7.5 Operatoren für Gleichungen

Operator: # ¶

Ist der Operator für eine Ungleichung. # ist ein Infix-Operator mit zwei Operanden.

Mit dem Operator # wird eine Ungleichung a # b formuliert, wobei die Operanden a und b jeweils die linke und die rechte Seite der Ungleichung sind und beliebige Ausdrücke sein können. Die Operanden werden ausgewertet, nicht jedoch die Ungleichung selbst.

Die Funktionen is, maybe, die logischen Operatoren and, or und not sowie die Funktionen für die Definition von Programmanweisungen wie if, while oder unless erzwingen die Auswertung einer Ungleichung.

Wegen der Regeln für die Auswertung von Aussagen und weil not expr die Auswertung des Argumentes expr bewirkt, ist der Ausdruck not (a = b) äquivalent zu is(a # b) und nicht zu a # b.

Die Funktionen rhs und lhs geben die rechte und die linke Seite einer Gleichung oder Ungleichung zurück.

Siehe auch den Operator =, um eine Gleichung zu formulieren, sowie die Funktionen equal und notequal.

Beispiele:

(%i1) a = b;
(%o1)                         a = b
(%i2) is (a = b);
(%o2)                         false
(%i3) a # b;
(%o3)                         a # b
(%i4) not (a = b);
(%o4)                         true
(%i5) is (a # b);
(%o5)                         true
(%i6) is (not (a = b));
(%o6)                         true

Operator: = ¶

Ist der Operator für eine Gleichung. = ist ein Infix-Operator mit zwei Operanden.

Mit dem Operator = wird eine Gleichung a = b formuliert, wobei die Operanden a und b jeweils die linke und die rechte Seite der Gleichung sind und beliebige Ausdrücke sein können. Die Operanden werden ausgewertet, nicht jedoch die Gleichung selbst. Nicht ausgewertete Gleichungen können als Argument von Funktionen wie zum Beispiel den Funktionen solve, algsys oder ev auftreten.

Die Funktion is wertet eine Gleichung = zu einem booleschen Wert aus. is(a = b) wertet die Gleichung a = b zum Wert true aus, wenn a und b identische Ausdrücke sind. Das trifft zu, wenn a und b identische Atome sind oder wenn ihre Operatoren sowie die Operanden identisch sind. In jedem anderen Fall ist das Ergebnis false. Das Ergebnis der Auswertung ist nie unkown. Hat is(a = b) das Ergebnis true, werden a und b als syntaktisch gleich bezeichnet. Im Unterschied dazu gilt für äquivalente Ausdrücke, dass is(equal(a, b)) den Wert true hat. Ausdrücke können äquivalent aber syntaktisch verschieden sein.

Eine Ungleichung wird mit dem Operator # formuliert. Wie für den Operator = für eine Gleichung wird eine Ungleichung a # b nicht ausgewertet. Eine Auswertung erfolgt mit is(a # b), welche die Werte true oder false als Ergebnis hat.

Neben is werten auch die Operatoren if, and, or und not Gleichungen mit dem Operator = oder Ungleichungen mit dem Operator # zu den Werten true oder false aus.

Wegen der Regeln für die Auswertung von Aussagen und weil im Ausdruck not expr der Operand expr ausgewertet wird, ist not a = b äquivalent zu is(a # b) und nicht zu a # b.

Die Funktionen rhs und lhs geben die rechte und die linke Seite einer Gleichung oder Ungleichung zurück.

Siehe auch den Operator # für Ungleichungen sowie die Funktionen equal und notequal.

Beispiele:

Ein Ausdruck a = b repräsentiert eine nicht ausgewertete Gleichung.

(%i1) eq_1 : a * x - 5 * y = 17;
(%o1)                    a x - 5 y = 17
(%i2) eq_2 : b * x + 3 * y = 29;
(%o2)                    3 y + b x = 29
(%i3) solve ([eq_1, eq_2], [x, y]);
                        196         29 a - 17 b
(%o3)          [[x = ---------, y = -----------]]
                     5 b + 3 a       5 b + 3 a
(%i4) subst (%, [eq_1, eq_2]);
         196 a     5 (29 a - 17 b)
(%o4) [--------- - --------------- = 17, 
       5 b + 3 a      5 b + 3 a
                                  196 b     3 (29 a - 17 b)
                                --------- + --------------- = 29]
                                5 b + 3 a      5 b + 3 a
(%i5) ratsimp (%);
(%o5)                  [17 = 17, 29 = 29]

is(a = b) wertet die Gleichung a = b zu true aus, wenn a und b syntaktisch gleich sind. Ausdrücke können äquivalent sein, ohne syntaktisch gleich zu sein.

(%i1) a : (x + 1) * (x - 1);
(%o1)                    (x - 1) (x + 1)
(%i2) b : x^2 - 1;
                              2
(%o2)                        x  - 1
(%i3) [is (a = b), is (a # b)];
(%o3)                     [false, true]
(%i4) [is (equal (a, b)), is (notequal (a, b))];
(%o4)                     [true, false]

Einige Operatoren werten = und # zu true oder false aus.

(%i1) if expand ((x + y)^2) = x^2 + 2 * x * y + y^2 then FOO else
      BAR;
(%o1)                          FOO
(%i2) eq_3 : 2 * x = 3 * x;
(%o2)                       2 x = 3 x
(%i3) eq_4 : exp (2) = %e^2;
                              2     2
(%o3)                       %e  = %e
(%i4) [eq_3 and eq_4, eq_3 or eq_4, not eq_3];
(%o4)                  [false, true, true]

Da not expr die Auswertung des Ausdrucks expr bewirkt, ist not (a = b) äquivalent zu is(a # b).

(%i1) [2 * x # 3 * x, not (2 * x = 3 * x)];
(%o1)                   [2 x # 3 x, true]
(%i2) is (2 * x # 3 * x);
(%o2)                         true