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Führt eine Substitution der Integrationsvariablen, die als f(x,y)=0 angegeben wird, für die Variable x in allen Integralen durch, die in expr enthalten sind. Die neue Variable ist y.
(%i1) assume(a > 0)$
(%i2) 'integrate (%e**sqrt(a*y), y, 0, 4);
4
/
[ sqrt(a) sqrt(y)
(%o2) I %e dy
]
/
0
(%i3) changevar (%, y-z^2/a, z, y);
0
/
[ abs(z)
2 I z %e dz
]
/
- 2 sqrt(a)
(%o3) - ----------------------------
a
Ein Ausdruck mit einem Integral in einer Substantivform 'integrate wie
im obigen Beispiel kann mit der Funktion ev und dem Auswertungsschalter
nouns ausgewertet werden. Das Beispiel von oben kann zum Beispiel mit
ev(%o3, nouns) ausgewertet werden.
Mit changevar können auch die Indizes einer Summe oder eines Produktes
substituiert werden. Dabei muss beachtet werden, dass nur lineare
Verschiebungen, wie zum Beispiel i = j + ..., eine korrekte Substitution
für Summen und Produkte sind.
(%i4) sum (a[i]*x^(i-2), i, 0, inf);
inf
====
\ i - 2
(%o4) > a x
/ i
====
i = 0
(%i5) changevar (%, i-2-n, n, i);
inf
====
\ n
(%o5) > a x
/ n + 2
====
n = - 2
Eine Routine, um ein bestimmtes doppeltes Integral mit der Simpsonschen Regel numerisch zu berechnen.
b s(x)
/ /
[ [
I I f(x, y) dy dx
] ]
/ /
a r(x)
Die Funktion f muss eine Funktion von zwei Variablen sein. r und
s müssen Funktionen einer Variablen sein. a und b sind
Gleitkommazahlen. Die Optionsvariablen dblint_x und dblint_y
kontrollieren die Anzahl der Unterteilungen des Integrationsintervalls für
den Simpsonschen Algorithmus. Der Standardwert ist jeweils 10.
Das Kommando demo(dblint) zeigt ein Beispiel.
Die numerischen Funktionen des Pakets QUADPACK sind gegenüber
dblint zu bevorzugen.
Sucht das bestimmte Integral eines Ausdrucks expr für die
Integrationsvariable x in den Grenzen a und b. Diese Funktion
wird ausgeführt, wenn ein bestimmtes Integral mit der Funktion
integrate gesucht wird.
defint gibt einen symbolischen Ausdruck als Ergebnis zurück. Ist das
Integral divergent, generiert Maxima eine Fehlermeldung. Kann defint
keine Lösung finden, wird eine Substantivform zurückgegeben.
Standardwert: true
Hat erfflag den Wert false, wird von der Funktion risch
die Fehlerfunktion erf nicht in die Lösung eingeführt.
Berechnet die Inverse Laplace-Transformation des Ausdrucks expr für die
Variable s und den Parameter t. expr muss eine rationale
Funktion sein, in deren Nenner nur lineare und quadratische Faktoren auftreten.
Mit den Funktionen laplace und ilt sowie den Funktionen
solve oder linsolve können lineare Differentialgleichungen oder
Systeme von linearen Differentialgleichungen gelöst werden.
(%i1) 'integrate (sinh(a*x)*f(t-x), x, 0, t) + b*f(t) = t**2;
t
/
[ 2
(%o1) I f(t - x) sinh(a x) dx + b f(t) = t
]
/
0
(%i2) laplace (%, t, s);
a laplace(f(t), t, s) 2
(%o2) b laplace(f(t), t, s) + --------------------- = --
2 2 3
s - a s
(%i3) linsolve ([%], ['laplace(f(t), t, s)]);
2 2
2 s - 2 a
(%o3) [laplace(f(t), t, s) = --------------------]
5 2 3
b s + (a - a b) s
(%i4) ilt (rhs (first (%)), s, t);
Is a b (a b - 1) positive, negative, or zero?
pos;
sqrt(a b (a b - 1)) t
2 cosh(---------------------) 2
b a t
(%o4) - ----------------------------- + -------
3 2 2 a b - 1
a b - 2 a b + a
2
+ ------------------
3 2 2
a b - 2 a b + a
Standardwert: true
Hat intanalysis den Wert true, sucht Maxima nach Polen in einem
Integranden. Existieren solche, wird der Cauchysche Hauptwert des Integrals
bestimmt. Hat intanalysis den Wert false, wird die Integration
unter der Annahme ausgeführt, dass das Integral keine Pole im
Integrationsbereich hat.
Siehe auch ldefint.
Beispiele:
Maxima kann das folgende Integral lösen, wenn intanalysis den Wert
false hat.
(%i1) integrate(1/(sqrt(x)+1),x,0,1);
1
/
[ 1
(%o1) I ----------- dx
] sqrt(x) + 1
/
0
(%i2) integrate(1/(sqrt(x)+1),x,0,1),intanalysis:false;
(%o2) 2 - 2 log(2)
(%i3) integrate(cos(a)/sqrt((tan(a))^2 +1),a,-%pi/2,%pi/2);
The number 1 isn't in the domain of atanh
-- an error. To debug this try: debugmode(true);
(%i4) intanalysis:false$
(%i5) integrate(cos(a)/sqrt((tan(a))^2+1),a,-%pi/2,%pi/2);
%pi
(%o5) ---
2
Sucht die symbolische Lösung des Integrals für den Ausdruck expr und
der Integrationsvariablen x. integrate(expr, x) löst
das unbestimmte Integral.
integrate(expr, x, a, b) sucht die Lösung des
bestimmten Integrals in den Integrationsgrenzen a und b. Die
Integrationsgrenzen dürfen die Integrationsvariable x nicht enthalten.
Für die Integrationsgrenzen muss nicht gelten a < b. Sind die
Integrationsgrenzen gleich, dann ist das Ergebnis der Integration Null.
Für die numerische Lösung von Integralen siehe die Funktion
quad_qag und verwandte Funktionen. Residuen eines Integranden können
mit der Funktion residue berechnet werden. Einen alternativen
Algorithmus für das Lösen von Integralen, die im Integranden eine unbekannte
Funktion und deren Ableitung enthalten, bieten die Funktionen antid und
antidiff.
Findet integrate keine Lösung wird eine Substantivform oder ein
Ausdruck mit einer oder mehreren Substantivformen zurückgegeben.
Soll das Integral nicht sofort berechnet werden, kann die Substantivform des
Integrals angegeben werden, zum Beispiel 'integrate(expr, x).
Die Berechnung des Integrals ist dann mit Funktion ev und dem
Auswertungsschalter nouns möglich.
Die Abhängigkeit der Funktionen im Integranden von Variablen muss explizit zum
Beispiel mit f(x) angegeben werden. integrate beachtet keine
Abhängigkeit die mit der Funktion depends definiert werden.
Benötigt integrate Informationen zu einem Parameter, die nicht aus dem
aktuellen Kontext abgeleitet werden können, wird der Nutzer nach den fehlenden
Informationen gefragt.
integrate ist standardmäßig nicht als linear deklariert. Siehe
declare und linear.
Nur in einigen speziellen Fällen wendet integrate die Methode der
partiellen Integration an.
Beispiele:
Elementare unbestimmte und bestimme Integrale.
(%i1) integrate (sin(x)^3, x);
3
cos (x)
(%o1) ------- - cos(x)
3
(%i2) integrate (x/ sqrt (b^2 - x^2), x);
2 2
(%o2) - sqrt(b - x )
(%i3) integrate (cos(x)^2 * exp(x), x, 0, %pi);
%pi
3 %e 3
(%o3) ------- - -
5 5
(%i4) integrate (x^2 * exp(-x^2), x, minf, inf);
sqrt(%pi)
(%o4) ---------
2
Gebrauch von assume und interaktive Fragen.
(%i1) assume (a > 1)$
(%i2) integrate (x**a/(x+1)**(5/2), x, 0, inf);
2 a + 2
Is ------- an integer?
5
no;
Is 2 a - 3 positive, negative, or zero?
neg;
3
(%o2) beta(a + 1, - - a)
2
Substitution der Integrationsvariablen. In diesem Beispiel werden zwei
verschiedene Substitutionen vorgenommen. Zuerst wird eine Ableitung der
Funktion mit der Funktion gradef definiert. Die andere nutzt die
Ableitung diff(r(x)) einer unbekannten Funktion r(x).
(%i3) gradef (q(x), sin(x^2)); (%o3) q(x)
(%i4) diff (log (q (r (x))), x);
d 2
(-- (r(x))) sin(r (x))
dx
(%o4) ----------------------
q(r(x))
(%i5) integrate (%, x); (%o5) log(q(r(x)))
Die Lösung enthält eine Substantivform für das Integral einer rationalen
Funktion. Siehe auch integrate_use_rootsof für Informationen zu
Integralen von rationalen Funktionen.
(%i1) expand ((x-4) * (x^3+2*x+1));
4 3 2
(%o1) x - 4 x + 2 x - 7 x - 4
(%i2) integrate (1/%, x);
/ 2
[ x + 4 x + 18
I ------------- dx
] 3
log(x - 4) / x + 2 x + 1
(%o2) ---------- - ------------------
73 73
Definition einer Funktion als ein Integral. Die rechte Seite einer
Funktionsdefinition wird nicht ausgewertet. Daher enthält die
Funktionsdefinition das Integral in einer Substantivform. Der
Quote-Quote-Operator '' erzwingt die Auswertung der
Substantivform.
(%i1) f_1(a) := integrate (x^3, x, 1, a);
3
(%o1) f_1(a) := integrate(x , x, 1, a)
(%i2) ev(f_1 (7), nouns); (%o2) 600
(%i3) /* Note parentheses around integrate(...) here */
f_2(a) := ''(integrate (x^3, x, 1, a));
4
a 1
(%o3) f_2(a) := -- - -
4 4
(%i4) f_2(7); (%o4) 600
Standardwert: %c
Wird eine symbolische Integrationskonstante für die Lösung eines Integrals
benötigt, erzeugt Maxima diese durch Verkettung des Symbols
integration_constant mit einer laufenden Nummer, die der Wert der
Optionsvariablen integration_constant_counter ist.
Der Optionsvariablen integration_constant kann ein beliebiges Symbol
zugewiesen werden.
Beispiele:
(%i1) integrate (x^2 = 1, x);
3
x
(%o1) -- = x + %c1
3
(%i2) integration_constant : 'k; (%o2) k
(%i3) integrate (x^2 = 1, x);
3
x
(%o3) -- = x + k2
3
Standardwert: 0
Wird eine symbolische Integrationskonstante für die Lösung eines Integrals
benötigt, erzeugt Maxima diese durch Verkettung des Symbols
integration_constant mit einer laufenden Nummer, die der Wert der
Optionsvariablen integration_constant_counter ist.
Der Wert der Systemvariablen integration_constant_counter wird vor der
Erzeugung der Integrationskonstanten erhöht.
Beispiele:
(%i1) integrate (x^2 = 1, x);
3
x
(%o1) -- = x + %c1
3
(%i2) integrate (x^2 = 1, x);
3
x
(%o2) -- = x + %c2
3
(%i3) reset (integration_constant_counter); (%o3) [integration_constant_counter]
(%i4) integrate (x^2 = 1, x);
3
x
(%o4) -- = x + %c1
3
Standardwert: false
Hat integrate_use_rootsof den Wert true und der Nenner einer
rationalen Funktion kann nicht faktorisiert werden, dann gibt
integrate ein Integral zurück, das eine Summe über die unbekannten
Wurzeln des Nenners enthält.
Hat zum Beispiel integrate_use_rootsof den Wert false, gibt
integrate im Folgenden ein Lösung zurück, die eine Substantivform
enthält.
(%i1) integrate_use_rootsof: false$
(%i2) integrate (1/(1+x+x^5), x);
/ 2
[ x - 4 x + 5
I ------------ dx 2 x + 1
] 3 2 2 5 atan(-------)
/ x - x + 1 log(x + x + 1) sqrt(3)
(%o2) ----------------- - --------------- + ---------------
7 14 7 sqrt(3)
Mit dem Wert true für die Optionsvariable integrate_use_rootsof
wird das ungelöste Integral als eine Summe über die Wurzeln des Nenners der
rationalen Funktion zurückgegeben.
(%i3) integrate_use_rootsof: true$
(%i4) integrate (1/(1+x+x^5), x);
==== 2
\ (%r4 - 4 %r4 + 5) log(x - %r4)
> -------------------------------
/ 2
==== 3 %r4 - 2 %r4
3 2
%r4 in rootsof(x - x + 1)
(%o4) ----------------------------------------------------------
7
2 x + 1
2 5 atan(-------)
log(x + x + 1) sqrt(3)
- --------------- + ---------------
14 7 sqrt(3)
Alternativ kann der Nutzer die Wurzeln des Nenners separat berechnen und den
Integranden mit Hilfe der Wurzeln ausdrücken. Zum Beispiel als
1/((x - a)*(x - b)*(x - c)) oder 1/((x^2-(a+b)*x + a*b)*(x - c))
für ein kubisches Polynom mit drei Nullstellen im Nenner. Auf diese Weise
kann Maxima in einigen Fällen eine Lösung für ein Integral finden.
Sucht die Laplace-Transformation des Ausdrucks expr für die Integrationsvariable x und den Parameter s.
laplace findet die Laplace-Transformation für Ausdrücke, die die
Funktionen delta, exp, log, sin,
cos, sinh, cosh und erf sowie Ausdrücke
mit derivative, integrate, sum und ilt
enthalten.
Kann laplace die Laplace-Transformation nicht finden, wird die Funktion
specint aufgerufen. specint kann die Laplace-Transformation für
eine Vielzahl von speziellen Funktionen im Integranden berechnen. Findet auch
specint keine Lösung ist das Ergebnis eine Substantivform.
laplace erkennt die Faltung von Funktionen der Form
integrate (f(x) * g(t - x), x, 0, t). Andere Faltungen werden nicht
erkannt.
Funktionale Abhängigkeiten von Variablen müssen explizit angegeben werden.
laplace erkennt keine Abhängigkeiten, die mit der Funktion
depends definiert wurden. Eine Funktion die von den Variablen x
abhängt, muss als f(x) im Ausdruck expr auftreten.
Siehe auch ilt für die Inverse Laplace-Transformation.
Beispiele:
(%i1) laplace (exp (2*t + a) * sin(t) * t, t, s);
a
%e (2 s - 4)
(%o1) ---------------
2 2
(s - 4 s + 5)
(%i2) laplace ('diff (f (x), x), x, s);
(%o2) s laplace(f(x), x, s) - f(0)
(%i3) diff (diff (delta (t), t), t);
2
d
(%o3) --- (delta(t))
2
dt
(%i4) laplace (%, t, s);
!
d ! 2
(%o4) - -- (delta(t))! + s - delta(0) s
dt !
!t = 0
(%i5) assume(a>0)$
(%i6) laplace(gamma_incomplete(a,t),t,s),gamma_expand:true;
- a - 1
gamma(a) gamma(a) s
(%o6) -------- - -----------------
s 1 a
(- + 1)
s
(%i7) factor(laplace(gamma_incomplete(1/2,t),t,s));
s + 1
sqrt(%pi) (sqrt(s) sqrt(-----) - 1)
s
(%o7) -----------------------------------
3/2 s + 1
s sqrt(-----)
s
(%i8) assume(exp(%pi*s)>1)$
(%i9) laplace(sum((-1)^n*unit_step(t-n*%pi)*sin(t),n,0,inf),t,s)
,simpsum;
%i %i
------------------------ - ------------------------
- %pi s - %pi s
(s + %i) (1 - %e ) (s - %i) (1 - %e )
(%o9) ---------------------------------------------------
2
(%i9) factor(%);
%pi s
%e
(%o9) -------------------------------
%pi s
(s - %i) (s + %i) (%e - 1)
Sucht die Lösung des bestimmten Integrals für den Integranden expr.
ldefint bestimmt die Stammfunktion und sucht die Grenzwerte mit der
Funktion limit an den Integrationsgrenzen a und b. Kann ein
Grenzwert nicht ermittelt werden, enthält das Ergebnis die Substantivform
des Grenzwertes.
ldefint wird nicht von der Funktion integrate aufgerufen. Daher
kann ldefint ein von integrate verschiedenes Ergebnis haben.
ldefint verwendet immer denselben Algorithmus, um eine Lösung zu
finden. Dagegen wendet integrate verschiedene Algorithmen an, um nach
einer Lösung zu suchen.
Berechnet das Residuum für den Ausdruck expr, wenn die Variable z gegen den Wert z_0 geht.
Beispiele:
(%i1) residue (s/(s**2+a**2), s, a*%i);
1
(%o1) -
2
(%i2) residue (sin(a*x)/x**4, x, 0);
3
a
(%o2) - --
6
Nutzt den transzendenten Risch-Algorithmus für die Integration des
Ausdruck expr und der Integrationsvariable x. Der algebraische
Risch-Algorithmus ist nicht implementiert. Der transzendente Risch-Algorithmus
behandelt Integranden mit Exponential- und Logarithmusfunktionen. Der
Risch-Algorithmus wird von integrate aufgerufen, wenn integrate
keine Stammfunktion finden kann.
Hat erfflag den Wert false, werden von der Funktion risch
keine Fehlerfunktionen erf in die Lösung eingeführt.
Beispiele:
(%i1) risch (x^2*erf(x), x);
2
3 2 - x
%pi x erf(x) + (sqrt(%pi) x + sqrt(%pi)) %e
(%o1) -------------------------------------------------
3 %pi
(%i2) diff(%, x), ratsimp;
2
(%o2) x erf(x)
Entspricht der Funktion ldefint mit dem Wert true für die
Optionsvariable tlimswitch.
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