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Ist der Polylogarithmus der Ordnung s mit dem Argument z. Der Polylogarithmus wird durch die folgende Reihe definiert werden:
inf
==== k
\ z
Li (z) = > --
s / s
==== k
k = 1
Für s=1 geht der Polylogarithmus in die gewöhnliche
Logarithmusfunktion über und man erhält -log(1-z). Für s=2
oder s=3 spricht man vom Dilogarithmus oder Trilogarithmus.
Maxima vereinfacht für s=1 sofort zum gewöhnlichen Logarithmus. Für negative ganze Zahlen s einschließlich der Null vereinfacht Maxima den Polylogarithmus zu einer rationalen Funktion.
Ist s=2 oder s=3 und das Argument z eine Gleitkommazahl, vereinfacht Maxima den Di- oder Trilogarithmus zu einer Gleitkommazahl.
Beispiele:
(%i1) assume (x > 0);
(%o1) [x > 0]
(%i2) integrate ((log (1 - t)) / t, t, 0, x);
(%o2) - li (x)
2
(%i3) li [2] (7);
(%o3) li (7)
2
(%i4) li [2] (7), numer;
(%o4) 1.24827317833392 - 6.113257021832577 %i
(%i5) li [3] (7);
(%o5) li (7)
3
(%i6) li [2] (7), numer;
(%o6) 1.24827317833392 - 6.113257021832577 %i
(%i7) L : makelist (i / 4.0, i, 0, 8);
(%o7) [0.0, 0.25, 0.5, 0.75, 1.0, 1.25, 1.5, 1.75, 2.0]
(%i8) map (lambda ([x], li [2] (x)), L);
(%o8) [0, .2676526384986274, .5822405249432515,
.9784693966661848, 1.64493407, 2.190177004178597
- .7010261407036192 %i, 2.374395264042415
- 1.273806203464065 %i, 2.448686757245154
- 1.758084846201883 %i, 2.467401098097648
- 2.177586087815347 %i]
(%i9) map (lambda ([x], li [3] (x)), L);
(%o9) [0, .2584613953442624, 0.537213192678042,
.8444258046482203, 1.2020569, 1.642866878950322
- .07821473130035025 %i, 2.060877505514697
- .2582419849982037 %i, 2.433418896388322
- .4919260182322965 %i, 2.762071904015935
- .7546938285978846 %i]
Berechnet die Laplace-Transformation des Ausdrucks expr für die Integrationsvariable t. s ist der Parameter der Laplace-Transformation. Der Integrand expr kann spezielle Funktionen der Mathematik enthalten.
Die folgenden speziellen Funktionen können als Integrand auftreten: die
unvollständige Gammafunkion gamma_incomplete, die
Fehlerfunktionen erf und erfc, nicht jedoch die Funktion
erfi, die jedoch in eine andere Fehlerfunktion transformiert werden
kann, die Exponentiellen Integrale wie zum Beispiel expintegral_e1,
die Bessel-Funktionen wie zum Beispiel bessel_j, einschließlich
der Produkte von Bessel-Funktionen, Hankel-Funktionen wie zum Beispiel
hankel_1, Hermite hermite und Laguerre Polynome
laguerre. Weiterhin kann specint Integranden mit der
Hypergeometrische Funktion %f[p,q]([],[],z), die Whittaker Funktion der
ersten Art %m[u,k](z) und die der zweiten Art %w[u,k](z)
integrieren.
Das Ergebnis kann spezielle Funktionen und die Hypergeometrische Funktion enthalten.
Kann die Funktion laplace keine Laplace-Transformation finden, wird
specint aufgerufen. Da die Funktion laplace einige allgemeine
Regeln kennt, um die Laplace-Transformation zu finden, ist es von Vorteil
die Laplace-Transformation mit der Funktion laplace zu berechnen.
demo(hypgeo) zeigt einige Beispiele für Laplace-Transformationen mit
der Funktion specint.
Beispiele:
(%i1) assume (p > 0, a > 0)$
(%i2) specint (t^(1/2) * exp(-a*t/4) * exp(-p*t), t);
sqrt(%pi)
(%o2) ------------
a 3/2
2 (p + -)
4
(%i3) specint (t^(1/2) * bessel_j(1, 2 * a^(1/2) * t^(1/2))
* exp(-p*t), t);
- a/p
sqrt(a) %e
(%o3) ---------------
2
p
Beispiel mit Exponentiellen Integralen.
(%i4) assume(s>0,a>0,s-a>0)$
(%i5) ratsimp(specint(%e^(a*t)
*(log(a)+expintegral_e1(a*t))*%e^(-s*t),t));
log(s)
(%o5) ------
s - a
(%i6) logarc:true$
(%i7) gamma_expand:true$
radcan(specint((cos(t)*expintegral_si(t)
-sin(t)*expintegral_ci(t))*%e^(-s*t),t));
log(s)
(%o8) ------
2
s + 1
ratsimp(specint((2*t*log(a)+2/a*sin(a*t)
-2*t*expintegral_ci(a*t))*%e^(-s*t),t));
2 2
log(s + a )
(%o9) ------------
2
s
Entwicklung der unvollständigen Gammafunktion und Wechsel in eine Darstellung
mit dem Exponentiellen Integral expintegral_e1.
(%i10) assume(s>0)$
(%i11) specint(1/sqrt(%pi*t)*unit_step(t-k)*%e^(-s*t),t);
1
gamma_incomplete(-, k s)
2
(%o11) ------------------------
sqrt(%pi) sqrt(s)
(%i12) gamma_expand:true$
(%i13) specint(1/sqrt(%pi*t)*unit_step(t-k)*%e^(-s*t),t);
erfc(sqrt(k) sqrt(s))
(%o13) ---------------------
sqrt(s)
(%i14) expintrep:expintegral_e1$
(%i15) ratsimp(specint(1/(t+a)^2*%e^(-s*t),t));
a s
a s %e expintegral_e1(a s) - 1
(%o15) - ---------------------------------
a
Vereinfacht die Hypergeometrische Funktion zu einfacheren Funktionen, wie Polynome und spezielle Funktionen. Die Hypergeometrische Funktion ist die verallgemeinerte geometrische Reihe und ist wie folgt definiert:
F (a_1, ... a_p; b_1, ..., b_q; z) =
p, q
inf p q k
==== /===\ gamma(k + a ) /===\ gamma(b ) z
\ ! ! i ! ! j
= > ! ! ------------- ! ! ----------------
/ ! ! gamma(a ) ! ! k! gamma(k + b )
==== i = 1 i j = 1 j
k = 0
Die Argumente a und b sind Listen mit den Parametern der
Hypergeometrischen Funktion a_1, …, a_p sowie
b_1, …, b_p. Die Liste a enthält die
p-Elemente a_i und die Liste b enthält die
q-Elemente b_i.
Kann hgfred die Hypergeomentrische Funktion nicht vereinfachen, wird
eine Substantivform %f[p,q]([a], [b], z) zurückgegeben.
Beispiele:
(%i1) assume(not(equal(z,0)));
(%o1) [notequal(z, 0)]
(%i2) hgfred([v+1/2],[2*v+1],2*%i*z);
v/2 %i z
4 bessel_j(v, z) gamma(v + 1) %e
(%o2) ---------------------------------------
v
z
(%i3) hgfred([1,1],[2],z);
log(1 - z)
(%o3) - ----------
z
(%i4) hgfred([a,a+1/2],[3/2],z^2);
1 - 2 a 1 - 2 a
(z + 1) - (1 - z)
(%o4) -------------------------------
2 (1 - 2 a) z
Der Hauptzweig der Lambert W Funktion, die Lösung von
z = W(z) * exp(W(z)).
Die Plasma Dispersion Funktion
nzeta(z) = %i*sqrt(%pi)*exp(-z^2)*(1-erf(-%i*z)).
Gibt realpart(nzeta(z)) zurück.
Gibt imagpart(nzeta(z)) zurück.
Lommels kleine Funktion s[u,v](z). Siehe Gradshteyn & Ryzhik 8.570.1.
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