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%e ist die Basis des natürlichen Logarithmus, auch Eulersche Zahl
genannt. Der numerische Wert der Konstanten als Gleitkommazahl mit doppelter
Genauigkeit ist 2.718281828459045d0.
Die Funktion bfloat kann %e mit einer beliebigen Genauigkeit
berechnen.
Hat die Optionsvariable numer den Wert true, wird %e durch
den numerischen Wert ersetzt, aber nicht, wenn %e die Basis der
Exponentiation mit einem symbolischen Exponenten ist. Hat zusätzlich die
Optionsvariable %enumer den Wert true, dann wird %e in
einem Ausdruck immer durch den numerischen Wert ersetzt.
Beispiel:
Berechnung von %e auf 48 Stellen.
(%i1) fpprec: 48$ (%i2) bfloat(%e); (%o2) 2.7182818284590452353602874713526624977572470937b0
Die Wirkung der Optionsvariablen numer und %enumer auf das
Ersetzen von %e durch den numerischen Wert.
(%i1) %e, numer;
(%o1) 2.718281828459045
(%i2) %e^x, numer;
x
(%o2) %e
(%i3) %e^x, numer, %enumer;
x
(%o3) 2.718281828459045
Im ersten Beispiel vereinfacht die Reihe zu %e. Für die Vereinfachung
der Reihe wird die Funktion simplify_sum geladen. Im zweiten Beispiel
ist %e der Grenzwert.
(%i1) load("simplify_sum")$
(%i2) sum(1/n!, n, 0, inf);
inf
====
\ 1
(%o2) > --
/ n!
====
n = 0
(%i3) simplify_sum(%);
(%o3) %e
(%i4) limit((1+x)^(1/x), x, 0);
(%o4) %e
%i ist die imaginäre Einheit.
Maxima kennt keinen eigenen Typ für komplexe Zahlen. Komplexe Zahlen werden
von Maxima intern als die Addition von Realteil und dem mit der imaginären
Einheit %i multiplizierten Imaginärteil dargestellt. Zum Beispiel sind
die komplexen Zahlen 2 + 3*%i und 2 - 3*%i die Wurzeln der
Gleichung x^2 - 4*x + 13 = 0. Siehe auch das Kapitel
Zahlen.
Beispiele:
Einige Beispiele für das Rechnen mit der imaginären Einheit.
(%i1) sqrt(-1); (%o1) %i (%i2) %i^2; (%o2) - 1 (%i3) exp(%i*%pi/2); (%o3) %i (%i4) sin(%i*x); (%o4) %i sinh(x)
Repräsentiert den logischen Wert falsch. false wird intern
von Maxima durch die Lisp-Konstante NIL dargestellt.
Siehe auch true für den logischen Wert wahr.
Die Euler-Mascheroni-Konstante mit dem Wert 0.5772156649015329 als
Gleitkommazahl in doppelter Genauigkeit.
Die Funktion bfloat kann %gamma mit einer beliebigen Genauigkeit
berechnen.
Hat die Optionsvariable numer den Wert true, wird die Konstante
%gamma durch ihren numerischen Wert ersetzt.
Beispiele:
Numerische Werte für %gamma.
(%i1) %gamma, numer; (%o1) .5772156649015329 (%i2) bfloat(%gamma), fpprec: 48; (%o2) 5.7721566490153286060651209008240243104215933594b-1
Bestimmte Integrale, die %gamma als Ergebnis haben.
(%i1) -integrate(exp(-t)*log(t), t, 0, inf); (%o1) %gamma (%i2) -integrate(log(log(1/t)),t, 0,1); (%o2) %gamma
ind repräsentiert ein unbestimmtes Ergebnis. Siehe auch und
und die Funktion limit.
Beispiel:
(%i1) limit(sin(1/x), x, 0); (%o1) ind
inf repräsentiert einen positiven unendlich großen Wert. Siehe
auch minf und infinity.
Die unendlichen Größen, aber auch die unbestimmten Größen
ind und und, eignen sich nicht für das arithmetische
Rechnen. Diese Größen werden von Maxima in Rechnungen
wie Symbole behandelt, was zu fehlerhaften Ergebnissen führt. Daher sollten
unendliche Größen nur im Zusammenhang mit Grenzwerten
limit, bestimmten Integralen integrate oder Reihen
sum verwendet werden.
infinity repräsentiert einen komplexen unendlichen Wert. Siehe
auch inf und minf.
Die unendlichen Größen, aber auch die unbestimmten Größen
ind und und, eignen sich nicht für das arithmetische
Rechnen. Diese Größen werden von Maxima in Rechnungen
wie Symbole behandelt, was zu fehlerhaften Ergebnissen führt. Daher sollten
unendliche Größen nur im Zusammenhang mit Grenzwerten
limit, bestimmten Integralen integrate oder Reihen
sum verwendet werden.
minf repräsentiert einen negativen unendlichen Wert. Siehe
auch inf und infinity.
Die unendlichen Größen, aber auch die unbestimmten Größen
ind und und, eignen sich nicht für das arithmetische
Rechnen. Diese Größen werden von Maxima in Rechnungen
wie Symbole behandelt, was zu fehlerhaften Ergebnissen führt. Daher sollten
unendliche Größen nur im Zusammenhang mit Grenzwerten
limit, bestimmten Integralen integrate oder Reihen
sum verwendet werden.
%phi repräsentiert die Goldene Zahl \((1 + sqrt(5))/2\). Der
Wert als Gleitkommazahl in doppelter Genauigkeit ist 1.618033988749895d0.
Die Funktion fibtophi drückt Fibonacci-Zahlen fib(n) durch die
Goldene Zahl %phi aus. Standardmäßig kennt Maxima keine
algebraischen Eigenschaften der Konstanten %phi. Mit den Eingaben
tellrat(%phi^2-%phi-1) und algebraic: true kann die Funktion
ratsimp einige Vereinfachungen ausführen.
Die Funktion bfloat kann %phi mit einer beliebigen Genauigkeit
berechnen. Hat die Optionsvariable numer den Wert true, wird
die Konstante %phi durch ihren numerischen Wert ersetzt.
Beispiele:
Numerische Werte für %phi.
(%i1) %phi, numer; (%o1) 1.618033988749895 (%i2) bfloat(%phi), fpprec: 48; (%o2) 1.61803398874989484820458683436563811772030917981b0
fibtophi drückt Fibonacci-Zahlen fib(n) durch %phi aus.
(%i1) fibtophi (fib (n));
n n
%phi - (1 - %phi)
(%o1) -------------------
2 %phi - 1
(%i2) fib (n-1) + fib (n) - fib (n+1);
(%o2) - fib(n + 1) + fib(n) + fib(n - 1)
(%i3) fibtophi (%);
n + 1 n + 1 n n
%phi - (1 - %phi) %phi - (1 - %phi)
(%o3) - --------------------------- + -------------------
2 %phi - 1 2 %phi - 1
n - 1 n - 1
%phi - (1 - %phi)
+ ---------------------------
2 %phi - 1
(%i4) ratsimp (%); (%o4) 0
Mit den Eingaben tellrat(%phi^2-%phi-1) und algebraic:true kann
die Funktion ratsimp einige Vereinfachungen für Ausdrücke
ausführen, die %phi enthalten.
(%i1) e : expand ((%phi^2 - %phi - 1) * (A + 1));
2 2
(%o1) %phi A - %phi A - A + %phi - %phi - 1
(%i2) ratsimp (e);
2 2
(%o2) (%phi - %phi - 1) A + %phi - %phi - 1
(%i3) tellrat (%phi^2 - %phi - 1);
2
(%o3) [%phi - %phi - 1]
(%i4) algebraic : true;
(%o4) true
(%i5) ratsimp (e);
(%o5) 0
%pi repräsentiert die Kreiszahl. Der numerische Wert als
Gleitkommazahl in doppelter Genauigkeit ist 3.141592653589793d0.
Die Funktion bfloat kann %pi mit einer beliebigen Genauigkeit
berechnen. Hat die Optionsvariable numer den Wert true, wird die
Konstante %pi durch ihren numerischen Wert ersetzt.
Beispiele:
Numerische Werte für %pi.
(%i1) %pi, numer; (%o1) 3.141592653589793 (%i2) bfloat(%pi), fpprec:48; (%o2) 3.14159265358979323846264338327950288419716939938b0
Grenzwert und bestimmte Integrale, die %pi als Ergebnis haben.
(%i1) 'limit(n!^2*(n+1)^(2*n^2+n)/(2*n^(2*n^2+3*n+1)),n,inf);
2 2
- 2 n - 3 n - 1 2 n + n 2
limit n (n + 1) n!
n -> inf
(%o1) ----------------------------------------------
2
(%i2) %, nouns;
(%o2) %pi
(%i3) 'integrate(4*sqrt(1-t^2),t,0,1);
1
/
[ 2
(%o3) 4 I sqrt(1 - t ) dt
]
/
0
(%i4) %, nouns;
(%o4) %pi
(%i5) 'integrate(2*exp(-t^2),t,0,inf);
inf
/ 2
[ - t
(%o5) 2 I %e dt
]
/
0
(%i6) %, nouns;
(%o6) sqrt(%pi)
true repräsentiert den logischen Wert wahr. Intern ist
true als die Lisp-Konstante T implementiert.
Siehe auch false für den logischen Wert falsch.
und repräsentiert ein nicht definiertes Ergebnis. Siehe auch
ind und die Funktion limit.
Beispiel:
(%i1) limit (x*sin(x), x, inf); (%o1) und
zeroa repräsentiert eine positive unendlich kleine Zahl. zeroa
kann in Ausdrücken benutzt werden. Die Funktion limit vereinfacht
Ausdrücke, die infinitesimale Größen enthalten.
Beispiele:
limit vereinfacht Ausdrücke, die infinitesimale Größen enthalten.
(%i1) limit(zeroa); (%o1) 0 (%i2) limit(x+zeroa); (%o2) x
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