Maxima

Тихон Тарнавский. Maxima. Функции и операторы

Впервые было опубликовано в «Linux Format» №8 (82), август 2006 г.

Операторы Максимы

Продолжаю знакомить вас с возможностями свободной программы символьных вычислений Maxima. Начну в этот раз с краткого рассказа об основных операторах Maxima и некоторых их свойствах.

На самом деле в Максиме нет четкого разграничения между операторами и функциями. Более того, каждый оператор — это на самом деле функция:

Здесь имена функций-операторов берутся в кавычки лишь потому, что содержат символы, нестандартные для имен функций. Это похоже на работу в командной оболочке UNIX, где, если в имя файла входят управляющие символы, вы можете либо взять это имя в кавычки, либо экранировать каждый такой символ обратным слэшем. В Maxima допустимы те же два варианта: например, вместо "+" можно было бы написать \+.

Итак, все встроенные операторы максимы являются функциями; более того, вы можете наделить любую (в том числе свою собственную) функцию определенными свойствами, которые фактически превратят ее в оператор. Подробнее об этом я расскажу в следующих выпусках.

Таким образом, разделение на функции и операторы в Maxima достаточно условно. Посему в этом разделе речь пойдет не только о некоторых операторах, но и о нескольких функциях, которые по природе своих действий сходны с операторами. Наиболее привычные операторы уже упоминались в предыдущей статье: +, –, *, /, ^ или ** (возведение в степень) и функцию sqrt(x) (квадратный корень). Сегодня мы поговорим еще о нескольких достаточно распространенных.

Точкой обозначается матричное произведение. В документации утверждается, что сама точка при этом должна быть отделена пробелами от обоих своих операндов — дабы не спутать ее с точкой десятичной. На самом деле мне не удалось добиться от Максимы неадекватной реакции и в «беспробельном» варианте; что и логично, так как все равно эти две разные ипостаси точки можно различить по контексту: ведь цифры именами матриц быть не могут. Так что, думаю, можете смело писать и без пробелов.

В случае, если заданные матрицы не могут быть перемножены из-за несовпадающих размерностей, Maxima выдаст сообщение об ошибке:

Восклицательный знак, стоящий после своего аргумента (т. е. постфиксный оператор), традиционно обозначает факториал. Не менее традиционно, двумя восклицательными знаками обозначен полуфакториал [произведение всех четных (для четного операнда) или нечетных чисел, меньших либо равных данному, — прим. ред.]. Функции abs(x) и signum(x) возвращают, как опять же нетрудно догадаться, модуль и знак числа. А функции max(x1,...,xn) и min(x1,...,xn) — соответственно максимальное и минимальное из заданных чисел.

Тут стоит остановиться на нескольких моментах. Во-первых, все функции и операторы Maxima работают не только с действительными, но и комплексными числами. Сами комплексные числа записываются в Максиме в алгебраической форме, с мнимой единицей, обозначенной через %i; то есть в виде a+b*%i, где a и b — соответственно действительная и мнимая части числа.

Так, факториал задан в наиболее общем виде и представляет собой, по сути, гамма-функцию (точнее, x! = gamma(x+1)), то есть определен на множестве всех комплексных чисел, кроме отрицательных целых. При этом факториал от натурального числа (и нуля) автоматически упрощается до натурального же числа:

Точно так же и модуль определен для всех комплексных чисел (напомню, что |a+b*i|=sqrt(a2+b2)). Минимум, максимум и знак определены, естественным образом, только для действительных чисел, так как комплексные числа общего вида, как известно, между собой несравнимы.

Второй важный момент: когда некоторая встроенная функция или оператор Maxima не может получить для переданного выражения однозначный результат (ввиду недостаточности данных) — она пытается максимально упростить это выражение. (Для некоторых функций такое автоупрощение регулируется специальными параметрами.) Например, если x не задан:

Подобные упрощения, равно как и «раскрытие» факториалов и арифметических операторов, не считаются вычислениями, а следовательно оператор блокировки вычислений их не предотвращает:

Как вы, вероятно, помните, в прошлый раз кроме упомянутого только что оператора блокировки вычислений мы познакомились с оператором присвоения значений, или, иначе, именования выражений, : . В Maxima существуют и другие операторы именования, из которых нам на данный момент интересен один — оператор задания функции. Обозначается он через :=, и аналогии здесь прослеживаются не с языками Pascal или Algol, как может показаться на первый взгляд, а с другими обозначениями самой Максимы: с одной стороны определение функции можно воспринимать как уравнение (которое обозначается знаком =), а с другой — оно родственно назначению имени некоторому выражению (то есть :). То есть определение функции можно в какой-то мере считать симбиозом этих двух выражений — и оттого вполне логично, что оно обозначается обоими их символами. (В продолжение этой аналогии могу добавить, что в Maxima есть и расширенные варианты операторов присвоения и назначения функции, обозначаемые соответственно через :: и ::=.)

Думаю, основы работы с функциями самоочевидны по аналогии с приведенным примером, а подробнее об этом мы поговорим в следующих выпусках.

Функция вычисления всего

А сейчас я расскажу о том, что было обещано в прошлый раз: о возможностях управлять процессом вычислений вводимых вами выражений. В прошлый раз, о чем я уже вспоминал, было упомянуто только одно такое средство — блокировка вычислений. Здесь все достаточно просто и дополнительно стоит остановиться только на одном моменте. Если апострофом предварен вызов функции (встроенной ли, пользовательской — несущественно), то блокируется вычисление самой функции, но не ее аргументов. Если же поставить апостроф перед выражением, заключенным в скобки, то невычисленными останется все это выражение целиком, т. е. и все входящие в него функции, и все аргументы этих функций. Например:

В противовес блокировке вычислений, можно также принудительно вычислить любое выражение — для этого тоже существует оператор, состоящий из двух апострофов:

В терминологии Maxima невычисленная форма выражения называется «noun form», вычисленная — «verb form». Сохраняя лингвистические параллели, на русский я бы это перевел как «несовершённая форма» и «совершённая форма».

Если говорить о ячейках ввода-вывода, то значение ячейки ввода в Maxima закономерно сохраняется до его вычисления (т. е. в несовершённой форме), а значение ячейки вывода — после (т. е. в совершённой); другими словами, тут сохраняется естественный порядок «ввод → вычисление → вывод».

Как видите, операторы вычисления и блокировки вычислений имеют накопительный эффект. О другой стороне этого эффекта мы поговорим чуть ниже.

Оператор, обозначенный двумя апострофами, является синонимом к функции ev(выражение). Сама функция ev предоставляет гораздо более широкие возможности, нежели простое принудительное вычисление заданного выражения: она может принимать произвольное число аргументов, первый из которых — вычисляемое выражение, а остальные специальные опции, которые как раз и влияют на то, как именно будет производиться вычисление. Точно так же, как двойной апостроф — сокращение для ev без дополнительных опций, есть еще более упрощенная запись функции ev с опциями: в этом случае вместо имени функции и скобок вообще ничего писать не нужно; т. е. «ev(выражение, опц1, опц2, …)» можно записать просто как «выражение, опц1, опц2,…»

Первая из таких опций связана с автоупрощением. Глобально автоупрощение регулируется переключателем simp (от «simplification» — упрощение), и по умолчанию оно включено; в любой момент его можно выключить, установив значение переключателя в false. Опция функции ev, одноименная этому переключателю, позволяет включить упрощение для данного конкретного вычисления — вне зависимости от того, включено или выключено оно глобально:

Тут нужно отметить еще, что вызов kill(all) не восстанавливает умолчательные значения переключателей; т. е. если мы, к примеру, изменили значение переключателя simp, как в примере выше, то для того, чтобы вернуться к изначальному порядку вещей, установленному сразу после запуска Maxima, нам нужно не только сделать kill(all), но и вручную назначить simp:true.

Опция diff принудительно раскрывает все производные и полные дифференциалы; а опция derivlist(x, y, …, v) — производные относительно переменных, заданных в качестве ее аргументов, а также полные дифференциалы (так как они не зависят ни от каких переменных):

Как видите, если из нескольких переменных из diff в derivlist() заданы не все, то раскрывается производная только по заданным переменным; это и понятно, так как выражения diff(f, x, 1, y, 1), diff(diff(f, x), y) и diff(diff(f, y), x) математически эквивалентны [по крайней мере, для «хороших» функций, — прим.ред]. Если же аргумент опции derivlist() вообще не является переменной дифференцирования, он просто игнорируется.

Опция nouns раскрывает вообще все несовершённые формы — и производные в том числе:

Опция float преобразовывает все рациональные числа в конечную десятичную запись; опция numer включает опцию float и, кроме того, приводит к десятичному виду многие математические функции от числовых аргументов:

Опция noeval блокирует сам этап вычисления как таковой; т. е. ее можно использовать для того, чтобы применить к выражению другие опции функции ev, не перевычисляя его. При этом опять-таки нужно понимать разницу между вычислением и упрощением:

Таким образом, мы можем принудительно упростить выражение, не перевычисляя его.

Опция eval — напротив, проводит дополнительно еще один процесс вычисления. Здесь стоит поговорить подробнее о накопительном эффекте вычисления, который я уже демонстрировал выше. Так как в Максиме значениями символов могут выступать самые разнообразные выражения, то в эти выражения тоже могут входить некоторые символы, которые тоже могут иметь свои значения; и такая цепочка «вложенных значений» может продолжаться сколь угодно глубоко. Один вызов функции ev (без опции eval) опускается по этой цепочке в глубину на один уровень:

Напомню, что здесь ev(y), eval является сокращенной записью от ev(ev(y), eval), таким образом вычисление в этом выражении проводится трижды. Кроме того, хочу обратить ваше внимание на порядок назначения выражений символам; здесь существенно, что на момент задания каждого выражения входящий в него символ еще не был определен — иначе в выражение автоматически подставлялся не сам символ, а его значение. Таким образом, если бы мы произвели эти же назначения в обратном порядке, то значением символа y стало бы xm+6 — безо всяких принудительных вычислений.

В продолжение разговора о накопительном эффекте и «цепочных» вычислениях придется кстати переключатель infeval. Он заставляет ev перевычислять выражение до тех пор, пока оно не перестанет изменяться при последующих вычислениях. В частности, этот переключатель можно использовать и для того, чтобы разблокировать блокировку вычислений любой глубины вложения:

В других ситуациях использовать этот переключатель следует с осторожностью: не забывайте, что он может привести к зацикливанию.

О других константных опциях и переключателях функции ev можно узнать из ? ev и ? evflag, а мы наверняка еще рассмотрим многие из них позже, когда они будут более актуальны в контексте повествования.

Кроме константных значений есть еще несколько видов опций. Первый из них — это имена специальных функций, которые занимаются упрощением или преобразованием математических выражений. Будучи упомянута по имени в качестве опции, такая функция просто применяется к вычисляемому выражению. Например, выражение, fullratsimp — это то же самое, что и fullratsimp(ev(выражение)). Полный список таких функций вы можете найти в ? evfun.

Если в качестве опции ввести имя любой другой функции, не имеющей свойства evfun, то все несовершённые вхождения этой функции будут заменены совершёнными, т. е. принудительно вычислены.

Также в качестве опции можно задать назначение символа или функции; все такие назначения действуют локально в пределах вычисляемого выражения, и все подстановки производятся параллельно:

Опция подстановки символа допустима не только в виде оператора присвоения, но и в виде равенства; сделано это, в частности, для того, чтобы в качестве подстановок можно было использовать решения, найденные функцией solve:

Вот и все на сегодня. В следующий раз мы начнем с уже упомянутых вскользь функций по упрощению и преобразованию выражений.