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Maxima implementa a manipulação de tensores simbólicos d dois tipos distintos:
manipulação de componentes de tensores (pacote ctensor) e manipulação de tensores indiciais (pacote itensor).
Note bem: Por favor veja a nota sobre ’nova notação de tensor’ abaixo.
Manipulação de componentes de tensores significa que objetos do tipo
tensor geométrico são representados como arrays ou matrizes. Operações com tensores tais com
contração ou diferenciação covariante são realizadas
sobre índices (que ocorrem exatamente duas vezes) repetidos com declarações do.
Isto é, se executa explicitamente operações sobre as componentes apropriadas do
tensor armazenadas em um array ou uma matriz.
Manipulação tensorial de índice é implementada através da representação de tensores como funções e suas covariantes, contravariantes e índices de derivação. Operações com tensores como contração ou diferenciação covariante são executadas através de manipulação dos índices em si mesmos em lugar das componentes para as quais eles correspondem.
Esses dois métodos aproximam-se do tratamento de processos diferenciais, algébricos e analíticos no contexto da geometria de Riemannian possuem várias vantagens e desvantagens as quais se revelam por si mesmas somente apesar da natureza particular e dificuldade dos problemas de usuário. Todavia, se pode ter em mente as seguintes características das duas implementações:
As representações de tensores e de operações com tensores explicitamente em
termos de seus componntes tornam o pacote ctensor fácil de usar. Especificação da
métrica e o cálculo de tensores induzidos e invariantes
é direto. Embora todas a capacidade de simplificação poderosa do
Maxima está em manusear, uma métrica complexa com intrincada dependência funcional
e de coordenadas pode facilmente conduzir a expressões cujo tamanho é
excessivo e cuja estrutura está escondida. Adicionalmente, muitos cálculos
envolvem expressões intermediárias cujo crescimento fazem com que os programas
terminem antes de serem completados. Através da experiência, um usuário pode evitar
muitas dessas dificuldade.
O motivo de caminhos especiais através dos quais tensores e operações de tensores
são representados em termos de operações simbólicas sobre seus índices,
expressões cujas representação de componentes podem ser
não gerenciaveis da forma comum podem algumas vezes serem grandemente simplificadas através do uso das rotinas
especiais para objetos simétricos em itensor. Nesse caminho a estrutura
de uma expressão grande pode ser mais transparente. Por outro lado, o motivo
da representação indicial especial em itensor, faz com que em alguns casos o
usuário possa encontrar dificuldade com a especificação da métrica, definição
de função, e a avaliação de objetos "indexados" diferenciados.
Até agora, o pacote itensor no Maxima tinha usado uma notação que algumas vezes
conduzia a ordenação incorreta de índices. Considere o seguinte, por exemplo:
(%i2) imetric(g);
(%o2) done
(%i3) ishow(g([],[j,k])*g([],[i,l])*a([i,j],[]))$
i l j k
(%t3) g g a
i j
(%i4) ishow(contract(%))$
k l
(%t4) a
O resultado está incorreto a menos que ocorra ser a um tensor simétrico.
A razão para isso é que embora itensor mantenha corretamente
a ordem dentro do conjunto de índices covariantes e contravariantes, assim que um
índice é incrementado ou decrementado, sua posição relativa para o outro conjunto de
índices é perdida.
Para evitar esse problema, uma nova notação tem sido desenvolvida que mantém total
compatibilidade com a notação existente e pode ser usada intercambiavelmente. Nessa
notação, índices contravariantes são inseridos na posição
apropriada na lista de índices covariantes, mas com um sinal de menos colocado antes.
Funções como contract e ishow estão agora consciente dessa
nova notação de índice e podem processar tensores apropriadamente.
Nessa nova notação, o exemplo anterior retorna um resultado correto:
(%i5) ishow(g([-j,-k],[])*g([-i,-l],[])*a([i,j],[]))$
i l j k
(%t5) g a g
i j
(%i6) ishow(contract(%))$
l k
(%t6) a
Presentemente, o único código que faz uso dessa notação é a função
lc2kdt. Através dessa notação, a função lc2kdt encontra com êxito resultados consistentes como
a aplicação do tensor métrico para resolver os símbolos de Levi-Civita sem reordenar
para índices numéricos.
Uma vez que esse código é um tipo novo, provavelmente contém erros. Enquanto esse tipo novo não tiver sido testado para garantir que ele não interrompe nada usando a "antiga" notação de tensor, existe uma considerável chance que "novos" tensores irão falhar em interoperar com certas funções ou recursos. Essas falhas serão corrigidas à medida que forem encontradas... até então, seja cuidadoso!
o pacote de manipulação de tensores indiciais pode ser chamado através de
load("itensor"). Demonstações estão também disponíveis: tente demo(tensor).
Em itensor um tensor é representado como um "objeto indexado" . Um "objeto indexado" é uma
função de 3 grupos de índices os quais representam o covariante,
o contravariante e o índice de derivação. Os índices covariantes são
especificados através de uma lista com o primeiro argumento para o objeto indexado, e
os índices contravariantes através de uma lista como segundo argumento. Se o
objeto indexado carece de algum desses grupos de índices então a lista
vazia [] é fornecida como o argumento correspondente. Dessa forma, g([a,b],[c])
representa um objeto indexado chamado g o qual tem dois índices covariantes
(a,b), um índice contravariante (c) e não possui índices de derivação.
Os índices de derivação, se estiverem presente, são anexados ao final como
argumentos adicionais para a função numérica representando o tensor.
Eles podem ser explicitamente especificado pelo usuário ou serem criados no
processo de diferenciação com relação a alguma variável coordenada.
Uma vez que diferenciação ordinária é comutativa, os índices de derivação
são ordenados alfanumericamente, a menos que iframe_flag seja escolhida para true,
indicando que uma moldura métrica está sendo usada. Essa ordenação canônica torna
possível para Maxima reconhecer que, por exemplo, t([a],[b],i,j) é
o mesmo que t([a],[b],j,i). Diferenciação de um objeto indexado com
relação a alguma coordenada cujos índices não aparecem como um argumento
para o objeto indexado podem normalmente retornar zero. Isso é porque
Maxima pode não saber que o tensor representado através do objeto
indexado possívelmente depende implicitamente da respectiva coordenada. Pela
modificação da função existente no Maxima, diff, em itensor, Maxima sabe
assumir que todos os objetos indexados dependem de qualquer variável de
diferenciação a menos que seja declarado de outra forma. Isso torna possível para
a convençào de somatório ser extendida para índices derivativos. Pode
ser verificado que itensor não possui a compatibilidade de
incrementar índices derivativos, e então eles são sempre tratados como
covariantes.
As seguintes funções estão disponíveis no pacote tensor para
manipulação de objetos. Atualmente, com relação às
rotinas de simplificação, é assumido que objetos indexados não
possuem por padrão propriedades simétricas. Isso pode ser modificado através
da escolha da variável allsym[false] para true, o que irá
resultar no tratamento de todos os objetos indexados completamente simétricos em suas
listas de índices covariantes e simétricos em suas listas de
índices contravariantes.
O pacote itensor geralmente trata tensores como objetos opacos. Equações
tensoriais são manipuladas baseadas em regras algébricas, especificamente simetria
e regras de contração. Adicionalmente, o pacote itensor não entende
diferenciação covariante, curvatura, e torsão. Cálculos podem ser
executados relativamente a um métrica de molduras de movimento, dependendo da escolha para
a variável iframe_flag.
Uma sessão demonstrativa abaixo mostra como chamar o pacote itensor,
especificando o nome da métrica, e executando alguns cálculos simples.
(%i1) load("itensor");
(%o1) /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) imetric(g);
(%o2) done
(%i3) components(g([i,j],[]),p([i,j],[])*e([],[]))$
(%i4) ishow(g([k,l],[]))$
(%t4) e p
k l
(%i5) ishow(diff(v([i],[]),t))$
(%t5) 0
(%i6) depends(v,t);
(%o6) [v(t)]
(%i7) ishow(diff(v([i],[]),t))$
d
(%t7) -- (v )
dt i
(%i8) ishow(idiff(v([i],[]),j))$
(%t8) v
i,j
(%i9) ishow(extdiff(v([i],[]),j))$
(%t9) v - v
j,i i,j
-----------
2
(%i10) ishow(liediff(v,w([i],[])))$
%3 %3
(%t10) v w + v w
i,%3 ,i %3
(%i11) ishow(covdiff(v([i],[]),j))$
%4
(%t11) v - v ichr2
i,j %4 i j
(%i12) ishow(ev(%,ichr2))$
%4 %5
(%t12) v - g v (e p + e p - e p - e p
i,j %4 j %5,i ,i j %5 i j,%5 ,%5 i j
+ e p + e p )/2
i %5,j ,j i %5
(%i13) iframe_flag:true;
(%o13) true
(%i14) ishow(covdiff(v([i],[]),j))$
%6
(%t14) v - v icc2
i,j %6 i j
(%i15) ishow(ev(%,icc2))$
%6
(%t15) v - v ifc2
i,j %6 i j
(%i16) ishow(radcan(ev(%,ifc2,ifc1)))$
%6 %8 %6 %8
(%t16) - (ifg v ifb + ifg v ifb - 2 v
%6 j %8 i %6 i j %8 i,j
%6 %8
- ifg v ifb )/2
%6 %8 i j
(%i17) ishow(canform(s([i,j],[])-s([j,i])))$
(%t17) s - s
i j j i
(%i18) decsym(s,2,0,[sym(all)],[]);
(%o18) done
(%i19) ishow(canform(s([i,j],[])-s([j,i])))$
(%t19) 0
(%i20) ishow(canform(a([i,j],[])+a([j,i])))$
(%t20) a + a
j i i j
(%i21) decsym(a,2,0,[anti(all)],[]);
(%o21) done
(%i22) ishow(canform(a([i,j],[])+a([j,i])))$
(%t22) 0
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