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Integrais de Linha

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A integral de linha em duas dimensões é:

    /
   |
   | P(x, y)dx + Q(x, y)dy
   |
  /  C

onde x, y são as coordenadas ao longo do caminho de integração chamado de C. O camnho de integração em si mesmo pode ser especificado através das coordenadas de seus pontos em termos de um parâmetro t:

  x = f(t), y = g(t)

Para três dimensões, temos:

    /
   |
   | P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz
   |
  /  C

onde x, y, z são as coordenadas ao longo do caminho de integração C. O caminho de integração em si mesmo pode ser especificado através das coordenadas de seus pontos em termos de um parâmetro t:

  x = f(t), y = g(t), z = h(t)

Um primeiro Exemplo:

Consideremos esse integrando:

 integrando: x^2*y*diff(x) + y*z*diff(y) + z*x*diff(z);

                                2
     x z del(z) + y z del(y) + x  y del(x)

e esse caminho de integração:

 caminho: [x = cos(t), y = sin(t), z = sin(t)];

   [x = cos(t), y = sin(t), z = sin(t)]

As coordenadas desse caminho são substituidas no integrando:

 sublis(%, integrando);

Obtemos:

       2
    sin (t) del(sin(t))
    + cos(t) sin(t) del(sin(t))

         2
    + cos (t) sin(t) del(cos(t))

Agora vamos avaliar as derivadas:

 ev(%, diff);

	   2	   2			   2		    2
      - cos (t) sin (t) del(t) + cos(t) sin (t) del(t) + cos (t) sin(t) del(t)

Para integrar essa expressão, removemos o del(t):

  %, del(t) = 1;

		   2	   2		    2	      2
      	      - cos (t) sin (t) + cos(t) sin (t) + cos (t) sin(t)

Agora podemos integrar

 integrate(%, t, 0, 2*%pi);

e obter:

      %pi
    - ---
       4

O cálculo de integrais de linha requer quatro passos:

Substituição das equações do caminho no integrando.
Avaliação das derivadas
Remoção da diferencial do parâmetro
O cálculo de uma integral definida

Para simplificar esse cálculo e reduzir o risco de erros de digitação, é conveniente colocar esses quatro passos em uma definição funcional:

Integrallinha(fn, caminho, param, p0, p1) :=
 block ( [substitutedFn, x, xx],
         substitutedFn: sublis(caminho, fn),
         x : ev (substitutedFn, diff),
         xx: subst(1, diff(param), x),
         integrate(xx, param, p0, p1) 
       )$

Você encontra essa definição no arquivo Intlinha.mc.

Aqui está o exemplo acima novamente:

Integrallinha(x^2*y*diff(x) + y*z*diff(y) + z*x*diff(z),
         [x = cos(t), y = sin(t), z = sin(t)],
          t, 0, 2*%pi);

      %pi
    - ---
       4

Um exemplo do livro de Spiegels "Theory and Problems of the Laplace Transforms":

Integrallinha ((x^2 - y)*diff(x) + (y^2 + x)*diff(y),
                    [x = t, y = t^2 + 1],
                    t, 0, 1);

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