20.1 Tensorpakete in Maxima

Maxima hat drei verschiedene Pakete, um mit Tensoren zu rechnen. Das Paket ctensor implementiert das Rechnen mit Tensoren in der Koordinatendarstellung und das Paket itensor das Rechnen in einer Indexnotation. Das Paket atensor erlaubt die algebraische Manipulation von Tensoren in verschiedenen Algebren.

Beim Rechnen in einer Koordinatendarstellung mit dem Paket ctensor werden Tensoren als Arrays oder Matrizen dargestellt. Operationen mit Tensoren wie die Tensorverjüngung oder die kovariante Ableitung werden ausgeführt als Operationen mit den Komponenten des Tensors, die in einem Array oder einer Matrix gespeichert sind.

Beim Rechnen in der Indexnotation mit dem Paket itensor werden Tensoren als Funktionen ihrer kovarianten und kontravarianten Indizes sowie den Ableitungen nach den Komponenten dargestellt. Operationen wie die Tensorverjüngung oder die kovariante Ableitung werden ausgeführt, in dem die Indizes manipuliert werden.

Die beiden genannten Pakete itensor und ctensor für die Behandlung von mathematischen Problemen im Zusammenhang mit der Riemannschen Geometrie haben verschiedene Vor- und Nachteile, die sich erst anhand des zu behandelnden Problems und dessen Schwierigkeitsgrad zeigen. Folgenden Eigenschaften der beiden Implementierungen sollten beachtet werden:

Die Darstellung von Tensoren und Tensoroperationen in einer expliziten Koordinatendarstellung vereinfacht die Nutzung des Paketes ctensor. Die Spezifikation der Metrik und die Ableitung von Tensoren sowie von Invarianten ist unkompliziert. Trotz Maximas Methoden für die Vereinfachung von Ausdrücken kann jedoch eine komplexe Metrik mit komplizierten funktionalen Abhängigkeiten der Koordinaten leicht zu sehr großen Ausdrücken führen, die die Struktur eines Ergebnisses verbergen. Weiterhin können Rechnungen zu sehr großen Zwischenergebnisse führen, die zu einem Programmabbruch führen, bevor die Rechnung beendet werden kann. Jedoch kann der Nutzer mit einiger Erfahrung viele dieser Probleme vermeiden.

Aufgrund der besonderen Weise, wie Tensoren und Tensoroperationen als symbolische Operationen ihrer Indizes dargestellt werden, können Ausdrücke, die in einer Koordinatendarstellung sehr unhandlich sind, mit Hilfe spezieller Routinen für symmetrische Objekte in itensor manchmal erheblich vereinfacht werden. Auf diese Weise kann die Struktur großer Ausdrücke transparenter sein. Auf der anderen Seite kann die Spezifikation einer Metrik, die Definition von Funktionen und die Auswertung von abgeleiteten indizierten Objekten für den Nutzer schwierig sein.

Mit dem Paket itensor können Ableitungen nach einer indizierten Variablen ausgeführt werden, wodurch es möglich ist, itensor auch für Probleme im Zusammenhang mit dem Lagrange- oder Hamiltonian-Formalismus einzusetzen. Da es möglich ist, die Lagrangeschen Feldgleichungen nach einer indizierten Variablen abzuleiten, können zum Beispiel die Euler-Lagrange-Gleichungen in einer Indexnotation aufgestellt werden. Werden die Gleichungen mit der Funktion ic_convert in eine Komponentendarstellung für das Paket ctensor transformiert, können die Feldgleichungen in einer bestimmten Koordinatendarstellung gelöst werden. Siehe dazu die ausführlichen Beispiele in einhil.dem und bradic.dem.