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Equa��es de Diferen�as


Para resolver equa��es de diferen�as, voc� tem que chamar o pacote differ.mac. Voc� faz isso com o seguinte comando:

batch(differ);

Voc� ver� uma mensagem dizendo a voc� que esse pacote redefine o sistema funcional do Maxima. Isso � uma surpresa, mas para a maioria das aplica��es isso n�o causar� problemas.

A fun��o para resolver uma equa��o de diferen�a ou um sistema de equa��es de diferen�a � difference, e � chamada com dois argumentos. O primeiro argumento � ou a equa��o de diferen�a ou uma lista de equa��es de diferen�a; o segundo argumento � ou a desconhecida ou uma lista de desconhecidas.

deq1: g[n+1] = g[n]*3/2;
3 g
n
(%o19) g = ----
n + 1 2
difference (deq1, g[n]); n
g 3
0
(%o20) g = -----
n n
2

**

(%i27) deq2: h[n+2]=h[n + 1]*2 + 3*h[n];

(%o27) h = 2 h + 3 h
n + 2 n + 1 n

(%i28) sol: difference(deq2, h[n]);

3 h 3 h
1 0 n
(---- + ----) 3 h 3 h
4 4 1 0 n
(%o28) h = ---------------- - (-- - ----) (- 1)
n 3 4 4

Para obter uma express�o para um dado valor de n, e.g para 5, voc� pode avaliar:

ev(sol, n = 5);

A mesma fun��o ev pode tamb�m ser usada para fornecer valores para os valores iniciais h[0], h[1].

A fun��o difference n�o � muito flex�vel, para us�-la, voc� tem que concordar com essas regras:


Economistas usam duas aprocima�os essencialmente diferentes para escolher modelos de processos econ�micos:

Exemplos de Uso:

Um modelo muito simples:

 eq1: y[t + 1] = z[t];
eq2: z[t]=c[t] + i[t];
eq3: c[t]=c*y[t];
eq4: i[t]=a;
eliminate([eq1, eq2, eq3, eq4], [ z[t], c[t], i[t]]);
[y - c y - a]
t + 1 t
result: difference (first(%), y[t]); t
t a (c - 1)
y = y c + ----------
t 0 c - 1

As letras do modelo seguem conven��es estabelecidas da teoria de macro-economia. Os significados s�o:

O modelo assume um investimento constante, e um consumo que � proporcional � entrada. A equa��o eq2 estabelece que a demanda total � o somat�rio do consumo e do investimento, eq1 � tamb�m algo presumido, nomeadamente que a entrada do per�odo t se iguada ao total da demanda do per�odo anterior t-1. (as despesas de um per�odo s�o a entrada dispon�vel para o pr�ximo per�odo. (Essa suposi��o pr�via postula um sistema inteiramente fechado.)

Podemos imediatamente explorar o resultado:

(%i25) assume (c < 1);
(%o25) [c < 1] (%i26) limit(result, t, inf); Is abs(c) - 1 positive, negative, or zero? negative; Is c positive, negative, or zero? positive; Is y positive, negative, or zero?
0
positive; Is a positive, negative, or zero? positive; a
limit y = - -----
t -> inf t c - 1


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