problem with integrate and differentiate a function with trigonometric terms

• Subject: problem with integrate and differentiate a function with trigonometric terms
• From: Stavros Macrakis
• Date: Fri, 17 Jul 2009 16:42:45 -0400

There are many equivalent forms for algebraic expressions, especially
those involving trigonometric functions.

For example, all the following are equivalent:

cos(3*x)/cos(x/2)^3

sec(x/2)^3*cos(3*x)

-cos(x)*(4*sin(x)^2-1)/cos(x/2)^3

4*cos(3*x)/(cos(3*x/2)+3*cos(x/2))

2*sqrt(2)*cos(3*x)/(cos(x)+1)^(3/2)

-(4*cos(x)*sin(x)^2-cos(x))/cos(x/2)^3

(cos(x)^3-3*cos(x)*sin(x)^2)/cos(x/2)^3

sec(x/2)^3*(cos(x)^3-3*cos(x)*sin(x)^2)

-cos(x)*(3*sin(x)^2-cos(x)^2)/cos(x/2)^3

-sec(x/2)^3*cos(x)*(3*sin(x)^2-cos(x)^2)

-(3*cos(x)*sin(x)^2-cos(x)^3)/cos(x/2)^3

4*%e^-(3*%i*x/2)*(%e^(6*%i*x)+1)/(%e^(%i*x)+1)^3

cos(x)^3/cos(x/2)^3-3*cos(x)*sin(x)^2/cos(x/2)^3

sec(x/2)^3*cos(x)^3-3*sec(x/2)^3*cos(x)*sin(x)^2

-4*cos(x)*(4*sin(x)^2-1)/(cos(3*x/2)+3*cos(x/2))

-2*sqrt(2)*cos(x)*(4*sin(x)^2-1)/(cos(x)+1)^(3/2)

4*(cos(x)^3-3*cos(x)*sin(x)^2)/(cos(3*x/2)+3*cos(x/2))

-(16*cos(x)*sin(x)^2-4*cos(x))/(cos(3*x/2)+3*cos(x/2))

2*sqrt(2)*(cos(x)^3-3*cos(x)*sin(x)^2)/(cos(x)+1)^(3/2)

-4*cos(x)*(3*sin(x)^2-cos(x)^2)/(cos(3*x/2)+3*cos(x/2))

-2*sqrt(2)*cos(x)*(3*sin(x)^2-cos(x)^2)/(cos(x)+1)^(3/2)

-(12*cos(x)*sin(x)^2-4*cos(x)^3)/(cos(3*x/2)+3*cos(x/2))

4*(%e^(3*%i*x)+%e^-(3*%i*x))/(%e^(%i*x/2)+%e^-(%i*x/2))^3

-(8*sqrt(2)*cos(x)*sin(x)^2-2*sqrt(2)*cos(x))/(cos(x)+1)^(3/2)

-(6*sqrt(2)*cos(x)*sin(x)^2-2*sqrt(2)*cos(x)^3)/(cos(x)+1)^(3/2)

2*sqrt(2)*cos(x)*sqrt(cos(x)+1)*(4*sin(x)^2-1)/(sin(x)^2-2*cos(x)-2)

sqrt(2)*(%e^(3*%i*x)+%e^-(3*%i*x))/((%e^(%i*x)+%e^-(%i*x))/2+1)^(3/2)

4*%e^-(3*%i*x/2)*(%e^(6*%i*x)+1)/(%e^(3*%i*x)+3*%e^(2*%i*x)+3*%e^(%i*x)+1)

4*%e^-(3*%i*x/2)*(%e^(2*%i*x)+1)*(%e^(4*%i*x)-%e^(2*%i*x)+1)/(%e^(%i*x)+1)^3

-2*sqrt(2)*cos(x)*sqrt(cos(x)+1)*(3*sin(x)^2-cos(x)^2)/(cos(x)^2+2*cos(x)+1)

4*%e^-(3*%i*x)*(%e^(6*%i*x)+1)/(%e^-(%i*x)*(%e^(2*%i*x)+2*%e^(%i*x)+1))^(3/2)

4*cos(x)^3/(cos(3*x/2)+3*cos(x/2))-12*cos(x)*sin(x)^2/(cos(3*x/2)+3*cos(x/2))

2*sqrt(2)*cos(x)^3/(cos(x)+1)^(3/2)-6*sqrt(2)*cos(x)*sin(x)^2/(cos(x)+1)^(3/2)

(4*%e^(6*%i*x)+4)/(%e^(9*%i*x/2)+3*%e^(7*%i*x/2)+3*%e^(5*%i*x/2)+%e^(3*%i*x/2))

sqrt(cos(x)+1)*(8*sqrt(2)*cos(x)*sin(x)^2-2*sqrt(2)*cos(x))/(sin(x)^2-2*cos(x)-2)

-4*(%e^(%i*x)+%e^-(%i*x))*(-(%e^(%i*x)-%e^-(%i*x))^2-1)/(%e^(%i*x/2)+%e^-(%i*x/2))^3

-sqrt(cos(x)+1)*(6*sqrt(2)*cos(x)*sin(x)^2-2*sqrt(2)*cos(x)^3)/(cos(x)^2+2*cos(x)+1)

2*(%e^(3*%i*x)+%e^-(3*%i*x))/((%e^(3*%i*x/2)+%e^-(3*%i*x/2))/2+3*(%e^(%i*x/2)+%e^-(%i*x/2))/2)

-sqrt(2)*(%e^(%i*x)+%e^-(%i*x))*(-(%e^(%i*x)-%e^-(%i*x))^2-1)/((%e^(%i*x)+%e^-(%i*x))/2+1)^(3/2)

4*%e^-(3*%i*x/2)*(%e^(2*%i*x)+1)*(%e^(4*%i*x)-%e^(2*%i*x)+1)/(%e^(3*%i*x)+3*%e^(2*%i*x)+3*%e^(%i*x)+1)

4*%e^-(3*%i*x)*(%e^(2*%i*x)+1)*(%e^(4*%i*x)-%e^(2*%i*x)+1)/(%e^-(%i*x)*(%e^(2*%i*x)+2*%e^(%i*x)+1))^(3/2)

-8*(-(%e^(%i*x)-%e^-(%i*x))^2*(%e^(%i*x)+%e^-(%i*x))/2-(%e^(%i*x)+%e^-(%i*x))/2)/(%e^(%i*x/2)+%e^-(%i*x/2))^3

8*((%e^(%i*x)+%e^-(%i*x))^3/8+3*(%e^(%i*x)-%e^-(%i*x))^2*(%e^(%i*x)+%e^-(%i*x))/8)/(%e^(%i*x/2)+%e^-(%i*x/2))^3

-4*(%e^(%i*x)+%e^-(%i*x))*(-(%e^(%i*x)+%e^-(%i*x))^2/4-3*(%e^(%i*x)-%e^-(%i*x))^2/4)/(%e^(%i*x/2)+%e^-(%i*x/2))^3

-2*(%e^(%i*x)+%e^-(%i*x))*(-(%e^(%i*x)-%e^-(%i*x))^2-1)/((%e^(3*%i*x/2)+%e^-(3*%i*x/2))/2+3*(%e^(%i*x/2)+%e^-(%i*x/2))/2)

-(-sqrt(2)*(%e^(%i*x)-%e^-(%i*x))^2*(%e^(%i*x)+%e^-(%i*x))-sqrt(2)*(%e^(%i*x)+%e^-(%i*x)))/((%e^(%i*x)+%e^-(%i*x))/2+1)^(3/2)

-sqrt(2)*(%e^(%i*x)+%e^-(%i*x))*(-(%e^(%i*x)+%e^-(%i*x))^2/4-3*(%e^(%i*x)-%e^-(%i*x))^2/4)/((%e^(%i*x)+%e^-(%i*x))/2+1)^(3/2)

2*sqrt(2)*((%e^(%i*x)+%e^-(%i*x))^3/8+3*(%e^(%i*x)-%e^-(%i*x))^2*(%e^(%i*x)+%e^-(%i*x))/8)/((%e^(%i*x)+%e^-(%i*x))/2+1)^(3/2)

(%e^(%i*x)+%e^-(%i*x))^3/(%e^(%i*x/2)+%e^-(%i*x/2))^3+3*(%e^(%i*x)-%e^-(%i*x))^2*(%e^(%i*x)+%e^-(%i*x))/(%e^(%i*x/2)+%e^-(%i*x/2))^3

-(-2*(%e^(%i*x)-%e^-(%i*x))^2*(%e^(%i*x)+%e^-(%i*x))-2*(%e^(%i*x)+%e^-(%i*x)))/((%e^(3*%i*x/2)+%e^-(3*%i*x/2))/2+3*(%e^(%i*x/2)+%e^-(%i*x/2))/2)

sqrt(2)*(%e^(%i*x)+%e^-(%i*x))*(-(%e^(%i*x)-%e^-(%i*x))^2-1)*sqrt((%e^(%i*x)+%e^-(%i*x))/2+1)/(-(%e^(%i*x)-%e^-(%i*x))^2/4-%e^(%i*x)-%e^-(%i*x)-2)

4*((%e^(%i*x)+%e^-(%i*x))^3/8+3*(%e^(%i*x)-%e^-(%i*x))^2*(%e^(%i*x)+%e^-(%i*x))/8)/((%e^(3*%i*x/2)+%e^-(3*%i*x/2))/2+3*(%e^(%i*x/2)+%e^-(%i*x/2))/2)

-2*(%e^(%i*x)+%e^-(%i*x))*(-(%e^(%i*x)+%e^-(%i*x))^2/4-3*(%e^(%i*x)-%e^-(%i*x))^2/4)/((%e^(3*%i*x/2)+%e^-(3*%i*x/2))/2+3*(%e^(%i*x/2)+%e^-(%i*x/2))/2)

4*%e^-(%i*x)*(%e^(2*%i*x)+1)*sqrt(%e^-(%i*x)*(%e^(2*%i*x)+2*%e^(%i*x)+1))*(%e^(4*%i*x)-%e^(2*%i*x)+1)/(%e^(4*%i*x)+4*%e^(3*%i*x)+6*%e^(2*%i*x)+4*%e^(%i*x)+1)

sqrt(2)*(%e^(%i*x)+%e^-(%i*x))^3/(4*((%e^(%i*x)+%e^-(%i*x))/2+1)^(3/2))+3*sqrt(2)*(%e^(%i*x)-%e^-(%i*x))^2*(%e^(%i*x)+%e^-(%i*x))/(4*((%e^(%i*x)+%e^-(%i*x))/2+1)^(3/2))

sqrt((%e^(%i*x)+%e^-(%i*x))/2+1)*(-sqrt(2)*(%e^(%i*x)-%e^-(%i*x))^2*(%e^(%i*x)+%e^-(%i*x))-sqrt(2)*(%e^(%i*x)+%e^-(%i*x)))/(-(%e^(%i*x)-%e^-(%i*x))^2/4-%e^(%i*x)-%e^-(%i*x)-2)

(%e^(%i*x)+%e^-(%i*x))^3/(2*((%e^(3*%i*x/2)+%e^-(3*%i*x/2))/2+3*(%e^(%i*x/2)+%e^-(%i*x/2))/2))+3*(%e^(%i*x)-%e^-(%i*x))^2*(%e^(%i*x)+%e^-(%i*x))/(2*((%e^(3*%i*x/2)+%e^-(3*%i*x/2))/2+3*(%e^(%i*x/2)+%e^-(%i*x/2))/2))

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