedimentos heurísticos acha uma integral indefinida,
o algorítmo de Risch é executado.
O sinalizador risch pode ser escolhido como um evflag,
na chamada para ev ou na linha de comando,
e.g., ev (integrate (expr, x), risch) ou integrate (expr, x), risch.
Se risch está presente, integrate chama a função risch
sem tentar heurísticas primeiro. Veja também risch.
integrate trabalha somente com relações funcionais representadas explicitamente com a notação f(x).
integrate não respeita dependências implicitas estabelecidas pela função depends.
integrate pode necessitar conhecer alguma propriedade de um parâmetro no integrando.
integrate irá primeiro consultar a base de dados do assume,
e , se a variável de interesse não está lá,
integrate perguntará ao usuário.
Dependendo da pergunta,
respostas adequadas são yes; ou no;,
ou pos;, zero;, ou neg;.
integrate não é, por padrão, declarada ser linear. Veja declare e linear.
integrate tenta integração por partes somente em uns poucos casos especiais.
Exemplos:
(%i1) integrate (sin(x)^3, x);
3
cos (x)
(%o1) ------- - cos(x)
3
(%i2) integrate (x/ sqrt (b^2 - x^2), x);
2 2
(%o2) - sqrt(b - x )
(%i3) integrate (cos(x)^2 * exp(x), x, 0, %pi);
%pi
3 %e 3
(%o3) ------- - -
5 5
(%i4) integrate (x^2 * exp(-x^2), x, minf, inf);
sqrt(%pi)
(%o4) ---------
2
assume e dúvida interativa.
(%i1) assume (a > 1)$
(%i2) integrate (x**a/(x+1)**(5/2), x, 0, inf);
2 a + 2
Is ------- an integer?
5
no;
Is 2 a - 3 positive, negative, or zero?
neg;
3
(%o2) beta(a + 1, - - a)
2
gradef,
e uma usando a derivação diff(r(x)) de uma função não especificada r(x).
(%i3) gradef (q(x), sin(x**2));
(%o3) q(x)
(%i4) diff (log (q (r (x))), x);
d 2
(-- (r(x))) sin(r (x))
dx
(%o4) ----------------------
q(r(x))
(%i5) integrate (%, x);
(%o5) log(q(r(x)))
'integrate.
Nesse exemplo, Maxima pode extrair um fator do denominador
de uma função racional, mas não pode fatorar o restante ou de outra forma achar sua integral.
grind mostra a forma substantiva 'integrate no resultado.
Veja também integrate_use_rootsof para mais sobre integrais de funções racionais.
(%i1) expand ((x-4) * (x^3+2*x+1));
4 3 2
(%o1) x - 4 x + 2 x - 7 x - 4
(%i2) integrate (1/%, x);
/ 2
[ x + 4 x + 18
I ------------- dx
] 3
log(x - 4) / x + 2 x + 1
(%o2) ---------- - ------------------
73 73
(%i3) grind (%);
log(x-4)/73-('integrate((x^2+4*x+18)/(x^3+2*x+1),x))/73$
f_1 nesse exemplo contém a forma substantiva de integrate.
O operador apóstrofo-apóstrofo '' faz com que a integral seja avaliada,
e o resultado transforme-se no corpo de f_2.
(%i1) f_1 (a) := integrate (x^3, x, 1, a);
3
(%o1) f_1(a) := integrate(x , x, 1, a)
(%i2) ev (f_1 (7), nouns);
(%o2) 600
(%i3) /* Note parentheses around integrate(...) here */
f_2 (a) := ''(integrate (x^3, x, 1, a));
4
a 1
(%o3) f_2(a) := -- - -
4 4
(%i4) f_2 (7);
(%o4) 600
Valor padrão: 0
integração_constant_counter é um contador que é atualizado a cada vez que uma
constante de integração (nomeada pelo Maxima, e.g., integrationconstant1)
é introduzida em uma expressão pela integração indefinida de uma equação.
Valor padrão: false
Quando integrate_use_rootsof é true e o denominador de
uma função racional não pode ser fatorado, integrate retorna a integral
em uma forma que é uma soma sobre as raízes (não conhecidas ainda) do denominador.
Por exemplo, com integrate_use_rootsof escolhido para false,
integrate retorna uma integral não resolvida de uma função racional na forma substantiva:
(%i1) integrate_use_rootsof: false$
(%i2) integrate (1/(1+x+x^5), x);
/ 2
[ x - 4 x + 5
I ------------ dx 2 x + 1
] 3 2 2 5 atan(-------)
/ x - x + 1 log(x + x + 1) sqrt(3)
(%o2) ----------------- - --------------- + ---------------
7 14 7 sqrt(3)
Agora vamos escolher o sinalizador para ser true e a parte não resolvida da integral será expressa como um somatório sobre as raízes do denominador da função racional:
(%i3) integrate_use_rootsof: true$
(%i4) integrate (1/(1+x+x^5), x);
==== 2
\ (%r4 - 4 %r4 + 5) log(x - %r4)
> -------------------------------
/ 2
==== 3 %r4 - 2 %r4
3 2
%r4 in rootsof(%r4 - %r4 + 1, %r4)
(%o4) ----------------------------------------------------------
7
2 x + 1
2 5 atan(-------)
log(x + x + 1) sqrt(3)
- --------------- + ---------------
14 7 sqrt(3)
Alternativamente o usuário pode calcular as raízes do denominador separadamente,
e então expressar o integrando em termos dessas raízes,
e.g., 1/((x - a)*(x - b)*(x - c)) ou 1/((x^2 - (a+b)*x + a*b)*(x - c))
se o denominador for um polinômio cúbico.
Algumas vezes isso ajudará Maxima a obter resultados mais úteis.
Tenta calcular a integral definida de expr pelo uso de
limit para avaliar a integral indefinida expr em relação a x
no limite superior b e no limite inferior a.
Se isso falha para calcular a integral definida,
ldefint retorna uma expressão contendo limites como formas substantivas.
ldefint não é chamada por integrate,
então executando ldefint (expr, x, a, b) pode retornar um resultado diferente de
integrate (expr, x, a, b).
ldefint sempre usa o mesmo método para avaliar a integral definida,
enquanto integrate pode utilizar várias heurísticas e pode reconhecer alguns casos especiais.
O cálculo faz uso da variável global potentialzeroloc[0]
que deve ser nonlist ou da forma
[indeterminatej=expressãoj, indeterminatek=expressãok, ...]
O
formador sendo equivalente para a expressão nonlist para todos os lados
direitos-manuseados mais tarde. Os lados direitos indicados são usados como o
limite inferior de integração. O sucesso das integrações pode
depender de seus valores e de sua ordem. potentialzeroloc é inicialmente escolhido
para 0.
Calcula o resíduo no plano complexo da
expressão expr quando a variável z assumes o valor z_0. O
resíduo é o coeficiente de (z - z_0)^(-1) nas séries de Laurent
para expr.
(%i1) residue (s/(s**2+a**2), s, a*%i);
1
(%o1) -
2
(%i2) residue (sin(a*x)/x**4, x, 0);
3
a
(%o2) - --
6
Integra expr em relação a x usando um
caso transcendental do algorítmo de Risch. (O caso algébrico do
algorítmo de Risch foi implementado.) Isso atualmente
manuseia os casos de exponenciais aninhadas e logarítmos que a parte
principal de integrate não pode fazer. integrate irá aplicar automaticamente risch
se dados esses casos.
erfflag, se false, previne risch da introdução da função
erf na resposta se não for achado nenhum no integrando para
começar.
(%i1) risch (x^2*erf(x), x);
2
3 2 - x
%pi x erf(x) + (sqrt(%pi) x + sqrt(%pi)) %e
(%o1) -------------------------------------------------
3 %pi
(%i2) diff(%, x), ratsimp;
2
(%o2) x erf(x)
Equivalente a ldefint com tlimswitch escolhido para true.
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