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Transformações Trigonométricas

Para reescrever um produto de senos e cossenos como uma soma finita de Fourier, podemos usar a função trigreduce:

trigreduce(sin(x)^3*cos(x));

Obtemos:

   2 sin(2 x) - sin(4 x)
   ---------------------
            8

Para obter uma representação que não contém funções trigonométricas de arcos multiplos, escrevemos:

trigexpand(%);
               3           3
   4 cos(x) sin (x) - 4 cos (x) sin(x) + 4 cos(x) sin(x)
   -----------------------------------------------------
                             8

Isso parece um pouco insatisfatório, mas podemos agora usar trigsimp para executar simplificações que usam a identidade Pitagórica
sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1:

trigsimp(%);
       3
 cos(x) sin (x)

Aqui obtemos exatamente a expressão inicial. Isso não é sempre possível.

Várias questões em várias listas na internet sobre o máxima são sobre problemas que requerem simplificações sofisticadas de expressões trigonométricas. Algum tempo atrás, um usuário do máxima entrou em uma confusão quando ele resolveu essa integral integral:

result:integrate(9/cos(7*x)^2, x);

Maxima respondeu

							   18 sin(14 x)
(%o20) 					  ----------------------------------------------
					       2	      2
					  7 sin (14 x) + 7 cos (14 x) + 14 cos(14 x) + 7

que não é uma solução muito bonita. O usuário queria que

9*tan(7*x)
----------
    7

fosse uma integral para

   9
---------
        2
cos(7*x)

mas achou difícil simplificar a resposta do Maxima nessa forma. Ele achou isso também difícil provar que a derivada da resposta é de fato o integrando. Vamos olhar em ambos os problemas:

Podemos simplificar a resposta com trigsimp:

simp1: trigsimp(result);

e obter

			    9 sin(14 x)
			  ---------------
			  7 cos(14 x) + 7

O uso de trigexpand não é muito útil: Essa função pode reescrever sin(14*x) and cos(14*x) em termos de sin(x) e cos(x). Podemos de outra forma querer reescrever sin(14*x) e cos(14*x) em termos de sin(7*x) e cos(7*x). Isso é possível, mas somente com um artifício: temos que substituir 14*x por 2*y:

simp1, 14*x=2*y;
			    9 sin(2 y)
			  --------------
			  7 cos(2 y) + 7

Agora podemos aplicar trigexpand:

trigexpand(%);
			 18 cos(y) sin(y)
		     -------------------------
			   2	     2
		     7 (cos (y) - sin (y)) + 7
trigsimp(%);
			     9 sin(y)
			     --------
			     7 cos(y)

Um trigreduce final fornece o resultado desejado:

trigreduce(%);
		    9 tan(y)
		    --------
			7

Para obter o integrando original, temos que desfazer a troca de variável:

%, y = 7*x;
		    9 tan(7*x)
		    ----------
			7

Uma substituição de variável é um instrumento poderoso para influenciar em simplificações com trigexpand.

Pode ser dito que o problema dado pode ser simplificado mais rapidamente:

trigrat(result);
		    9 sin(7 x)
		    ----------
		    7 cos(7 x)
trigreduce(%);
		    9 tan(7*x)
		    ----------
			7

Agora podemos olhar para a derivada do resultado:

(%i7)deriv: diff(result, x);
		      252 cos(14 x)
      ----------------------------------------------
	   2		  2
      7 sin (14 x) + 7 cos (14 x) + 14 cos(14 x) + 7

						       2
					       3528 sin (14 x)
			    + -------------------------------------------------
				    2		   2			      2
			      (7 sin (14 x) + 7 cos (14 x) + 14 cos(14 x) + 7)

Primeiro vamos tentar trigrat, a função que elimina os excessos para ser útil no exemplo prévio:

trigrat(deriv);
				      18
(%o8) 				 -------------
				 cos(14 x) + 1

Bem, isso é simplificado, mas está ainda de uma forma não esperada por nós. Vamos tentar uma substituição de variável e um trigexpand:

 %, 14*x = 2*y;
				      18
(%o9) 				 ------------
				 cos(2 y) + 1
trigexpand(%);
				      18
(%o10) 			    -----------------------
				 2	   2
			    - sin (y) + cos (y) + 1
trigsimp(%);
				       9
(%o11) 				    -------
				       2
				    cos (y)
%, y = 7*x;
				       9
(%o15) 				   ---------
				      2
				   cos (7 x)

O que aprendemos:


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