Equações de Diferenças

Para resolver equações de diferenças, você tem que chamar o pacote differ.mac. Você faz isso com o seguinte comando:

batch(differ);

Você verá uma mensagem dizendo a você que esse pacote redefine o sistema funcional do Maxima. Isso é uma surpresa, mas para a maioria das aplicações isso não causará problemas.

A função para resolver uma equação de diferença ou um sistema de equações de diferença é difference, e é chamada com dois argumentos. O primeiro argumento é ou a equação de diferença ou uma lista de equações de diferença; o segundo argumento é ou a desconhecida ou uma lista de desconhecidas.

deq1: g[n+1] = g[n]*3/2;
					  3 g
					     n
(%o19) 				 g      = ----
				  n + 1	   2

difference (deq1, g[n]);
					   n
				       g  3
					0
(%o20) 				  g  = -----
				   n	 n
					2

**

(%i27) deq2: h[n+2]=h[n + 1]*2 + 3*h[n];

(%o27) 			   h	  = 2 h	     + 3 h
			    n + 2      n + 1	  n

(%i28) sol: difference(deq2, h[n]);

			3 h    3 h
			   1	  0   n
		       (---- + ----) 3	   h    3 h
			 4      4	    1	   0	   n
(%o28) 		  h  = ---------------- - (-- - ----) (- 1)
		   n	      3		   4	 4

Para obter uma expressão para um dado valor de n, e.g para 5, você pode avaliar:

ev(sol, n = 5);

A mesma função ev pode também ser usada para fornecer valores para os valores iniciais h[0], h[1].

A função difference não é muito flexível, para usá-la, você tem que concordar com essas regras:

• Os índices de uma equação de diferença seguem o modelo: n, n+1, n+2, ...
  
• A função não entende o modelo n-2, n-1, n.

Economistas usam duas aprocimaços essencialmente diferentes para escolher modelos de processos econômicos:

• A análise do período, onde o fluxo de tempo é dividido em períodos sucessivos de comprimento constante, tomado como unidade de tempo. Esses modelos fornecem diferentes equações.
• A análise contínua, onde o tempo flui continuamente. Variáveis de modelo são contínuas funções diferenciáveis de tempo. Esses modelos são equações diferenciais.

Exemplos de Uso:

Um modelo muito simples:

 eq1: y[t + 1] = z[t];
 eq2: z[t]=c[t] + i[t];
 eq3: c[t]=c*y[t];
 eq4: i[t]=a;
 eliminate([eq1, eq2, eq3, eq4], [ z[t], c[t], i[t]]);
       			      [y      - c y  - a]
				t + 1	   t
result: difference (first(%), y[t]);
					     t
				     t	 a (c  - 1)
       			    y  = y  c  + ----------
			     t	  0	   c - 1

As letras do modelo seguem convenções estabelecidas da teoria de macro-economia. Os significados são:

• c: consumo
• i: investmenti
• y: entrada
  
• z: demanda total

O modelo assume um investimento constante, e um consumo que é proporcional à entrada. A equação eq2 estabelece que a demanda total é o somatório do consumo e do investimento, eq1 é também algo presumido, nomeadamente que a entrada do período t se iguada ao total da demanda do período anterior t-1. (as despesas de um período são a entrada disponível para o próximo período. (Essa suposição prévia postula um sistema inteiramente fechado.)

Podemos imediatamente explorar o resultado:

(%i25) assume (c < 1);
(%o25) 				    [c < 1]
(%i26) limit(result, t, inf);
Is  abs(c) - 1  positive, negative, or zero?

negative;
Is  c  positive, negative, or zero?

positive;
Is  y   positive, negative, or zero?
     0

positive;
Is  a  positive, negative, or zero?

positive;
					       a
       			     limit    y  = - -----
			     t -> inf  t     c - 1