Nächste: Integration, Vorige: Funktionen und Variablen für Grenzwerte, Nach oben: Analysis [Inhalt][Index]
Wertet den Ausdruck expr aus, wobei dessen Variablen die Werte annehmen,
die in der Liste der Gleichungen [eqn_1, ..., eqn_n]
oder in der einzelnen Gleichung eqn angegeben sind.
Wenn ein Teilausdruck von einer Variablen abhängt, für die ein Wert
angegeben ist, aber kein atvalue, und er auch sonst nicht ausgewertet
werden kann, dann wird von at eine Substantivform zurückgegeben.
at führt mehrfache Ersetzungen parallel aus.
Siehe auch atvalue. Für andere Funktionen, die Ersetzungen
ausführen, siehe weiterhin subst und ev.
Beispiele:
(%i1) atvalue (f(x,y), [x = 0, y = 1], a^2);
2
(%o1) a
(%i2) atvalue ('diff (f(x,y), x), x = 0, 1 + y);
(%o2) @2 + 1
(%i3) printprops (all, atvalue);
!
d !
--- (f(@1, @2))! = @2 + 1
d@1 !
!@1 = 0
2
f(0, 1) = a
(%o3) done
(%i4) diff (4*f(x, y)^2 - u(x, y)^2, x);
d d
(%o4) 8 f(x, y) (-- (f(x, y))) - 2 u(x, y) (-- (u(x, y)))
dx dx
(%i5) at (%, [x = 0, y = 1]);
!
2 d !
(%o5) 16 a - 2 u(0, 1) (-- (u(x, y))! )
dx !
!x = 0, y = 1
Gibt eine Liste mit zwei Elementen zurück aus denen die Stammfunktion des
Ausdrucks expr mit der Variablen x konstruiert werden kann. Der
Ausdruck expr kann eine unbekannte Funktion u und deren Ableitungen
enthalten. Ist L das Ergebnis der Funktion antid, dann ist der
Ausdruck L[1]+ 'integrate(L[2], x) die gesuchte
Stammfunktion des Ausdrucks expr mit der Variablen x.
Kann antid die Stammfunktion vollständig bestimmen, ist das zweite
Element der Liste Null. Hat antid keinerlei Erfolg, ist das erste
Element der Liste Null. In anderen Fällen enthält das erste Elemente den
integrierbaren Anteil des Ausdrucks expr und das zweite Element den nicht
integrierbaren Anteil des Ausdrucks.
Mit dem Kommando load("antid") wird die Funktion geladen.
antid steht in folgender Beziehung zur Funktion antidiff. Ist
L die Liste mit den Ergebnissen der Funktion antid, dann hat die
Funktion antidiff das Ergebnis L[1] + 'integrate(L[2],
x) mit x als der Variablen des Ausdrucks expr.
Beispiele:
(%i1) load ("antid")$
(%i2) expr: exp (z(x)) * diff (z(x), x) * y(x);
z(x) d
(%o2) y(x) %e (-- (z(x)))
dx
(%i3) a1: antid (expr, x, z(x));
z(x) z(x) d
(%o3) [y(x) %e , - %e (-- (y(x)))]
dx
(%i4) a2: antidiff (expr, x, z(x));
/
z(x) [ z(x) d
(%o4) y(x) %e - I %e (-- (y(x))) dx
] dx
/
(%i5) a2 - (first (a1) + 'integrate (second (a1), x));
(%o5) 0
(%i6) antid (expr, x, y(x));
z(x) d
(%o6) [0, y(x) %e (-- (z(x)))]
dx
(%i7) antidiff (expr, x, y(x));
/
[ z(x) d
(%o7) I y(x) %e (-- (z(x))) dx
] dx
/
Gibt die Stammfunktion des Ausdrucks expr mit der Variablen x zurück. Der Ausdruck expr kann eine unbekannte Funktion u und deren Ableitungen enthalten.
Kann antidiff die Stammfunktion nicht oder nur teilweise bestimmen,
enthält das Ergebnis das Integral des nicht bestimmbaren Anteils.
Mit dem Kommando load("antid") wird die Funktion geladen.
antidiff steht in folgender Beziehung zur Funktion antid. Ist
L die Liste mit den Ergebnissen der Funktion antid, dann hat die
Funktion antidiff das Ergebnis L[1] + 'integrate(L[2],
x) mit x als der Variablen des Ausdrucks expr.
Für Beispiele und weitere Ausführungen siehe die Funktion antid.
Wird für ein Symbol eine Ableitung mit der Funktion gradef definiert,
dann erhält das Symbol die Eigenschaft atomgrad.
Dem Ausdruck expr wird der Wert c am Punkt x = a
zugewiesen. Typischerweise werden Randwerte mit der Funktion atvalue
definiert.
Der Ausdruck expr ist entweder eine Funktion f(x_1, ...,
x_m) oder die Ableitung einer Funktion diff(f(x_1, ...,
x_m), x_1, n_1, ..., x_n, n_m). Die Argumente
müssen explizit auftreten. n_i ist die Ordnung der Ableitung
bezüglich der Variablen x_i.
Die Randwerte werden durch die Liste [x_1 = a_1, ...,
x_m = a_m] definiert. Eine einzelne Gleichung muss nicht als Liste
angegeben werden.
printprops([f_1, f_2, ...], atvalue) zeigt die Randwerte der
Funktionen f_1, f_2, ... wie sie mit der Funktion
atvalue definiert wurden. printprops (f, atvalue) zeigt
nur die Randwerte für die Funktion f. printprops (all, atvalue)
zeigt die Randwerte aller Funktionen.
Die Symbole @1, @2, … repräsentieren die Variablen
x_1, x_2, …, wenn die Randwerte angezeigt werden.
atvalue wertet die Argumente aus. atvalue gibt den Randwert
c zurück.
Beispiele:
(%i1) atvalue (f(x,y), [x = 0, y = 1], a^2);
2
(%o1) a
(%i2) atvalue ('diff (f(x,y), x), x = 0, 1 + y);
(%o2) @2 + 1
(%i3) printprops (all, atvalue);
!
d !
--- (f(@1, @2))! = @2 + 1
d@1 !
!@1 = 0
2
f(0, 1) = a
(%o3) done
(%i4) diff (4*f(x,y)^2 - u(x,y)^2, x);
d d
(%o4) 8 f(x, y) (-- (f(x, y))) - 2 u(x, y) (-- (u(x, y)))
dx dx
(%i5) at (%, [x = 0, y = 1]);
!
2 d !
(%o5) 16 a - 2 u(0, 1) (-- (u(x, y))! )
dx !
!x = 0, y = 1
The exterior calculus of differential forms is a basic tool of differential
geometry developed by Elie Cartan and has important applications in the theory
of partial differential equations. The cartan package implements the
functions ext_diff and lie_diff, along with the operators
~ (wedge product) and | (contraction of a form with a vector.)
Type demo (tensor) to see a brief description of these commands along
with examples.
cartan was implemented by F.B. Estabrook and H.D. Wahlquist.
del(x) repräsentiert das Differential der Variablen x.
diff gibt Ausdrücke zurück, die Differentiale enthalten, wenn keine
Variablen angegeben sind, nach denen abgeleitet werden soll. In diesem Fall
gibt diff das totale Differential zurück.
Beispiele:
(%i1) diff (log (x));
del(x)
(%o1) ------
x
(%i2) diff (exp (x*y));
x y x y
(%o2) x %e del(y) + y %e del(x)
(%i3) diff (x*y*z);
(%o3) x y del(z) + x z del(y) + y z del(x)
Die Diracsche Delta-Funktion.
Maxima kennt die Delta-Funktion nur im Zusammenhang mit
Laplace-Transformationen. Siehe laplace.
Beispiel:
(%i1) laplace (delta (t - a) * sin(b*t), t, s);
Is a positive, negative, or zero?
p;
- a s
(%o1) sin(a b) %e
Standardwert: []
dependencies ist eine Liste der Symbole, für die eine Abhängigkeit
mit den Funktionen depends oder gradef definiert wurde. Siehe
depends und gradef.
Definiert die Abhängigkeit einer Funktion f von einer Variablen x.
Ist keine Abhängigkeit definiert, dann hat die Ableitung diff(f, x) das
Ergebnis Null. Wird mit dem Kommando depends(f, x) definiert, dass die
Funktion f von der Variablen x abhängt, dann ist das Ergebnis der
Ableitung die Substantivform 'diff(f,x,1).
Jedes Argument f_1, x_1, … kann der Name einer Variablen, eines Arrays oder eine Liste mit Namen sein. Jedes Symbol f_i hängt ab von den Symbolen der Liste x_i. Ist eines der Symbole f_i der Name eines Arrays, dann hängen alle Elemente des Arrays von x_i ab.
diff erkennt indirekte Abhängigkeiten und wendet für diesen Fall
die Kettenregel an.
remove(f, dependency) entfernt alle Abhängigkeiten, die für
f definiert wurden.
depends gibt eine Liste der Abhängigkeiten zurück. Die
Abhängigkeiten werden in die Informationsliste dependencies
eingetragen. depends wertet die Argumente aus.
Die Funktion diff ist die einzige Maxima-Funktion, die Abhängigkeiten
erkennt, die mit depends definiert wurden. Andere Funktionen wie
integrate oder laplace erkennen keine Abhängigkeiten, die mit
der depends definiert wurden. Für diese Funktionen müssen die
Abhängigkeiten explizit angegeben werden, zum Beispiel als
integrate(f(x), x).
Beispiele:
(%i1) depends ([f, g], x);
(%o1) [f(x), g(x)]
(%i2) depends ([r, s], [u, v, w]);
(%o2) [r(u, v, w), s(u, v, w)]
(%i3) depends (u, t);
(%o3) [u(t)]
(%i4) dependencies;
(%o4) [f(x), g(x), r(u, v, w), s(u, v, w), u(t)]
(%i5) diff (r.s, u);
dr ds
(%o5) -- . s + r . --
du du
(%i6) diff (r.s, t);
dr du ds du
(%o6) -- -- . s + r . -- --
du dt du dt
(%i7) remove (r, dependency);
(%o7) done
(%i8) diff (r.s, t);
ds du
(%o8) r . -- --
du dt
Standardwert: false
Hat derivabbrev den Wert true, werden symbolische Ableitungen
mit einem tiefgestellten Index angezeigt. Ansonsten werden Ableitungen als
dy/dx angezeigt.
Beispiel:
(%i1) derivabbrev:false$
(%i2) 'diff(y,x);
dy
(%o2) --
dx
(%i3) derivabbrev:true$
(%i4) 'diff(y,x);
(%o4) y
x
Gibt die höchste Ableitung des Arguments y in Bezug auf die Variable x zurück, die in dem Ausdruck expr enthalten ist.
Beispiel:
(%i1) 'diff (y, x, 2) + 'diff (y, z, 3) + 'diff (y, x) * x^2;
3 2
d y d y 2 dy
(%o1) --- + --- + x --
3 2 dx
dz dx
(%i2) derivdegree (%, y, x);
(%o2) 2
derivlist ist ein Auswertungsschalter für die Funktion ev.
ev führt nur die Ableitungen in Bezug auf die angegebenen Variablen
var_1, …, var_k aus. Siehe auch ev.
Standardwert: false
Hat derivsubst den Wert true, werden Substitutionen auch in
Ausdrücke mit Ableitungen ausgeführt. Zum Beispiel hat dann
subst(x, 'diff(y, t), 'diff(y, t, 2)) das Ergebnis 'diff(x, t).
Gibt die Ableitungen oder Differentiale des Ausdrucks expr in Bezug auf alle oder einige der Variablen des Ausdrucks zurück.
diff(expr, x, n) gibt die n-te Ableitung des Ausdrucks
expr in Bezug auf die Variable x zurück.
diff(expr, x_1, n_1, ..., x_m, n_m) gibt
die partielle Ableitung des Ausdrucks expr in Bezug auf die Variablen
x_1, ..., x_m zurück. Dies ist äquivalent zu diff(...
(diff(expr, x_m, n_m) ...), x_1, n_1).
diff(expr, x) gibt die erste Ableitung des Ausdrucks
expr in Bezug auf die Variable x zurück.
diff(expr) gibt das totale Differential des Ausdrucks expr
zurück. Siehe auch del.
Wenn die Ableitungen nicht ausgeführt werden sollen, kann der
Quote-Operator ' verwendet werden, um eine Substantivform der
Ableitung zu erhalten.
Hat derivabbrev den Wert true, werden symbolische Ableitungen
mit einem tiefgestelltem Index angezeigt. Ansonsten werden Ableitungen als
dy/dy angezeigt.
diff ist auch ein Auswertungsschalter für die Funktion ev. Das
Kommando ev(expr), diff bewirkt, dass alle Ableitungen ausgeführt
werden, die im Ausdruck expr enthalten sind. Siehe auch die Funktion
ev.
derivative ist ein Alias-Name der Funktion diff.
Beispiele:
(%i1) diff (exp (f(x)), x, 2);
2
f(x) d f(x) d 2
(%o1) %e (--- (f(x))) + %e (-- (f(x)))
2 dx
dx
(%i2) derivabbrev: true$
(%i3) 'integrate (f(x, y), y, g(x), h(x));
h(x)
/
[
(%o3) I f(x, y) dy
]
/
g(x)
(%i4) diff (%, x);
h(x)
/
[
(%o4) I f(x, y) dy + f(x, h(x)) h(x) - f(x, g(x)) g(x)
] x x x
/
g(x)
For the tensor package, the following modifications have been incorporated:
dimension [default value: 4]. This will cause the differentiation to
be carried out with respect to the x_i’th member of the list
coordinates which should be set to a list of the names of the
coordinates, e.g., [x, y, z, t]. If coordinates is bound to an
atomic variable, then that variable subscripted by x_i will be used for
the variable of differentiation. This permits an array of coordinate names
or subscripted names like X[1], X[2], … to be used. If
coordinates has not been assigned a value, then the variables will be
treated as in (1) above.
Definiert eine partielle Ableitung der Funktion f oder Variablen a.
Das Kommando gradef(f(x_1, ..., x_n), g_1, ...,
g_m) definiert die partielle Ableitung df/dx_i als
g_i. g_i ist ein Ausdruck. g_i kann ein Funktionsaufruf
sein, aber nicht der Name einer Funktion. Die Anzahl der partiellen Ableitungen
m kann kleiner als die Anzahl der Argumente n sein.
gradef(a, x, expr) definiert die Ableitung der
Variablen a in Bezug auf die Variable x als expr. Wie mit der
Funktion depends wird a als abhängig von x deklariert. Die
Abhängigkeit wird in die Liste dependencies eingetragen. Siehe auch
depends.
Bis auf das erste Argument werden die Argumente der Funktion gradef
ausgewertet. gradef gibt die Funktion oder Variable zurück, für die
eine partielle Ableitung definiert wurde.
gradef kann die Ableitungen von vorhandenen Maxima-Funktionen neu
definieren. Zum Beispiel definiert gradef(sin(x), sqrt (1 - sin(x)^2))
eine neue Ableitung der Sinusfunktion.
gradef kann keine partiellen Ableitungen für indizierte Funktionen
definieren.
printprops([f_1, ..., f_n], gradef) zeigt die mit
gradef definierten partiellen Ableitungen der Funktionen f_1,
…, f_n an und printprops([a_n, ..., a_n],
atomgrad) zeigt die mit gradef definierten partiellen Ableitungen der
Variablen a_n, …, a_n an. Siehe printprops.
gradefs ist eine Informationsliste, die die Funktionen enthält, für
die mit gradef eine Ableitung definierte wurde. Die Liste enthält
keine Variablen, für die Ableitungen definiert wurden.
Nächste: Integration, Vorige: Funktionen und Variablen für Grenzwerte, Nach oben: Analysis [Inhalt][Index]