Equa��es de Diferen�as

Para resolver equa��es de diferen�as, voc� tem que chamar o pacote differ.mac. Voc� faz isso com o seguinte comando:

batch(differ);

Voc� ver� uma mensagem dizendo a voc� que esse pacote redefine o sistema funcional do Maxima. Isso � uma surpresa, mas para a maioria das aplica��es isso n�o causar� problemas.

A fun��o para resolver uma equa��o de diferen�a ou um sistema de equa��es de diferen�a � difference, e � chamada com dois argumentos. O primeiro argumento � ou a equa��o de diferen�a ou uma lista de equa��es de diferen�a; o segundo argumento � ou a desconhecida ou uma lista de desconhecidas.

deq1: g[n+1] = g[n]*3/2;
					  3 g
					     n
(%o19) 				 g      = ----
				  n + 1	   2

difference (deq1, g[n]);
					   n
				       g  3
					0
(%o20) 				  g  = -----
				   n	 n
					2

**

(%i27) deq2: h[n+2]=h[n + 1]*2 + 3*h[n];

(%o27) 			   h	  = 2 h	     + 3 h
			    n + 2      n + 1	  n

(%i28) sol: difference(deq2, h[n]);

			3 h    3 h
			   1	  0   n
		       (---- + ----) 3	   h    3 h
			 4      4	    1	   0	   n
(%o28) 		  h  = ---------------- - (-- - ----) (- 1)
		   n	      3		   4	 4

Para obter uma express�o para um dado valor de n, e.g para 5, voc� pode avaliar:

ev(sol, n = 5);

A mesma fun��o ev pode tamb�m ser usada para fornecer valores para os valores iniciais h[0], h[1].

A fun��o difference n�o � muito flex�vel, para us�-la, voc� tem que concordar com essas regras:

• Os �ndices de uma equa��o de diferen�a seguem o modelo: n, n+1, n+2, ...
  
• A fun��o n�o entende o modelo n-2, n-1, n.

Economistas usam duas aprocima�os essencialmente diferentes para escolher modelos de processos econ�micos:

• A an�lise do per�odo, onde o fluxo de tempo � dividido em per�odos sucessivos de comprimento constante, tomado como unidade de tempo. Esses modelos fornecem diferentes equa��es.
• A an�lise cont�nua, onde o tempo flui continuamente. Vari�veis de modelo s�o cont�nuas fun��es diferenci�veis de tempo. Esses modelos s�o equa��es diferenciais.

Exemplos de Uso:

Um modelo muito simples:

 eq1: y[t + 1] = z[t];
 eq2: z[t]=c[t] + i[t];
 eq3: c[t]=c*y[t];
 eq4: i[t]=a;
 eliminate([eq1, eq2, eq3, eq4], [ z[t], c[t], i[t]]);
       			      [y      - c y  - a]
				t + 1	   t
result: difference (first(%), y[t]);
					     t
				     t	 a (c  - 1)
       			    y  = y  c  + ----------
			     t	  0	   c - 1

As letras do modelo seguem conven��es estabelecidas da teoria de macro-economia. Os significados s�o:

• c: consumo
• i: investmenti
• y: entrada
  
• z: demanda total

O modelo assume um investimento constante, e um consumo que � proporcional � entrada. A equa��o eq2 estabelece que a demanda total � o somat�rio do consumo e do investimento, eq1 � tamb�m algo presumido, nomeadamente que a entrada do per�odo t se iguada ao total da demanda do per�odo anterior t-1. (as despesas de um per�odo s�o a entrada dispon�vel para o pr�ximo per�odo. (Essa suposi��o pr�via postula um sistema inteiramente fechado.)

Podemos imediatamente explorar o resultado:

(%i25) assume (c < 1);
(%o25) 				    [c < 1]
(%i26) limit(result, t, inf);
Is  abs(c) - 1  positive, negative, or zero?

negative;
Is  c  positive, negative, or zero?

positive;
Is  y   positive, negative, or zero?
     0

positive;
Is  a  positive, negative, or zero?

positive;
					       a
       			     limit    y  = - -----
			     t -> inf  t     c - 1