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Transformiert einen Ausdruck expr, der mehrere Summen oder Produkte
enthält so, dass alle Summen und Produkte einen unterschiedlichen Index haben.
Dies erleichtert zum Beispiel Substitutionen mit der Funktion
changevar. Die neuen Indizes werden mit jnummer
bezeichnet, wobei die Zahl nummer der Wert der Optionsvariablen
gensumnum ist.
Beispiel:
(%i1) sum(1/k^2,k,0,inf)+sum(1/k,k,0,inf);
inf inf
==== ====
\ 1 \ 1
(%o1) > - + > --
/ k / 2
==== ==== k
k = 0 k = 0
(%i2) bashindices(%);
inf inf
==== ====
\ 1 \ 1
(%o2) > -- + > ---
/ j2 / 2
==== ==== j1
j2 = 0 j1 = 0
Standardwert: false
Werden zwei Reihen miteinander multipliziert und die Optionsvariablen
sumexpand sowie cauchysum haben beide den Wert true, dann
wird die Cauchy-Produktformel angewendet.
Beispiele:
(%i1) sumexpand: false$
(%i2) cauchysum: false$
(%i3) s: sum (f(i), i, 0, inf) * sum (g(j), j, 0, inf);
inf inf
==== ====
\ \
(%o3) ( > f(i)) > g(j)
/ /
==== ====
i = 0 j = 0
(%i4) sumexpand: true$
(%i5) cauchysum: true$
(%i6) ''s;
inf i1
==== ====
\ \
(%o6) > > g(i1 - i2) f(i2)
/ /
==== ====
i1 = 0 i2 = 0
Standardwert: i
genindex enthält das Zeichen für den Präfix, der verwendet wird, um
einen neuen Index für eine Summe oder ein Produkt zu generieren. Siehe auch
gensumnum.
Standardwert: 0
gensumnum enthält die Nummer, die an den Präfix genindex
angehängt wird, um den nächsten Index für eine Summe oder ein Produkt zu
generieren. Hat gensumnum den Wert false, wird der Index nur aus
dem Zeichen genindex gebildet. Siehe auch genindex.
Multipliziert Faktoren in eine Summe herein. Tritt der Index der Summe als ein
Faktor außerhalb der Summe auf, wird von der Funktion intosum ein
neuer Index gebildet. Summen haben die Eigenschaft outative, so dass
Faktoren bei der Vereinfachung aus der Summe herausgezogen werden. Mit der
Funktion intosum wird diese Vereinfachung rückgängig gemacht.
Beispiel:
(%i1) sum(2*x^2*n^k, k , 0, inf);
inf
====
2 \ k
(%o1) 2 x > n
/
====
k = 0
(%i2) intosum(%);
inf
====
\ k 2
(%o2) > 2 n x
/
====
k = 0
Bildet die Summe für den Ausdruck expr zum Index i für alle
Elemente der Liste L. Kann das Argument L nicht zu einer Liste
ausgewertet werden, wird eine Substantivform zurückgegeben. Siehe auch
sum.
Beispiele:
(%i1) lsum (x^i, i, [1, 2, 7]);
7 2
(%o1) x + x + x
(%i2) lsum (i^2, i, rootsof (x^3 - 1, x));
====
\ 2
(%o2) > i
/
====
3
i in rootsof(x - 1, x)
Gibt den Indizes von Summen und Produkten im Ausdruck expr einen neuen
Namen. niceindices benennt die Indizes nacheinander mit den Namen, die
in der Liste der Optionsvariablen niceindicespref enthalten sind. Die
Standardnamen sind [i, j, k, l, m, n]. Sind nicht genügend Namen in
der Liste vorhanden, werden weitere Indizes durch das Anhängen einer Nummer
gebildet.
niceindices wertet das Argument aus.
Beispiele:
(%i1) product (sum (f (foo + i*j*bar), foo, 1, inf), bar, 1, inf);
inf inf
/===\ ====
! ! \
(%o1) ! ! > f(bar i j + foo)
! ! /
bar = 1 ====
foo = 1
(%i2) niceindices (%);
inf inf
/===\ ====
! ! \
(%o2) ! ! > f(i j l + k)
! ! /
l = 1 ====
k = 1
Standardwert: [i, j, k, l, m, n]
niceindicespref ist die Liste mit den Namen, die die Funktion
niceindices nutzt, um die Indizes von Summen und Produkte umzubenennen.
Beispiele:
(%i1) niceindicespref: [p, q, r, s, t, u]$
(%i2) product (sum (f (foo + i*j*bar), foo, 1, inf), bar, 1, inf);
inf inf
/===\ ====
! ! \
(%o2) ! ! > f(bar i j + foo)
! ! /
bar = 1 ====
foo = 1
(%i3) niceindices (%);
inf inf
/===\ ====
! ! \
(%o3) ! ! > f(i j q + p)
! ! /
q = 1 ====
p = 1
Wendet den Gosper-Algorithmus der unbestimmten Summation für den Ausdruck expr und dem Index i an. Der Index i läuft von i_0 bis i_1. Der Ausdruck expr und das Ergebnis der Summation müssen als Produkte von ganzzahligen Exponentiationen, Fakultäten, Binomialen und rationalen Funktionen darstellbar sein.
Die Funktionen nusum und unsum wenden einige Regeln für die
Vereinfachung von Summen und Differenzen von endlichen Produkten an. Siehe
auch unsum.
Beispiele:
(%i1) nusum (n*n!, n, 0, n);
Dependent equations eliminated: (1)
(%o1) (n + 1)! - 1
(%i2) nusum (n^4*4^n/binomial(2*n,n), n, 0, n);
4 3 2 n
2 (n + 1) (63 n + 112 n + 18 n - 22 n + 3) 4 2
(%o2) ------------------------------------------------ - ------
693 binomial(2 n, n) 3 11 7
(%i3) unsum (%, n);
4 n
n 4
(%o3) ----------------
binomial(2 n, n)
(%i4) unsum (prod (i^2, i, 1, n), n);
n - 1
/===\
! ! 2
(%o4) ( ! ! i ) (n - 1) (n + 1)
! !
i = 1
(%i5) nusum (%, n, 1, n);
Dependent equations eliminated: (2 3)
n
/===\
! ! 2
(%o5) ! ! i - 1
! !
i = 1
Bildet das Produkt des Ausdrucks expr zum Index i in den Grenzen
i_0 bis i_1. product wertet expr sowie die untere
Grenze i_0 und obere Grenze i_1 aus. Der Index i wird nicht
ausgewertet.
Ist die Differenz der oberen und unteren Grenze eine ganze Zahl, wird expr
für jeden Wert des Index i ausgewertet. Das Ergebnis ist ein explizites
Produkt. Andernfalls ist der Bereich des Index unbestimmt. Maxima wendet
einige einfache Regeln an, um das Produkt zu vereinfachen. Hat die
Optionsvariable simpproduct den Wert true, wendet Maxima weitere
Regeln an, um Produkte zu vereinfachen.
Siehe auch nouns und evflag für die Auswertung von Ausdrücken,
die die Substantivform eines Produktes enthalten.
Beispiele:
(%i1) product (x + i*(i+1)/2, i, 1, 4);
(%o1) (x + 1) (x + 3) (x + 6) (x + 10)
(%i2) product (i^2, i, 1, 7);
(%o2) 25401600
(%i3) product (a[i], i, 1, 7);
(%o3) a a a a a a a
1 2 3 4 5 6 7
(%i4) product (a(i), i, 1, 7);
(%o4) a(1) a(2) a(3) a(4) a(5) a(6) a(7)
(%i5) product (a(i), i, 1, n);
n
/===\
! !
(%o5) ! ! a(i)
! !
i = 1
(%i6) product (k, k, 1, n);
n
/===\
! !
(%o6) ! ! k
! !
k = 1
(%i7) product (k, k, 1, n), simpproduct;
(%o7) n!
(%i8) product (integrate (x^k, x, 0, 1), k, 1, n);
n
/===\
! ! 1
(%o8) ! ! -----
! ! k + 1
k = 1
(%i9) product (if k <= 5 then a^k else b^k, k, 1, 10);
15 40
(%o9) a b
Standardwert: false
Hat simpproduct den Wert true, versucht Maxima ein Produkt weiter
zu vereinfachen. Die Vereinfachung kann eine geschlossene Form liefern. Hat
simpproduct den Wert false oder wird das Produkt als
Substantivform 'product definiert, werden nur einige einfache Regeln von
Maxima für die Vereinfachung angewendet. simpproduct ist auch ein
Auswertungsschalter. Siehe evflag.
Siehe auch product für ein Beispiel.
Standardwert: false
Hat simpsum den Wert true, versucht Maxima eine Summe oder Reihe
weiter zu vereinfachen. Die Vereinfachung kann eine geschlossene Form liefern.
Hat simpsum den Wert false oder die Summe oder Reihe liegt als
Substantivform 'sum vor, werden nur einige einfache Regeln von Maxima
für die Vereinfachung angewendet. simpsum ist auch ein
Auswertungsschalter. Siehe evflag.
Siehe auch sum für ein Beispiel.
Bildet die Summe des Ausdrucks expr zum Index i in den Grenzen
i_0 bis i_1. Die Funktion sum wertet expr sowie die
untere Grenze i_0 und obere Grenze i_1 aus. Der Index i wird
nicht ausgewertet.
Ist die Differenz der oberen und unteren Grenze eine ganze Zahl, wird expr
für jeden Wert des Index i ausgewertet. Das Ergebnis ist eine explizite
Summe. Andernfalls ist der Bereich des Index unbestimmt. Maxima wendet einige
einfache Regeln an, um die Summe zu vereinfachen. Hat die Optionsvariable
simpsum den Wert true, wendet Maxima weitere Regeln an, um Summen
zu vereinfachen.
Werden zwei unendliche Reihen miteinander multipliziert und die Optionsvariablen
sumexpand sowie cauchysum haben beide den Wert true, dann
wird die Cauchy-Produktformel angewendet.
Die Optionsvariable genindex enthält das Zeichen, das der Präfix
eines automatisch generierten Index ist. gensumnum enthält eine ganze
Zahl, die an den Präfix genindex angehängt wird, um einen
automatischen Index zu generieren. gensumnum wird von Maxima automatisch
erhöht. Hat gensumnum den Wert false, wird keine Zahl an den
Präfix angehängt.
Das Paket simplify_sum enthält die Funktion
simplify_sum, mit der Summen zu einer geschlossenen Form vereinfacht
werden können.
Siehe auch sumcontract, sumexpand,
intosum, bashindices, niceindices,
cauchysum und zeilberger.
Beispiele:
(%i1) sum (i^2, i, 1, 7);
(%o1) 140
(%i2) sum (a[i], i, 1, 7);
(%o2) a + a + a + a + a + a + a
7 6 5 4 3 2 1
(%i3) sum (a(i), i, 1, 7);
(%o3) a(7) + a(6) + a(5) + a(4) + a(3) + a(2) + a(1)
(%i4) sum (a(i), i, 1, n);
n
====
\
(%o4) > a(i)
/
====
i = 1
(%i5) sum (2^i + i^2, i, 0, n);
n
====
\ i 2
(%o5) > (2 + i )
/
====
i = 0
(%i6) sum (2^i + i^2, i, 0, n), simpsum;
3 2
n + 1 2 n + 3 n + n
(%o6) 2 + --------------- - 1
6
(%i7) sum (1/3^i, i, 1, inf);
inf
====
\ 1
(%o7) > --
/ i
==== 3
i = 1
(%i8) sum (1/3^i, i, 1, inf), simpsum;
1
(%o8) -
2
(%i9) sum (i^2, i, 1, 4) * sum (1/i^2, i, 1, inf);
inf
====
\ 1
(%o9) 30 > --
/ 2
==== i
i = 1
(%i10) sum (i^2, i, 1, 4) * sum (1/i^2, i, 1, inf), simpsum;
2
(%o10) 5 %pi
(%i11) sum (integrate (x^k, x, 0, 1), k, 1, n);
n
====
\ 1
(%o11) > -----
/ k + 1
====
k = 1
(%i12) sum (if k <= 5 then a^k else b^k, k, 1, 10);
10 9 8 7 6 5 4 3 2
(%o12) b + b + b + b + b + a + a + a + a + a
Fasst alle Summen in dem Ausdruck expr zusammen, die sich in ihrem oberen und unterem Index nur um eine Konstante voneinander unterscheiden. Das Ergebnis ist eine Ausdruck mit einer Summe, für die Summen, die zusammengefasst werden können und weiteren Termen, die hinzu addiert werden müssen, um einen äquivalenten Ausdruck zu erhalten.
Es kann notwendig sein zunächst das Kommando intosum(expr)
auszuführen. Siehe intosum.
Beispiel:
(%i1) 'sum(1/l,l,1,n)+'sum(k,k,1,n+2);
n n + 2
==== ====
\ 1 \
(%o1) > - + > k
/ l /
==== ====
l = 1 k = 1
(%i2) sumcontract(%);
n
====
\ 1
(%o2) 2 n + > (l + -) + 3
/ l
====
l = 1
Standardwert: false
Hat die Optionsvariable sumexpand den Wert true, werden Produkte
von Summen und Potenzen von Summen zu verschachtelten Summen vereinfacht. Siehe
auch cauchysum.
Beispiele:
(%i1) sumexpand: true$
(%i2) sum (f (i), i, 0, m) * sum (g (j), j, 0, n);
m n
==== ====
\ \
(%o2) > > f(i1) g(i2)
/ /
==== ====
i1 = 0 i2 = 0
(%i3) sum (f (i), i, 0, m)^2;
m m
==== ====
\ \
(%o3) > > f(i3) f(i4)
/ /
==== ====
i3 = 0 i4 = 0
Gibt die erste Rückwärtsdifferenz f(n) -
f(n-1) zurück. Siehe auch nusum.
Beispiele:
(%i1) g(p) := p*4^n/binomial(2*n,n);
n
p 4
(%o1) g(p) := ----------------
binomial(2 n, n)
(%i2) g(n^4);
4 n
n 4
(%o2) ----------------
binomial(2 n, n)
(%i3) nusum (%, n, 0, n);
4 3 2 n
2 (n + 1) (63 n + 112 n + 18 n - 22 n + 3) 4 2
(%o3) ------------------------------------------------ - ------
693 binomial(2 n, n) 3 11 7
(%i4) unsum (%, n);
4 n
n 4
(%o4) ----------------
binomial(2 n, n)
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