16.3.3 Einführung in QUADPACK

QUADPACK ist eine Sammlung von Funktionen für die numerische Berechnung von eindimensionalen bestimmten Integralen. QUADPACK hat den Ursprung in einem Projekt von R. Piessens ¹, E. de Doncker ², C. Ueberhuber ³, und D. Kahaner ⁴.

Die QUADPACK-Bibliothek, die in Maxima enthalten ist, ist eine automatische Übersetzung des Fortran Quellcodes mit dem Programm f2cl wie er in der SLATEC Common Mathematical Library, Version 4.1 ⁵ vorliegt. Die SLATEC Bibliothek datiert auf Juli 1993. Die QUADPACK Funktionen wurden bereits einige Jahre früher programmiert. Es gibt eine weitere Version von QUADPACK bei Netlib ⁶. Es ist jedoch unklar worin sich diese von der SLATEC Version unterscheidet.

Alle QUADPACK-Funktionen versuchen automatisch, ein bestimmtes Integral numerisch innerhalb eine spezifizierten Genauigkeit zu berechnen. Die Übersetzung nach Lisp enthält einige weitere nicht-automatische Funktionen, die jedoch nicht als Maxima Funktionen zur Verfügung stehen.

Weitere Informationen über das QUADPACK-Paket sind in dem QUADPACK-Buch ⁷ enthalten.

Übersicht über die Integrationsroutinen

quad_qag

Integration einer allgemeinen Funktion über ein endliches Intervall. quad_qag implementiert einen globalen adaptiven Integrator auf Grundlage der Strategie von Aind (Piessens, 1973). Es kann aus 6 verschiedenen Paaren von Gauß-Kronrad-Quadraturformeln ausgewählt werden. Die Formeln höheren Grades sind für stark oszillierende Integranden geeignet.

quad_qags

Integration einer allgemeinen Funktion über ein endliches Intervall. Die Funktion quad_qags implementiert die Strategie einer globalen adaptiven Unterteilung des Integrationsintervalls mit Extrapolation (de Doncker, 1978). Zusätzlich wird versucht, die Konvergenz der Integralapproximation mit Hilfe des Epsilon-Algorithmus (Wynn, 1956) zu beschleunigen. Dies führt zum Beispiel bei Integranden mit Singularitäten, deren Lage und Typ unbekannt sind, zu einer Effizienzsteigerung.

quad_qagi

Die Funktion quad_qagi führt die Integration einer allgemeinen Funktion über ein unendliches oder halb-unendliches Intervall aus. Das Intervall wird auf ein endliches Intervall transformiert. Das transformierte Integrationsproblem wird dann mit einer geringfügig modifizierten Algorithmus wie in quad_qags gelöst.

quad_qawo

Berechnung von Integralen mit den trigonometrischen Gewichtsfunktionen \(cos(omega x) f(x)\) oder \(sin(omega x) f(x)\) über ein endliches Intervall, wobei \(omega\) eine Konstante ist. Der Algorithmus der Funktion quad_qawo zur basiert auf eine modifizierte Clenshaw-Curtis-Technik. quad_qawo wendet eine adaptive Unterteilung des Integrationsintervalls mit Extrapolation an, die vergleichbar mit dem Algorithmus von quad_qags ist. Zusätzlich wird versucht, die Konvergenz der Integralapproximation mit Hilfe des Epsilon-Algorithmus (Wynn, 1956) zu beschleunigen.

quad_qawf

Die Funktion quad_qawf berechnet die Sinus- oder Kosinus-Fouriertransformation über ein halb-unendliches Intervall. Dabei wird die global adaptive Routine quad_qawo sukzessive auf endliche Teilintervalle angewendet. Zur Konvergenzbeschleunigung der resultierenden alternierenden Reihe wird der Epsilon-Algorithmus (Wynn, 1956) verwendet.

quad_qaws

Integration von \(w(x) f(x)\) über ein endliches Intervall \([a, b]\), wobei \(w\) eine Funktion der Form \((x - a)^alpha (b - x)^beta v(x)\) ist und \(v(x)\) ist 1 oder \(log(x - a)\) oder \(log(b - x)\) oder \(log(x - a) log(b - x)\), und \(alpha > -1\) und \(beta > -1\). quad_qaws ist speziell für die effiziente Berechnung von Integralen über endliche Intervalle mit algebraischen oder algebraisch-logarithmischen Endpunktsingularitäten konzipiert. Eine globale adaptive Strategie mit Unterteilung des Integrationsintervalls wird angewendet. Auf Teilintervalle die keinen Endpunkt des Integrationsintervalls enthalten, kommt ein Gauß-Kronrod-Formelpaar und auf Randintervallen kommen modifizierte Clenshaw-Curtis-Formeln zur Anwendung.

quad_qawc

Die Funktion quad_qawc berechnet den Cauchyschen Hauptwert von \(f(x)(x - c)\) über ein endliches Intervall \((a, b)\) und dem Wert \(c\). Es wird eine modifizierte Clenshaw-Curtis-Formel angewendet, wenn \(c\) im Teilbereich enthalten ist. Andernfalls wird eine globale adaptive Strategie mit einem Gauß-Kronrod-Formelpaar angewendet.

quad_qagp

Basically the same as quad_qags but points of singularity or discontinuity of the integrand must be supplied. This makes it easier for the integrator to produce a good solution.