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Standardwert: false
Hat die Optionsvariable %e_to_numlog den Wert true, wird ein
Ausdruck mit der Exponentialfunktion exp der Form %e^(r*log(x))
zu x^r vereinfacht, wenn r eine rationale Zahl ist. Ist r
eine ganze Zahl, wird die Vereinfachung von der Optionsvariablen
logsimp kontrolliert.
Beispiel:
(%i1) exp(1/2*log(x));
log(x)
------
2
(%o1) %e
(%i2) exp(1/2*log(x)), %e_to_numlog:true;
(%o2) sqrt(x)
Standardwert: true
Die Optionsvariable %emode kontrolliert die Vereinfachung von
Ausdrücken mit der Exponentialfunktion exp der Form
%e^(%pi %i x).
Ist das Argument x eine ganze Zahl oder eine rationale Zahl, die ein
Vielfaches von 1/2, 1/3, 1/4 oder 1/6 ist, dann wird der Ausdruck
%e^(%pi %i x) zu einer reellen oder komplexen Zahl vereinfacht. Für
Gleitkommazahlen wird diese Vereinfachung dann ausgeführt, wenn diese eine
ganze Zahl oder halbzahlige rationale Zahl repräsentieren.
Eine Summe im Exponenten wie zum Beispiel %e^(%pi *%i (x+n)), wobei
n eine der oben genannten Zahlen und x ein allgemeiner Ausdruck ist,
wird vereinfacht, indem der Faktor %^(%pi %i n) entsprechend vereinfacht
wird.
Hat %emode den Wert false, werden keine speziellen Vereinfachungen
für den Ausdruck %e^(%pi %i x) vorgenommen.
Beispiele:
(%i1) exp([2*%pi*%i, 1/2*%pi*%i, 0.5*%pi*%i, 0.5b0*%pi*%i]);
(%o1) [1, %i, 1.0 %i, 1.0b0 %i]
(%i2) exp([1/3*%pi*%i, 1/4*%pi*%i, 1/6*%pi*%i]);
sqrt(3) %i 1 %i 1 %i sqrt(3)
(%o2) [---------- + -, ------- + -------, -- + -------]
2 2 sqrt(2) sqrt(2) 2 2
(%i3) exp((1/3+x)*%pi*%i);
sqrt(3) %i 1 %i %pi x
(%o3) (---------- + -) %e
2 2
Standardwert: false
Hat %enumer den Wert true, wird die Konstante %e immer dann
durch ihren nummerischen Wert ersetzt, wenn die Optionsvariable numer den
Wert true hat.
Hat %enumer den Wert false, wird die Konstante %e nur dann
durch ihren nummerischen Wert ersetzt, wenn der Exponent von %e^x zu
einer Gleitkommazahl ausgewertet wird.
Beispiel:
(%i1) %enumer:true;
(%o1) true
(%i2) exp(x);
x
(%o2) %e
(%i3) exp(x),numer;
x
(%o3) 2.718281828459045
Ist die Exponentialfunktion. Die Exponentialfunktion exp wird von Maxima
sofort zu %e^z vereinfacht und tritt in vereinfachten
Ausdrücken nicht auf. Maxima vereinfacht die Exponentialfunktion daher wie
die allgemeine Exponentiation ^. Darüberhinaus kennt Maxima
spezielle Regeln für die Vereinfachung der Exponentialfunktion.
Ist das Argument z der Exponentialfunktion eine ganze oder rationale Zahl wird ein vereinfachter Ausdruck zurückgegeben. Ist das Argument z eine reelle oder komplexe Gleitkommazahl wird ein numerisches Ergebnis berechnet.
Folgende Optionsvariablen kontrollieren die Vereinfachung der Exponentialfunktion:
%enumerHat die Optionsvariable %enumer den Wert true, vereinfacht Maxima
die Eulersche Zahl %e immer dann zu ihrem numerischen Wert, wenn die
Optionsvariable numer auch den Wert true hat.
%emodeHat die Optionsvariable %emode den Wert true, wendet Maxima
Regeln an, um Ausdrücke der Form %e^(x*%i*%pi) zu vereinfachen.
Der Standardwert von %emode ist true. Wenn mit komplexen Zahlen
in der Polarform gerechnet wird, kann es hilfreich sein, die Optionsvariable
%emode auf den Wert false zu setzen.
%e_to_numlogHat die Optionsvariable %e_to_numlog den Wert true, vereinfacht
Maxima einen Ausdruck %e^(r*log(x) zu x^r, wobei r
eine rationale Zahl ist. Ist r eine ganze Zahl wird diese Vereinfachung
von der Optionsvariablen logsimp kontrolliert. Für reelle oder
komplexe Gleitkommazahlen wird diese Vereinfachung nicht ausgeführt.
radexpandDie Optionsvariable radexpand kontrolliert die Vereinfachung von
Ausdrücken der Form (%e^a)^b. Ist a ein reelles Argument
vereinfacht Maxima immer zu einem Ausdruck %e^(a*b). Ist a ein
komplexes Argument, wird die Vereinfachung %e^(a*b) dann ausgeführt,
wenn die Optionsvariable radexpand den Wert all hat.
logsimpDie Optionsvariable logsimp kontrolliert die Vereinfachung der
Exponentialfunktion für den Fall, dass im Argument expr die
Logarithmusfunktion log auftritt. Hat die logsimp den Wert
true, wird ein Ausdruck %e^(n*log(x) zu x^n vereinfacht,
wenn n eine ganze Zahl ist. Mit der Optionsvariablen
%e_to_numlog wird diese Vereinfachung für eine rationale Zahl n
kontrolliert.
demoivreIst eine Optionsvariable und eine Funktion, die auch als Auswertungsschalter
evflag definiert ist. Hat die Optionsvariable demoivre den Wert
true, wird ein Ausdruck %e^(x + %i y) zu
%e^x (cos(y) + %i sin(y)) vereinfacht. Siehe auch die Optionsvariable
exponentialize.
Maxima kennt viele spezielle unbestimmte und bestimmte Integrale mit der Exponentialfunktion.
Ist der natürliche Logarithmus zur Basis \(e\). Die Logarithmusfunktion ist für das numerische und symbolische Rechnen geeignet.
Maxima hat keine vordefinierte Logarithmusfunktion zur Basis 10 oder anderen
Basen. Eine einfache Definition ist zum Beispiel
log10(x) := log(x)/log(10). Mit dem Kommando load("log10") kann ein
Paket geladen werden, dass eine dekadische Logarithmusfunktion log10
definiert.
Ist das Argument z der Logarithmusfunktion eine ganze oder rationale Zahl wird ein vereinfachter Ausdruck zurückgegeben. Ist das Argument z eine reelle oder komplexe Gleitkommazahl wird ein numerisches Ergebnis berechnet.
Die folgenden Optionsvariablen kontrollieren die Vereinfachung und Auswertung der Logarithmusfunktion:
logexpandHat die Optionsvariable logexpand den Wert true, dann wird
log(a^b) zu b*log(a) vereinfacht. Hat logexpand den
Wert all, wird zusätzlich log(a*b) zu log(a)+log(b)
vereinfacht. Mit den Wert super vereinfacht Maxima weiterhin
log(a/b) zu log(a)-log(b), wobei a/b eine rationale Zahl
ist. log(1/b wird für eine ganze Zahl b immer vereinfacht.
Hat die Optionsvariable logexpand den Wert false werden alle
obigen Vereinfachungen ausgeschaltet.
logsimpHat die Optionsvariable logsimp den Wert false, werden
Exponentialfunktionen exp, die Logarithmusfunktionen im Exponenten
enthalten, nicht vereinfacht.
lognegintHat die Optionsvariable lognegint den Wert true, wird
log(-n) zu log(n)+%i*%pi für positive n vereinfacht.
%e_to_numlogHat die Optionsvariable %e_to_numlog den Wert true, wird ein
Ausdruck %e^(r*log(x)) zu x^r vereinfacht. Dabei sind r
eine rationale Zahl und x ein beliebiger Ausdruck. Die Funktion
radcan führt diese Vereinfachung ebenfalls aus.
Die Logarithmusfunktion wird automatisch auf die Elemente von Listen und
Matrizen sowie auf die beiden Seiten von Gleichungen angewendet. Siehe
distribute_over.
Beispiele:
Verschiedene Beispiele mit der Logarithmusfunktion.
(%i1) log(%e);
(%o1) 1
(%i2) log(100.0);
(%o2) 4.605170185988092
(%i3) log(2.5+%i);
(%o3) .3805063771123649 %i + .9905007344332917
(%i4) taylor(log(1+x),x,0,5);
2 3 4 5
x x x x
(%o4)/T/ x - -- + -- - -- + -- + . . .
2 3 4 5
(%i5) rectform(log(x+%i*y));
2 2
log(y + x )
(%o5) ------------ + %i atan2(y, x)
2
(%i6) limit(log(x),x,0,plus);
(%o6) minf
(%i7) integrate(log(z)^n,z);
- n - 1
(%o7) - gamma_incomplete(n + 1, - log(z)) (- log(z))
n + 1
log(z)
(%i8) laplace(log(t),t,s);
- log(s) - %gamma
(%o8) -----------------
s
(%i9) depends(y,x);
(%o9) [y(x)]
(%i10) ode2(diff(y,x)+log(y)+1,y,x);
- 1
(%o10) %e expintegral_e(1, - log(y) - 1) = x + %c
Standardwert: false
Treten bei der unbestimmten Integration Logarithmusfunktionen im Ergebnis auf,
so wird der Betrag der Argumente der Logarithmusfunktionen gebildet, wenn die
Optionsvariable logabs den Wert true hat.
Beispiele:
(%i1) logabs:true;
(%o1) true
(%i2) integrate(1/x,x);
(%o2) log(abs(x))
(%i3) integrate(1/(1+x^3),x);
2 x - 1
! 2 ! atan(-------)
log(!x - x + 1!) log(abs(x + 1)) sqrt(3)
(%o3) - ----------------- + --------------- + -------------
6 3 sqrt(3)
Hat die Optionsvariable logarc den Wert true, werden inverse
Winkel- und Hyperbelfunktionen durch Logarithmusfunktionen ersetzt. Der
Standardwert von logarc ist false.
Die Funktion logarc(expr) führt diese Ersetzung aus, ohne dass
die Optionsvariable logarc gesetzt wird.
Beispiele:
(%i1) logarc(asin(x));
2
(%o1) - %i log(sqrt(1 - x ) + %i x)
(%i2) logarc:true;
(%o2) true
(%i3) asin(x);
2
(%o3) - %i log(sqrt(1 - x ) + %i x)
Standardwert: false
Der Optionsvariablen logconcoeffp kann eine Aussagefunktion mit einem
Argument zugewiesen werden, die kontrolliert, welche Koeffizienten von
der Funktion logcontract zusammengezogen werden. Sollen zum Beispiel
Wurzeln generiert werden, kann folgende Aussagefunktion definiert werden:
logconcoeffp:'logconfun$ logconfun(m) := featurep(m,integer) or ratnump(m)$
Das Kommando logcontract(1/2*log(x)) liefert nun das Ergebnis
log(sqrt(x)).
Der Ausdruck expr wird rekursiv nach Ausdrücken der Form
a1*log(b1) + a2*log(b2) + c durchsucht. Diese werden zu
log(ratsimp(b1^a1 * b2^a2)) + c transformiert.
(%i1) 2*(a*log(x) + 2*a*log(y))$
(%i2) logcontract(%);
2 4
(%o2) a log(x y )
Wird die Variable n mit dem Kommando declare(n, integer) als eine
ganze Zahl deklariert, dann wird logcontract(2*a*n*log(x)) zu
a*log(x^(2*n)) vereinfacht. Die Koeffizienten, die zusammengezogen
werden, sind in diesem Fall die Zahl 2 und die Variable n, welche
die folgende Aussage erfüllen featurep(coeff, integer).
Der Nutzer kann kontrollieren, welche Koeffizienten zusammengezogen werden.
Dazu wird der Optionsvariablen logconcoeffp eine Aussagefunktion mit
einem Argument zugewiesen. Sollen zum Beispiel Wurzeln generiert werden, kann
folgende Definition verwendet: logconcoeffp: 'logconfun$ logconfun(m) :=
featurep(m,integer) or ratnump(m)$. Dann hat das Kommando
logcontract(1/2*log(x)) das Ergebnis log(sqrt(x)).
Standardwert: true
Die Optionsvariable logexpand kontrolliert die Vereinfachung der
Logarithmusfunktion log.
Hat logexpand den Wert true, wird log(a^b) zu
b*log(a) vereinfacht. Hat logexpand den Wert all, wird
zusätzlich log(a*b) zu log(a)+log(b) vereinfacht. Mit dem Wert
super vereinfacht Maxima weiterhin log(a/b) zu
log(a)-log(b), wobei a/b eine rationale Zahl ist. log(1/b
wird für eine ganze Zahl b immer vereinfacht. Hat die Optionsvariable
logexpand den Wert false werden alle obigen Vereinfachungen
ausgeschaltet.
Standardwert: false
Hat die Optionsvariable lognegint den Wert true, wird
log(-n) zu log(n)+%i*%pi für positive n vereinfacht.
Standardwert: true
Hat die Optionsvariable logsimp den Wert false, werden
Exponentialfunktionen exp, die Logarithmusfunktionen im Exponenten
enthalten, nicht vereinfacht.
Gibt den Hauptwert des komplexen natürlichen Logarithmus im Intervall
-%pi < carg(x) <= +%pi zurück.
Standardwert: true
rootsconmode kontrolliert das Verhalten der Funktion
rootscontract. Siehe die Funktion rootscontract für Details.
Konvertiert Produkte von Wurzeln in Wurzeln von Produkten. Zum Beispiel hat
rootscontract(sqrt(x)*y^(3/2)) das Ergebnis sqrt(x*y^3).
Hat die Optionsvariable radexpand den Wert true und die
Optionsvariable domain den Wert real, das sind die Standardwerte,
wird abs(x) zu sqrt(x^2) vereinfacht. Zum Beispiel hat
rootscontract(abs(x) * sqrt(y)) das Ergebnis sqrt(x^2*y).
Die Optionsvariable rootsconmode kontrolliert das Ergebnis
folgendermaßen:
Problem Wert Ergebnis
rootsconmode rootscontract
x^(1/2)*y^(3/2) false sqrt(x*y^3)
x^(1/2)*y^(1/4) false sqrt(x)*y^(1/4)
x^(1/2)*y^(1/4) true sqrt(x*sqrt(y))
x^(1/2)*y^(1/3) true sqrt(x)*y^(1/3)
x^(1/2)*y^(1/4) all (x^2*y)^(1/4)
x^(1/2)*y^(1/3) all (x^3*y^2)^(1/6)
Hat rootsconmode den Wert false, kontrahiert rootscontract
nur Faktoren mit rationalen Exponenten, die den gleichen Nenner haben. Hat
rootsconmode den Wert all, wird das kleinste gemeinsame Vielfache
des Nenners der Faktoren verwendet, um die Faktoren zusammenzufassen.
Ähnlich wie bei der Funktion logcontract werden von
rootscontract die Argumente unter der Wurzel mit der Funktion
ratsimp vereinfacht.
Beispiele:
(%i1) rootsconmode: false$
(%i2) rootscontract (x^(1/2)*y^(3/2));
3
(%o2) sqrt(x y )
(%i3) rootscontract (x^(1/2)*y^(1/4));
1/4
(%o3) sqrt(x) y
(%i4) rootsconmode: true$
(%i5) rootscontract (x^(1/2)*y^(1/4));
(%o5) sqrt(x sqrt(y))
(%i6) rootscontract (x^(1/2)*y^(1/3));
1/3
(%o6) sqrt(x) y
(%i7) rootsconmode: all$
(%i8) rootscontract (x^(1/2)*y^(1/4));
2 1/4
(%o8) (x y)
(%i9) rootscontract (x^(1/2)*y^(1/3));
3 2 1/6
(%o9) (x y )
(%i10) rootsconmode: false$
(%i11) rootscontract (sqrt(sqrt(x) + sqrt(1 + x))
*sqrt(sqrt(1 + x) - sqrt(x)));
(%o11) 1
(%i12) rootsconmode: true$
(%i13) rootscontract (sqrt(5+sqrt(5)) - 5^(1/4)*sqrt(1+sqrt(5)));
(%o13) 0
Ist die Wurzelfunktion. Die Wurzelfunktion wird von Maxima sofort zu
x^(1/2) vereinfacht und tritt in Ausdrücken nicht auf.
Die Wurzelfunktion ist für das numerische und symbolische Rechnen geeignet.
Ist das Argument z der Wurzelfunktion eine Gleitkommazahl, wird ein
numerisches Ergebnis zurückgegeben. Für ganze und rationale Zahlen wird
die Wurzelfunktion vereinfacht. Die numerische Berechnung kann mit den
Optionsvariablen und Auswertungsschaltern numer und
float kontrolliert werden.
Hat die Optionsvariable radexpand den Wert true, werden die
n-ten Wurzeln von Faktoren unter einer Wurzel aus der Wurzel herausgezogen.
So wird zum Beispiel sqrt(16*x^2) nur dann zu 4*x vereinfacht,
wenn radexpand den Wert true hat.
Siehe auch die Funktionen rootscontract und sqrtdenest für die
Vereinfachung von Ausdrücken, die die Wurzelfunktion enthalten.
Beispiele:
Verschiedene Beispiele mit der Wurzelfunktion.
(%i1) sqrt(4);
(%o1) 2
(%i2) sqrt(24);
(%o2) 2 sqrt(6)
(%i3) sqrt(2.0);
(%o3) 1.414213562373095
(%i4) taylor(sqrt(1+x),x,0,5);
2 3 4 5
x x x 5 x 7 x
(%o4)/T/ 1 + - - -- + -- - ---- + ---- + . . .
2 8 16 128 256
(%i5) rectform(sqrt(x+%i*y));
2 2 1/4 atan2(y, x)
(%o5) %i (y + x ) sin(-----------)
2
2 2 1/4 atan2(y, x)
+ (y + x ) cos(-----------)
2
(%i6) integrate(sqrt(t)*(t+1)^-2,t,0,1);
%pi - 2
(%o6) -------
4
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