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Uma substituição
y = cx, c constant
(%i3) integrate(exp(x)/(2 + 3*exp(2*x)), x);
x
3 %e
atan(-------)
sqrt(6)
(%o3) -------------
sqrt(6)
Quando constates forem usadas, Maxima pode perguntar a você sobre possíveis valores dessas constantes. No seguinte exemplo, a integral depende do sianl do produto a*b:
(%i4) integrate (exp(2*x)/(a + b*exp(4*x)), x);
Is a b positive or negative?
positive;
2 x
b %e
atan(---------)
sqrt(a b)
(%o4) ---------------
2 sqrt(a b)
(%i5) integrate (exp(2*x)/(a + b*exp(4*x)), x);
Is a b positive or negative?
negative;
2 x
2 b %e - 2 sqrt(- a b)
log(-------------------------)
2 x
2 b %e + 2 sqrt(- a b)
(%o5) ------------------------------
4 sqrt(- a b)
Quando fatos assumidos forem usados para informar o Maxima sobre possíveis valores de constantes simbólicas, nenhuma pergunta será feita:
(%i6) assume(a>0, b<0);
(%o6) [a > 0, b < 0]
(%i7) integrate (exp(2*x)/(a + b*exp(4*x)), x);
2 x
2 b %e - 2 sqrt(a) sqrt(- b)
log(-------------------------------)
2 x
2 b %e + 2 sqrt(a) sqrt(- b)
(%o7) ------------------------------------
4 sqrt(a) sqrt(- b)
Uma substituição
y = xk
(%i10) integrate (x^3*sin(x^2), x);
2 2 2
sin(x ) - x cos(x )
(%o10) --------------------
2
(%i11) integrate (x^7/(x^12 + 1), x);
4
2 x - 1
8 4 atan(--------) 4
log(x - x + 1) sqrt(3) log(x + 1)
(%o11) ---------------- + -------------- - -----------
24 4 sqrt(3) 12
A substituição
1/k
/a*x + b\
y = | ------- |
\c*x + d/
(%i12) integrate (x*(x + 1)^(1/2), x);
5/2 3/2
2 (x + 1) 2 (x + 1)
(%o12) ------------ - ------------
5 3
(%i13) integrate (((x + 1)/(2*x + 3))^(1/2), x);
x + 1
4 sqrt(-------) - 2 sqrt(2)
2 x + 3
log(---------------------------)
x + 1 x + 1
4 sqrt(-------) + 2 sqrt(2) sqrt(-------)
2 x + 3 2 x + 3
(%o13) 2 (-------------------------------- - -------------)
8 sqrt(2) 8 (x + 1)
--------- - 4
2 x + 3
Essa é um procedimento de decisão para expressões da forma
A*xr*(c1 + c2*xq)p
(%i14) integrate (x^(1/2)*(1 + x)^(5/2), x);
x + 1 x + 1
5 log(sqrt(-----) + 1) 5 log(sqrt(-----) - 1)
x x
(%o14) - ---------------------- + ----------------------
128 128
x + 1 7/2 x + 1 5/2 x + 1 3/2 x + 1
15 (-----) + 73 (-----) - 55 (-----) + 15 sqrt(-----)
x x x x
+ ---------------------------------------------------------------
4 3 2
192 (x + 1) 768 (x + 1) 1152 (x + 1) 768 (x + 1)
------------ - ------------ + ------------- - ----------- + 192
4 3 2 x
x x x
(%i15) ratsimp(%);
x + 1 x + 1 4 x + 1 7/2
(%o15) - (15 log(sqrt(-----) + 1) - 15 log(sqrt(-----) - 1) - 30 x (-----)
x x x
4 x + 1 5/2 4 x + 1 3/2 4 x + 1
- 146 x (-----) + 110 x (-----) - 30 x sqrt(-----))/384
x x x
(%i16) integrate ( x^4*(1 - x^2)^(-5/2) ,x);
2
x 2 x
(%o16) asin(x) + x (----------- - -------------) - --------------
2 3/2 2 3/2 2
(1 - x ) 3 (1 - x ) 3 sqrt(1 - x )
(%i13) 'integrate (x^4/((1 - x^2)^(5/2)), x);
/ 4
[ x
(%o13) I ----------- dx
] 2 5/2
/ (1 - x )
(%i14) ev (%, integrate);
2
x 2 x
(%o14) asin(x) + x (----------- - -------------) - --------------
2 3/2 2 3/2 2
(1 - x ) 3 (1 - x ) 3 sqrt(1 - x )
(%i16) 'integrate (((a^2 + b^2 - b^2*y^2)^(1/2))/(1 - y^2), y);
/ 2 2 2 2
[ sqrt(- b y + b + a )
(%o16) I ----------------------- dy
] 2
/ 1 - y
(%i17) ev(%, integrate);
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 a sqrt(- b y + b + a ) 2 a 2 2 a sqrt(- b y + b + a ) 2 a 2
a log(--------------------------- + ------------ + b ) a log(--------------------------- + ------------ - b )
abs(2 y + 2) abs(2 y + 2) abs(2 y - 2) abs(2 y - 2)
(%o17) - ------------------------------------------------------ + ------------------------------------------------------
2 2
2
b y
+ b asin(----------------)
4 2 2
sqrt(b + a b )
(%i8) integrate (sin(2*x)*cos(x), x);
cos(3 x) cos(x)
(%o8) - -------- - ------
6 2
(%i9) integrate(sin(x)^2, x);
sin(2 x)
x - --------
2
(%o9) ------------
2
(%i10) integrate (sec(t)^2/(1 + sec(t)^2 - 3*tan(t)), t);
(%o10) log(tan(t) - 2) - log(tan(t) - 1)
(%i11) integrate (1/(1 + cos(x)), x);
sin(x)
(%o11) ----------
cos(x) + 1
(%i18) 'integrate (x*exp(x)/(x + 1)^2, x);
/ x
[ x %e
(%o18) I -------- dx
] 2
/ (x + 1)
(%i19) ev(%, integrate);
x
%e
(%o19) -----
x + 1
(%i20) 'integrate ( (2*x^6 + 5*x^4 + x^3 + 4*x^2 + 1)/((x^2 + 1)^2)*exp(x^2), x);
2
/ 6 4 3 2 x
[ (2 x + 5 x + x + 4 x + 1) %e
(%o20) I ---------------------------------- dx
] 2 2
/ (x + 1)
(%i21) ev(%, integrate);
2
3 x
(2 x + 2 x + 1) %e
(%o21) ---------------------
2
2 x + 2
(%i22) integrate (exp(x^2), x);
sqrt(%pi) %i erf(%i x)
- ----------------------
2
Redução de Hermite é usada para calcular a parte racional da integral. A parte trancendente pode ser calculada para integrandos com denominadores especiais, se esse método não for possível, uma integral não avaliada é retornada.
integrate (x/(x^3 + 1), x);
2 x - 1
2 atan(-------)
log(x - x + 1) sqrt(3) log(x + 1)
--------------- + ------------- - ----------
6 sqrt(3) 3
Ocasionalmente, Maxima fornece uma resposta que contém uma integral:
integrate((x^8+7*x^6+42*x^4+48*x^2+30)/(x^10+8*x^8+19*x^6+9*x^4+27) ,x)
/ 2
[ x + 1 x
I ----------- dx + -------------
] 4 2 4 2
/ x - x + 1 x + 6 x + 9
(%i25) integrate (x^2*asin(x), x);
2 2 2
x sqrt(1 - x ) 2 sqrt(1 - x )
3 - --------------- - --------------
x asin(x) 3 3
(%o25) ---------- - ----------------------------------
3 3
(%i26) integrate (x* log(x), x);
2 2
x log(x) x
(%o26) --------- - --
2 4
(%i1) 'integrate (log(x)/(log(x) + 1)^2, x);
/
[ log(x)
(%o1) I ------------- dx
] 2
/ (log(x) + 1)
(%i2) ev(%, integrate);
x
(%o2) ----------
log(x) + 1
(%i3) integrate (x*(cos(x) + sin(x)), x);
(%o3) x sin(x) + sin(x) - x cos(x) + cos(x)
(%i4) integrate ((x + exp(x))/exp(x), x);
- x
(%o4) (- x - 1) %e + x
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