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Die Funktion quad_qag
berechnet das folgende Integral über ein
endliches Intervall.
b / [ I f(x) dx ] / a
quad_qag
implementiert einen globalen adaptiven Integrator auf
Grundlage der Strategie von Aind (Piessens, 1973). Es kann aus 6 verschiedenen
Paaren von Gauß-Kronrad-Quadraturformeln ausgewählt werden. Die Formeln
höheren Grades sind für stark oszillierende Integranden geeignet.
Die Funktion f(x) mit der abhängigen Variablen x wird im Integrationsintervall a und b integriert. key wählt den Grad der Gauß-Kronrod-Quadraturformel aus und kann Werte von 1 bis 6 annehmen. Ein größerer Grad ist geeignet für stark oszillierende Integranden.
Der Integrand kann eine Maxima-Funktion, eine Lisp-Funktion, ein Operator, ein Maxima-Lambda-Ausdruck oder ein allgemeiner Maxima-Ausdruck sein.
Die numerische Integration wird adaptiv ausgeführt. Der Integrationsbereich wird solange geteilt, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht wird.
Die Schlüsselwortargumente sind optional und können in beliebiger
Reihenfolge angegeben werden. Sie haben die Form key=val
. Die
Schlüsselwortargumente sind:
epsrel
Gewünschter relativer Fehler der Approximation. Der Standardwert ist
1.0e-8
.
epsabs
Gewünschter absoluter Fehler der Approximation. Der Standardwert ist
0
.
limit
Die maximale Zahl an Teilintervallen des adaptiven Algorithmus. Der
Standardwert ist 200
.
quad_qag
gibt eine Liste mit vier Elementen zurück:
Der Fehlercode kann die folgenden Werte annehmen:
0
,
wenn kein Fehler aufgetreten ist,
1
,
wenn zu viele Teilintervalle notwendig wurden,
2
,
wenn übemäßiger Rundungsfehler aufgetreten sind,
3
,
wenn ein extrem schlechtes Verhalten des Integranden vorliegt,
6
,
wenn die Eingabe ungültig ist.
Beispiele:
(%i1) quad_qag (x^(1/2)*log(1/x), x, 0, 1, 3, 'epsrel=5d-8); (%o1) [.4444444444492108, 3.1700968502883E-9, 961, 0]
(%i2) integrate (x^(1/2)*log(1/x), x, 0, 1); 4 (%o2) - 9
Die Funktion quad_qags
berechnet das folgende Integral über ein
endliches Intervall.
b / [ I f(x) dx ] / a
quad_qags
implementiert die Strategie einer globalen adaptiven
Unterteilung des Integrationsintervalls mit Extrapolation (de Doncker, 1978).
Zusätzlich wird versucht, die Konvergenz der Integralapproximation mit Hilfe
des Epsilon-Algorithmus (Wynn, 1956) zu beschleunigen. Dies führt zum
Beispiel bei Integranden mit Singularitäten, deren Lage und Typ unbekannt
sind, zu einer Effizienzsteigerung.
Die Funktion f(x) mit der abhängigen Variablen x wird im Integrationsintervall a und b integriert.
Der Integrand kann eine Maxima-Funktion, eine Lisp-Funktion, ein Operator, ein Maxima-Lambda-Ausdruck oder ein allgemeiner Maxima-Ausdruck sein.
Die Schlüsselwortargumente sind optional und können in beliebiger
Reihenfolge angegeben werden. Sie haben die Form key=val
. Die
Schlüsselwortargumente sind:
epsrel
Gewünschter relativer Fehler der Approximation. Der Standardwert ist
1.0e-8
.
epsabs
Gewünschter absoluter Fehler der Approximation. Der Standardwert ist
0
.
limit
Die maximale Zahl an Teilintervallen des adaptiven Algorithmus. Der
Standardwert ist 200
.
quad_qag
gibt eine Liste mit vier Elementen zurück:
Der Fehlercode kann die folgenden Werte annehmen:
0
,
wenn kein Fehler aufgetreten ist,
1
,
wenn zu viele Teilintervalle notwendig wurden,
2
,
wenn übemäßiger Rundungsfehler aufgetreten sind,
3
,
wenn ein extrem schlechtes Verhalten des Integranden vorliegt,
6
,
wenn die Eingabe ungültig ist.
Beispiele:
quad_qags
ist genauer und effizienter als quad_qag
für das
folgende Beispiel.
(%i1) quad_qags (x^(1/2)*log(1/x), x, 0, 1, 'epsrel=1d-10); (%o1) [.4444444444444448, 1.11022302462516E-15, 315, 0]
Die Funktion quad_qagi
berechnet die folgenden Integrale über ein
unendliches oder halb-unendliches Intervall.
inf / [ I f(x) dx ] / a
a / [ I f(x) dx ] / minf
inf / [ I f(x) dx ] / minf
Das Intervall wird auf ein endliches Intervall transformiert. Das
transformierte Integrationsproblem wird dann mit einem geringfügig
modifizierten Algorithmus wie in quad_qags
gelöst.
Die Funktion f(x) mit der abhängigen Variablen x wird über einen unendlichen Bereich integriert.
Der Integrand kann eine Maxima-Funktion, eine Lisp-Funktion, ein Operator, ein Maxima-Lambda-Ausdruck oder ein allgemeiner Maxima-Ausdruck sein.
Eine der Grenzen des Integrationsbereiches kann unendlich sein. Ist dies nicht
der Fall gibt quad_qagi
eine Substantivform zurück.
Die Schlüsselwortargumente sind optional und können in beliebiger
Reihenfolge angegeben werden. Sie haben die Form key=val
. Die
Schlüsselwortargumente sind:
epsrel
Gewünschter relativer Fehler der Approximation. Der Standardwert ist
1.0e-8
.
epsabs
Gewünschter absoluter Fehler der Approximation. Der Standardwert ist
0
.
limit
Die maximale Zahl an Teilintervallen des adaptiven Algorithmus. Der
Standardwert ist 200
.
quad_qag
gibt eine Liste mit vier Elementen zurück:
Der Fehlercode kann die folgenden Werte annehmen:
0
,
wenn kein Fehler aufgetreten ist,
1
,
wenn zu viele Teilintervalle notwendig wurden,
2
,
wenn übemäßiger Rundungsfehler aufgetreten sind,
3
,
wenn ein extrem schlechtes Verhalten des Integranden vorliegt,
6
,
wenn die Eingabe ungültig ist.
Beispiele:
(%i1) quad_qagi (x^2*exp(-4*x), x, 0, inf, 'epsrel=1d-8); (%o1) [0.03125, 2.95916102995002E-11, 105, 0]
(%i2) integrate (x^2*exp(-4*x), x, 0, inf); 1 (%o2) -- 32
Die Funktion quad_qawc
berechnet den Cauchyschen Hauptwert von
\(f(x)(x - c)\) über ein endliches Intervall \((a, b)\) und dem Wert
\(c\).
b / [ f(x) I ----- dx ] x - c / a
Es wird eine modifizierte Clenshaw-Curtis-Formel angewendet, wenn \(c\) im Teilbereich enthalten ist, andernfalls wird eine globale adaptive Strategie mit einem Gauß-Kronrod-Formelpaar angewendet.
Die Funktion f(x)/(x - c)
, die von der Variablen
x abhängt, wird in den Grenzen a und b integriert.
Der Integrand kann eine Maxima-Funktion, eine Lisp-Funktion, ein Operator, ein Maxima-Lambda-Ausdruck oder ein allgemeiner Maxima-Ausdruck sein.
Die Schlüsselwortargumente sind optional und können in beliebiger
Reihenfolge angegeben werden. Sie haben die Form key=val
. Die
Schlüsselwortargumente sind:
epsrel
Gewünschter relativer Fehler der Approximation. Der Standardwert ist
1.0e-8
.
epsabs
Gewünschter absoluter Fehler der Approximation. Der Standardwert ist
0
.
limit
Die maximale Zahl an Teilintervallen des adaptiven Algorithmus. Der
Standardwert ist 200
.
quad_qag
gibt eine Liste mit vier Elementen zurück:
Der Fehlercode kann die folgenden Werte annehmen:
0
,
wenn kein Fehler aufgetreten ist,
1
,
wenn zu viele Teilintervalle notwendig wurden,
2
,
wenn übemäßiger Rundungsfehler aufgetreten sind,
3
,
wenn ein extrem schlechtes Verhalten des Integranden vorliegt,
6
,
wenn die Eingabe ungültig ist.
Beispiele:
(%i1) quad_qawc (2^(-5)*((x-1)^2+4^(-5))^(-1), x, 2, 0, 5, 'epsrel=1d-7); (%o1) [- 3.130120337415925, 1.306830140249558E-8, 495, 0]
(%i2) integrate (2^(-alpha)*(((x-1)^2 + 4^(-alpha))*(x-2))^(-1), x, 0, 5); Principal Value alpha alpha 9 4 9 4 log(------------- + -------------) alpha alpha 64 4 + 4 64 4 + 4 (%o2) (----------------------------------------- alpha 2 4 + 2 3 alpha 3 alpha ------- ------- 2 alpha/2 2 alpha/2 2 4 atan(4 4 ) 2 4 atan(4 ) alpha - --------------------------- - -------------------------)/2 alpha alpha 2 4 + 2 2 4 + 2
(%i3) ev (%, alpha=5, numer); (%o3) - 3.130120337415917
Die Funktion quad_qawf
berechnet die Sinus- oder
Kosinus-Fouriertransformation mit der Gewichtsfunktion \(w\) über ein
halb-unendliches Intervall.
inf / [ I f(x) w(x) dx ] / a
Zur Berechnung des Integrals wird die global adaptive Routine
quad_qawo
sukzessive auf endliche Teilintervalle angewendet. Zur
Konvergenzbeschleunigung der resultierenden alternierenden Reihe wird
der Epsilon-Algorithmus (Wynn, 1956) verwendet.
Die Gewichtsfunktion \(w\) wird mit dem Schlüsselwort trig ausgewählt:
cos
\(w(x) = cos (omega x)\)
sin
\(w(x) = sin (omega x)\)
Der Integrand kann eine Maxima-Funktion, eine Lisp-Funktion, ein Operator, ein Maxima-Lambda-Ausdruck oder ein allgemeiner Maxima-Ausdruck sein.
Die Schlüsselwortargumente sind optional und können in beliebiger
Reihenfolge angegeben werden. Sie haben die Form key=val
.
Die Schlüsselwortargumente sind:
epsabs
Gewünschter absoluter Fehler der Näherung. Der Standardwert ist
1.0e-10
.
limit
(limit - limlst)/2
ist die maximale Zahl an Teilintervallen
des adaptiven Algorithmus. Der Standardwert ist 200
.
maxp1
Die maximale Anzahl an Chebyshev-Gewichten. Der Wert muss größer als 0
sein. Der Standardwert ist 100
.
limlst
Obere Grenze für die Anzahl an Zyklen. Der Wert muss größer oder gleich 3 sein. Der Standardwert ist 10.
quad_qawf
gibt eine Liste mit vier Elementen zurück:
Der Fehlercode kann die folgenden Werte annehmen:
0
,
wenn kein Fehler aufgetreten ist,
1
,
wenn zu viele Teilintervalle notwendig wurden,
2
,
wenn übemäßiger Rundungsfehler aufgetreten sind,
3
,
wenn ein extrem schlechtes Verhalten des Integranden vorliegt,
6
,
wenn die Eingabe ungültig ist.
Beispiele:
(%i1) quad_qawf (exp(-x^2), x, 0, 1, 'cos, 'epsabs=1d-9); (%o1) [.6901942235215714, 2.84846300257552E-11, 215, 0]
(%i2) integrate (exp(-x^2)*cos(x), x, 0, inf); - 1/4 %e sqrt(%pi) (%o2) ----------------- 2
(%i3) ev (%, numer); (%o3) .6901942235215714
Die Funktion quad_qawo
berechnet das folgende Integral mit den
trigonometrischen Gewichtsfunktionen \(cos(omega x) f(x)\) oder
\(sin(omega x) f(x)\) über ein endliches Intervall, wobei \(omega\)
eine Konstante ist.
b / [ I f(x) w(x) dx ] / a
Der Algorithmus basiert auf eine modifizierte Clenshaw-Curtis-Technik.
quad_qawo
wendet eine adaptive Unterteilung des Integrationsintervalls
mit Extrapolation an, die vergleichbar mit dem Algorithmus von
quad_qags
ist. Zusätzlich wird versucht, die Konvergenz der
Integralapproximation mit Hilfe des Epsilon-Algorithmus zu beschleunigen.
Die Gewichtsfunktion \(w\) wird mit dem Schlüsselwort trig ausgewählt:
cos
\(w(x) = cos (omega x)\)
sin
\(w(x) = sin (omega x)\)
Der Integrand kann eine Maxima-Funktion, eine Lisp-Funktion, ein Operator, ein Maxima-Lambda-Ausdruck oder ein allgemeiner Maxima-Ausdruck sein.
Die Schlüsselwortargumente sind optional und können in beliebiger
Reihenfolge angegeben werden. Sie haben die Form key=val
.
Die Schlüsselwortargumente sind:
epsrel
Gewünschter relativer Fehler der Näherung. Der Standardwert ist
1.0e-8
epsabs
Gewünschter absoluter Fehler der Näherung. Der Standardwert ist 0
.
limit
limit/2
ist die maximale Zahl an Teilintervallen des adaptiven
Algorithmus. Der Standardwert ist 200
.
maxp1
Die maximale Anzahl an Chebyshev-Gewichten. Der Wert muss größer als 0
sein. Der Standardwert ist 100
.
limlst
Obere Grenze für die Anzahl an Zyklen. Der Wert muss größer oder gleich 3 sein. Der Standardwert ist 10.
quad_qawo
gibt eine Liste mit vier Elementen zurück:
Der Fehlercode kann die folgenden Werte annehmen:
0
,
wenn kein Fehler aufgetreten ist,
1
,
wenn zu viele Teilintervalle notwendig wurden,
2
,
wenn übemäßiger Rundungsfehler aufgetreten sind,
3
,
wenn ein extrem schlechtes Verhalten des Integranden vorliegt,
6
,
wenn die Eingabe ungültig ist.
Beispiele:
(%i1) quad_qawo (x^(-1/2)*exp(-2^(-2)*x), x, 1d-8, 20*2^2, 1, cos); (%o1) [1.376043389877692, 4.72710759424899E-11, 765, 0]
(%i2) rectform (integrate (x^(-1/2)*exp(-2^(-alpha)*x) * cos(x), x, 0, inf)); alpha/2 - 1/2 2 alpha sqrt(%pi) 2 sqrt(sqrt(2 + 1) + 1) (%o2) ----------------------------------------------------- 2 alpha sqrt(2 + 1)
(%i3) ev (%, alpha=2, numer); (%o3) 1.376043390090716
Die Funktion quad_qaws
berechnet das Integral von \(w(x) f(x)\) über
ein endliches Intervall \([a, b]\), wobei \(w\) eine Funktion der Form
\((x - a)^alpha (b - x)^beta v(x)\) ist und \(v(x)\) ist 1 oder
\(log(x - a)\) oder \(log(b - x)\) oder \(log(x - a) log(b - x)\), und
\(alpha > -1\) und \(beta > -1\).
b / [ I f(x) w(x) dx ] / a
quad_qaws
ist speziell für die effiziente Berechnung von Integralen
über endliche Intervalle mit algebraischen oder algebraisch-logarithmischen
Endpunktsingularität konzipiert. Eine globale adaptive Strategie mit
Unterteilung des Integrationsintervalls wird angewendet. Auf Teilintervalle,
die keinen Endpunkt des Integrationsintervalls enthalten, kommt ein
Gauß-Kronrod-Formelpaar und auf Randintervallen kommen modifizierte
Clenshaw-Curtis-Formeln zur Anwendung.
Die Gewichtsfunktion wird mit dem Schlüsselwort wfun ausgewählt:
1
\(w(x) = (x - a)^alpha (b - x)^beta\)
2
\(w(x) = (x - a)^alpha (b - x)^beta log(x - a)\)
3
\(w(x) = (x - a)^alpha (b - x)^beta log(b - x)\)
4
\(w(x) = (x - a)^alpha (b - x)^beta log(x - a) log(b - x)\)
Der Integrand kann eine Maxima-Funktion, eine Lisp-Funktion, ein Operator, ein Maxima-Lambda-Ausdruck oder ein allgemeiner Maxima-Ausdruck sein.
Die Schlüsselwortargumente sind optional und können in beliebiger
Reihenfolge angegeben werden. Sie haben die Form key=val
.
Die Schlüsselwortargumente sind:
epsrel
Gewünschter relativer Fehler der Näherung. Der Standardwert ist
1.0e-8
epsabs
Gewünschter absoluter Fehler der Näherung. Der Standardwert ist 0
.
limit
Maximale Anzahl der Teilintervalle des adaptiven Algorithmus. Der Standardwert
ist 200
.
quad_qaws
gibt eine Liste mit vier Elementen zurück:
Der Fehlercode kann die folgenden Werte annehmen:
0
,
wenn kein Fehler aufgetreten ist,
1
,
wenn zu viele Teilintervalle notwendig wurden,
2
,
wenn übemäßiger Rundungsfehler aufgetreten sind,
3
,
wenn ein extrem schlechtes Verhalten des Integranden vorliegt,
6
,
wenn die Eingabe ungültig ist.
Beispiele:
(%i1) quad_qaws (1/(x+1+2^(-4)), x, -1, 1, -0.5, -0.5, 1, 'epsabs=1d-9); (%o1) [8.750097361672832, 1.24321522715422E-10, 170, 0]
(%i2) integrate ((1-x*x)^(-1/2)/(x+1+2^(-alpha)), x, -1, 1); alpha Is 4 2 - 1 positive, negative, or zero? pos; alpha alpha 2 %pi 2 sqrt(2 2 + 1) (%o2) ------------------------------- alpha 4 2 + 2
(%i3) ev (%, alpha=4, numer); (%o3) 8.750097361672829
Integration of a general function over a finite interval.
quad_qagp
implements globally adaptive interval subdivision with
extrapolation (de Doncker, 1978) by the Epsilon algorithm (Wynn, 1956).
quad_qagp
computes the integral
\(integrate (f(x), x, a, b)\)
The function to be integrated is f(x), with dependent variable x, and the function is to be integrated between the limits a and b.
The integrand may be specified as the name of a Maxima or Lisp function or operator, a Maxima lambda expression, or a general Maxima expression.
To help the integrator, the user must supply a list of points where the integrand is singular or discontinous.
The keyword arguments are optional and may be specified in any order.
They all take the form key=val
. The keyword arguments are:
epsrel
Desired relative error of approximation. Default is 1d-8.
epsabs
Desired absolute error of approximation. Default is 0.
limit
Size of internal work array. limit is the maximum number of subintervals to use. Default is 200.
quad_qagp
returns a list of four elements:
The error code (fourth element of the return value) can have the values:
0
no problems were encountered;
1
too many sub-intervals were done;
2
excessive roundoff error is detected;
3
extremely bad integrand behavior occurs;
4
failed to converge
5
integral is probably divergent or slowly convergent
6
if the input is invalid.
Examples:
(%i1) quad_qagp(x^3*log(abs((x^2-1)*(x^2-2))),x,0,3,[1,sqrt(2)]); (%o1) [52.74074838347143, 2.6247632689546663e-7, 1029, 0]
(%i2) quad_qags(x^3*log(abs((x^2-1)*(x^2-2))), x, 0, 3); (%o2) [52.74074847951494, 4.088443219529836e-7, 1869, 0]
The integrand has singularities at 1 and sqrt(2) so we supply these
points to quad_qagp
. We also note that quad_qagp
is
more accurate and more efficient that quad_qags
.
Control error handling for quadpack. The parameter should be one of the following symbols:
current_error
The current error number
control
Controls if messages are printed or not. If it is set to zero or less, messages are suppressed.
max_message
The maximum number of times any message is to be printed.
If value is not given, then the current value of the parameter is returned. If value is given, the value of parameter is set to the given value.
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