Funções e Variáveis Definidas para QUADPACK (Manual do Maxima)

20.4, Funções e Variáveis Definidas para QUADPACK

Função: quad_qag (f(x), x, a, b, chave, epsrel, limite) ¶

Função: quad_qag (f, x, a, b, chave, epsrel, limite) ¶

Integração de uma função genérica sobre um intervalo finito. quad_qag implementa um integrador adaptativo globalmente simples usando a estratégia de Aind (Piessens, 1973). O chamador pode escolher entre 6 pares de fórmulas da quadratura de Gauss-Kronrod para a componente de avaliação da regra. As regras de alto nível são adequadas para integrandos fortemente oscilatórios.

quad_qag calcula a integral

\(integrate (f(x), x, a, b)\)

A função a ser integrada é f(x), com variável dependente x, e a função é para ser integrada entre os limites a e b. chave é o integrador a ser usado e pode ser um inteiro entre 1 e 6, inclusive. O valor de chave seleciona a ordem da regra de integração de Gauss-Kronrod. Regra de alta ordem são adequadas para integrandos fortemente oscilatórios.

O integrando pode ser especidficado como o nome de uma função Maxima ou uma função Lisp ou um operador, uma expressão lambda do Maxima, ou uma expressão geral do Maxima.

A integração numérica é concluída adaptativamente pela subdivisão a região de integração até que a precisão desejada for completada.

Os argumentos opcionais epsrel e limite são o erro relativo desejado e o número máximo de subintervalos respectivamente. epsrel padrão em 1e-8 e limite é 200.

quad_qag retorna uma lista de quatro elementos:

uma aproximação para a integral,
o erro absoluto estimado da aproximação,
o número de avaliações do integrando,
um código de erro.

O código de erro (quarto elemento do valor de retorno) pode ter os valores:

0: se nenhum problema for encontrado;
1: se muitos subintervalos foram concluídos;
2: se erro excessivo é detectado;
3: se ocorre comportamento extremamente ruim do integrando;
6: se a entrada é inválida.

Exemplos:

(%i1) quad_qag (x^(1/2)*log(1/x), x, 0, 1, 3);
(%o1)    [.4444444444492108, 3.1700968502883E-9, 961, 0]
(%i2) integrate (x^(1/2)*log(1/x), x, 0, 1);
                                4
(%o2)                           -
                                9

Função: quad_qags (f(x), x, a, b, epsrel, limite) ¶

Função: quad_qags (f, x, a, b, epsrel, limite) ¶

Integração de uma função geral sobre um intervalo finito. quad_qags implementa subdivisão de intervalo globalmente adaptativa com extrapolação (de Doncker, 1978) através do algorítmo de (Wynn, 1956).

quad_qags computes the integral

\(integrate (f(x), x, a, b)\)

A função a ser integrada é f(x), com variável dependente x, e a função é para ser integrada entre os limites a e b.

O integrando pode ser especidficado como o nome de uma função Maxima ou uma função Lisp ou um operador, uma expressão lambda do Maxima, ou uma expressão geral do Maxima.

Os argumentos opcionais epsrel e limite são o erro relativo desejado e o número máximo de subintervalos, respectivamente. epsrel padrão em 1e-8 e limite é 200.

quad_qags retorna uma lista de quatro elementos:

uma aproximação para a integral,
o erro absoluto estimado da aproximação,
o número de avaliações do integrando,
um código de erro.

O código de erro (quarto elemento do valor de retorno) pode ter os valores:

0: nenhum problema foi encontrado;
1: muitos subintervalos foram concluídos;
2: erro excessivo é detectado;
3: ocorreu comportamento excessivamente ruim do integrando;
4: falhou para convergência
5: integral é provavelmente divergente ou lentamente convergente
6: se a entrada é inválida.

Exemplos:

(%i1) quad_qags (x^(1/2)*log(1/x), x, 0 ,1);
(%o1)   [.4444444444444448, 1.11022302462516E-15, 315, 0]

Note que quad_qags é mais preciso e eficiente que quad_qag para esse integrando.

Função: quad_qagi (f(x), x, a, inftype, epsrel, limite) ¶

Função: quad_qagi (f, x, a, inftype, epsrel, limite) ¶

Integração de uma função genérica sobre um intervalo finito ou semi-finito. O intervalo é mapeado sobre um intervalo finito e então a mesma estratégia que em quad_qags é aplicada.

quad_qagi avalia uma das seguintes integrais

\(integrate (f(x), x, minf, inf)\)

\(integrate (f(x), x, minf, a)\)

\(integrate (f(x), x, a, minf, inf)\)

usando a rotina Quadpack QAGI. A função a ser integrada é f(x), com variável dependente x, e a função é para ser integrada sobre um intervalo infinito.

O integrando pode ser especidficado como o nome de uma função Maxima ou uma função Lisp ou um operador, uma expressão lambda do Maxima, ou uma expressão geral do Maxima.

O parâmetro inftype determina o intervalo de integração como segue:

inf: O intervalo vai de a ao infinito positivo.
minf: O intervalo vai do infinito negativo até a.
both: O intervalo corresponde a toda reta real.

Os argumentos opcionais epsrel e limite são o erro relativo desejado e o número maximo de subintervalos, respectivamente. epsrel padrão para 1e-8 e limite é 200.

quad_qagi retorna uma lista de quatro elementos:

uma aproximação para a integral,
o erro absoluto estimado da aproximação,
o número de avaliações do integrando,
um código de erro.

O código de erro (quarto elemento do valor de retorno) pode ter os valores:

0: nenhum problema foi encontrado;
1: muitos subintervalos foram concluídos;
2: erro excessivo é detectado;
3: ocorreu comportamento excessivamente ruim do integrando;
4: falhou para convergência;
5: integral é provavelmente divergente ou lentamente convergente;
6: se a entrada for inválida.

Exemplos:

(%i1) quad_qagi (x^2*exp(-4*x), x, 0, inf);
(%o1)        [0.03125, 2.95916102995002E-11, 105, 0]
(%i2) integrate (x^2*exp(-4*x), x, 0, inf);
                               1
(%o2)                          --
                               32

Função: quad_qawc (f(x), x, c, a, b, epsrel, limite) ¶

Função: quad_qawc (f, x, c, a, b, epsrel, limite) ¶

Calcula o valor principal de Cauchy de \(f(x)/(x - c)\) over a finite interval. A estratégia é globalmente adaptativa, e a integração de Clenshaw-Curtis modificada é usada sobre as subamplitudes que possuírem o ponto \(x = c\).

quad_qawc calcula o valor principal de Cauchy de

\(integrate (f(x)/(x - c), x, a, b)\)

usando a rotina Quadpack QAWC. A função a ser integrada é f(x)/(x - c), com variável dependente x, e a função é para ser integrada sobre o intervalo que vai de a até b.

O integrando pode ser especidficado como o nome de uma função Maxima ou uma função Lisp ou um operador, uma expressão lambda do Maxima, ou uma expressão geral do Maxima.

Os argumentos opcionais epsrel e limite são o erro relativo desejado e o máximo número de subintervalos, respectivamente. epsrel padrão para 1e-8 e limite é 200.

quad_qawc retorna uma lista de quatro elementos:

uma aproximação para a integral,
o erro absoluto estimado da aproximação,
o número de avaliações do integrando,
um código de erro.

O código de erro (quarto elemento do valoor de retorno) pode ter os valores:

0: nenhum problema foi encontrado;
1: muitos subintervalos foram concluídos;
2: erro excessivo é detectado;
3: ocorreu comportamento excessivamente ruim do integrando;
6: se a entrada é inválida.

Exemplos:

(%i1) quad_qawc (2^(-5)*((x-1)^2+4^(-5))^(-1), x, 2, 0, 5);
(%o1)    [- 3.130120337415925, 1.306830140249558E-8, 495, 0]
(%i2) integrate (2^(-alpha)*(((x-1)^2 + 4^(-alpha))*(x-2))^(-1), x, 0, 5);
Principal Value
                       alpha
        alpha       9 4                 9
       4      log(------------- + -------------)
                      alpha           alpha
                  64 4      + 4   64 4      + 4
(%o2) (-----------------------------------------
                        alpha
                     2 4      + 2

         3 alpha                       3 alpha
         -------                       -------
            2            alpha/2          2          alpha/2
      2 4        atan(4 4       )   2 4        atan(4       )   alpha
    - --------------------------- - -------------------------)/2
                alpha                        alpha
             2 4      + 2                 2 4      + 2
(%i3) ev (%, alpha=5, numer);
(%o3)                    - 3.130120337415917

Função: quad_qawf (f(x), x, a, omega, trig, epsabs, limit, maxp1, limlst) ¶

Função: quad_qawf (f, x, a, omega, trig, epsabs, limit, maxp1, limlst) ¶

Calcula uma transformação de cosseno de Fourier ou de um seno de Fourier sobre um intervalo semi-finito. usando a função QAWF do pacote Quadpack. A mesma aproxima como em quad_qawo quando aplicada sobre intervalos finitos sucessivos, e aceleração de convergência por meio d algorítimo de Epsilon (Wynn, 1956) aplicado a séries de contribuições de integrais.

quad_qawf calcula a integral

\(integrate (f(x)*w(x), x, a, inf)\)

A função peso \(w\) é selecionada por trig:

cos: \(w(x) = cos (omega x)\)
sin: \(w(x) = sin (omega x)\)

O integrando pode ser especidficado como o nome de uma função Maxima ou uma função Lisp ou um operador, uma expressão lambda do Maxima, ou uma expressão geral do Maxima.

Os argumentos opcionais são:

epsabs: Erro absoluto de aproximação desejado. Padrão é 1d-10.
limit: Tamanho de array interno de trabalho. (limit - limlst)/2 é o maximo número de subintervalos para usar. O Padrão é 200.
maxp1: O número máximo dos momentos de Chebyshev. Deve ser maior que 0. O padrão é 100.
limlst: Limite superior sobre número de ciclos. Deve ser maior ou igual a 3. O padrão é 10.

epsabs e limit são o erro relativo desejado e o número maximo de subintervalos, respectivamente. epsrel padrão para 1e-8 e limit é 200.

quad_qawf retorna uma lista de quatro elementos:

uma aproximação para a integral,
o erro absoluto estimado da aproximação,
o número de avaliações do integrando,
um código de erro.

O código de erro (quarto elemento do valor de retorno) pode ter os valores:

0: nenhum problema foi encontrado;
1: muitos subintervalos foram concluídos;
2: erro excessivo é detectado;
3: ocorreu um comportamento excessivamente ruim do integrando;
6: se a entrada é invalida.

Exemplos:

(%i1) quad_qawf (exp(-x^2), x, 0, 1, 'cos);
(%o1)   [.6901942235215714, 2.84846300257552E-11, 215, 0]
(%i2) integrate (exp(-x^2)*cos(x), x, 0, inf);
                          - 1/4
                        %e      sqrt(%pi)
(%o2)                   -----------------
                                2
(%i3) ev (%, numer);
(%o3)                   .6901942235215714

Função: quad_qawo (f(x), x, a, b, omega, trig, epsabs, limite, maxp1, limlst) ¶

Função: quad_qawo (f, x, a, b, omega, trig, epsabs, limite, maxp1, limlst) ¶

Integração de \(cos(omega x) f(x)\) ou \(sin(omega x) f(x)\) sobre um intervalo finito, onde \(omega\) é uma constante. A componente de avaliação da regra é baseada na técnica modificada de Clenshaw-Curtis. quad_qawo aplica subdivisão adaptativa com extrapolação, similar a quad_qags.

quad_qawo calcula a integral usando a rotina Quadpack QAWO:

\(integrate (f(x)*w(x), x, a, b)\)

A função peso \(w\) é selecionada por trig:

cos: \(w(x) = cos (omega x)\)
sin: \(w(x) = sin (omega x)\)

O integrando pode ser especidficado como o nome de uma função Maxima ou uma função Lisp ou um operador, uma expressão lambda do Maxima, ou uma expressão geral do Maxima.

Os argumentos opcionais são:

epsabs: Erro absoluto desejado de aproximação. O Padrão é 1d-10.
limite: Tamanho do array interno de trabalho. (limite - limlst)/2 é o número máximo de subintervalos a serem usados. Default é 200.
maxp1: Número máximo dos momentos de Chebyshev. Deve ser maior que 0. O padrão é 100.
limlst: Limite superior sobre o número de ciclos. Deve ser maior que ou igual a 3. O padrão é 10.

epsabs e limite são o erro relativo desejado e o número máximo de subintervalos, respectivamente. epsrel o padrão é 1e-8 e limite é 200.

quad_qawo retorna uma lista de quatro elementos:

uma aproximação para a integral,
o erro absoluto estimado da aproximação,
o número de avaliações do integrando,
um código de erro.

O código de erro (quarto elemento do valor de retorno) pode ter os valores:

0: nenhum problema foi encontrado;
1: muitos subintervalos foram concluídos;
2: erro excessivo é detectado;
3: comportamento extremamente ruim do integrando;
6: se a entrada é inválida.

Exemplos:

(%i1) quad_qawo (x^(-1/2)*exp(-2^(-2)*x), x, 1d-8, 20*2^2, 1, cos);
(%o1)     [1.376043389877692, 4.72710759424899E-11, 765, 0]
(%i2) rectform (integrate (x^(-1/2)*exp(-2^(-alpha)*x) * cos(x), x, 0, inf));
                   alpha/2 - 1/2            2 alpha
        sqrt(%pi) 2              sqrt(sqrt(2        + 1) + 1)
(%o2)   -----------------------------------------------------
                               2 alpha
                         sqrt(2        + 1)
(%i3) ev (%, alpha=2, numer);
(%o3)                     1.376043390090716

Função: quad_qaws (f(x), x, a, b, alpha, beta, wfun, epsabs, limite) ¶

Função: quad_qaws (f, x, a, b, alpha, beta, wfun, epsabs, limite) ¶

Integração de \(w(x) f(x)\) sobre um intervalo finito, onde \(w(x)\) é uma certa função algébrica ou logarítmica. Uma estratégia de subdivisão globalmente adaptativa é aplicada, com integração modificada de Clenshaw-Curtis sobre os subintervalos que possuírem os pontos finais dos intervalos de integração.

quad_qaws calcula a integral usando a rotina Quadpack QAWS:

\(integrate (f(x)*w(x), x, a, b)\)

A função peso \(w\) é selecionada por wfun:

1: \(w(x) = (x - a)^alpha (b - x)^beta\)
2: \(w(x) = (x - a)^alpha (b - x)^beta log(x - a)\)
3: \(w(x) = (x - a)^alpha (b - x)^beta log(b - x)\)
4: \(w(x) = (x - a)^alpha (b - x)^beta log(x - a) log(b - x)\)

O integrando pode ser especidficado como o nome de uma função Maxima ou uma função Lisp ou um operador, uma expressão lambda do Maxima, ou uma expressão geral do Maxima.

O argumentos opcionais são:

epsabs: Erro absoluto desejado de aproximação. O padrão é 1d-10.
limite: Tamanho do array interno de trabalho. (limite - limlst)/2 é o número máximo de subintervalos para usar. O padrão é 200.

epsabs e limit são o erro relativo desejado e o número máximo de subintervalos, respectivamente. epsrel o padrão é 1e-8 e limite é 200.

quad_qaws retorna uma lista de quatro elementos:

uma aproximação para a integral,
o erro absoluto estimado da aproximação,
o número de avaliações do integrando,
um código de erro.

O código de erro (quarto elemento do valor de retorno) pode ter os valores:

0: nenhum problema foi encontrado;
1: muitos subintervalos foram concluídos;
2: erro excessivo é detectado;
3: ocorreu um comportamento excessivamente ruim do integrando;
6: se a entrada é invalida.

Exemplos:

(%i1) quad_qaws (1/(x+1+2^(-4)), x, -1, 1, -0.5, -0.5, 1);
(%o1)     [8.750097361672832, 1.24321522715422E-10, 170, 0]
(%i2) integrate ((1-x*x)^(-1/2)/(x+1+2^(-alpha)), x, -1, 1);
       alpha
Is  4 2      - 1  positive, negative, or zero?

pos;
                          alpha         alpha
                   2 %pi 2      sqrt(2 2      + 1)
(%o2)              -------------------------------
                               alpha
                            4 2      + 2
(%i3) ev (%, alpha=4, numer);
(%o3)                     8.750097361672829