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Die Gammafunktion und die verwandten Funktionen wie die Beta-, Psi- und die unvollständige Gammafunktion sind definiert in Abramowitz and Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Kapitel 6.
Berechnet die Fakultät für große Gleitkommazahlen. Das Argument x muss eine große Gleitkommazahl sein. Das zweite Argument fpprec ist die Anzahl der Stellen, für die die Fakultät berechnet wird. Das Ergebnis ist eine große Gleitkommazahl.
Für das symbolische Rechnen mit der Fakultät und der Gammafunktion siehe die
entsprechenden Funktionen factorial und gamma. Maxima ruft
intern die Funktion bffac auf, um die Fakultät factorial und
die Gammafunktion gamma für eine große Gleitkommazahl numerisch zu
berechnen.
Siehe auch die Funktion cbffac für die Berechnung der Fakultät für
komplexe große Gleitkommazahlen.
Beispiel:
(%i1) bffac(10.5b0, 25); (%o1) 1.189942308396224845701304b7 (%i2) fpprec:25$ (%i3) 10.5b0!; (%o3) 1.189942308396224845701303b7
bfpsi ist die Polygammafunktion für ein reelles Argument x und
einer ganzzahligen Ordnung n. bfpsi0 ist die Digammafunktion.
bfpsi0(x, fpprec) ist äquivalent zu bfpsi(0, x,
fpprec).
Das Argument x der Funktionen bfpsi und bfpsi0 muss eine
große Gleitkommazahl sein. Das Argument fpprec gibt die Anzahl der
Stellen an, für die die Funktion berechnet wird. Das Ergebnis ist eine
große Gleitkommazahl.
Für das symbolische Rechnen mit der Polygammafunktion siehe die Funktion
psi. Maxima ruft intern die Funktion bfpsi auf, um die
Polygammafunktion für große Gleitkommazahlen numerisch zu berechnen.
Beispiel:
(%i1) bfpsi(0, 1, 25); (%o1) - 5.772156649015328606065121b-1 (%i2) fpprec:25$ (%i3) psi[0](1.0b0); (%o3) - 5.772156649015328606065121b-1
Berechnet die Fakultät für komplexe große Gleitkommazahlen. Das Argument z ist eine komplexe große Gleitkommazahl. Das zweite Argument fpprec ist die Anzahl der Stellen, für die die Fakultät berechnet wird. Das Ergebnis ist eine komplexe große Gleitkommazahl.
Für das symbolische Rechnen mit der Fakultät und der Gammafunktion siehe die
entsprechenden Funktionen factorial und gamma. Maxima ruft
intern die Funktion cbffac auf, um die Fakultät factorial und
die Gammafunktion gamma für eine komplexe große Gleitkommazahl
numerisch zu berechnen.
Siehe auch die Funktion bffac.
Die Definition der Gammafunktion ist (A & S 6.1.1)
inf
/
[ z - 1 - t
gamma(z) = I t %e dt
]
/
0
Die Gammafunktion gamma ist für das numerische und symbolische Rechnen
geeignet. Für positive ganze Zahlen und rationale Zahlen als Argument z
wird die Gammafunktion vereinfacht. Für halbzahlige rationale Zahlen ist das
Ergebnis der Vereinfachung eine rationale Zahl multipliziert mit
sqrt(%pi). Die Vereinfachung für ganze Zahlen wird von der
Optionsvariablen factlim kontrolliert. Für ganze Zahlen, die
größer als factlim sind, kann es zu einem Überlauf bei der
Berechnung der Gammafunktion kommen. Entsprechend wird die Vereinfachung für
rationale Zahlen von der Optionsvariablen gammalim kontrolliert.
Für negative ganze Zahlen ist die Gammafunktion gamma nicht definiert.
Maxima berechnet gamma numerisch für reelle und komplexe Argumente
z. Das Ergebnis ist eine reelle oder komplexe Gleitkommazahl.
gamma hat Spiegelsymmetrie.
Hat die Optionsvariable gamma_expand den Wert true, entwickelt
Maxima die Gammafunktion für Argumente der Form z+n und z-n,
wobei n eine ganze Zahl ist.
Maxima kennt die Ableitung der Gammafunktion gamma.
Siehe auch die Funktion makegamma, um Fakultäten und
Betafunktionen in einem Ausdruck durch die Gammafunktion zu ersetzen.
Die Euler-Mascheroni-Konstante ist %gamma.
Beispiele:
Vereinfachung für ganze Zahlen und rationale Zahlen.
(%i1) map('gamma,[1,2,3,4,5,6,7,8,9]);
(%o1) [1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320]
(%i2) map('gamma,[1/2,3/2,5/2,7/2]);
sqrt(%pi) 3 sqrt(%pi) 15 sqrt(%pi)
(%o2) [sqrt(%pi), ---------, -----------, ------------]
2 4 8
(%i3) map('gamma,[2/3,5/3,7/3]);
2 1
2 gamma(-) 4 gamma(-)
2 3 3
(%o3) [gamma(-), ----------, ----------]
3 3 9
Numerische Berechnung für reelle und komplexe Argumente.
(%i4) map('gamma,[2.5,2.5b0]);
(%o4) [1.329340388179137, 1.3293403881791370205b0]
(%i5) map('gamma,[1.0+%i,1.0b0+%i]);
(%o5) [0.498015668118356 - .1549498283018107 %i,
4.9801566811835604272b-1 - 1.5494982830181068513b-1 %i]
gamma hat Spiegelsymmetrie.
(%i6) declare(z,complex)$ (%i7) conjugate(gamma(z)); (%o7) gamma(conjugate(z))
Maxima entwickelt gamma(z+n) und gamma(z-n), wenn die
Optionsvariable gamma_expand den Wert true hat.
(%i8) gamma_expand:true$ (%i9) [gamma(z+1),gamma(z-1),gamma(z+2)/gamma(z+1)];
gamma(z)
(%o9) [z gamma(z), --------, z + 1]
z - 1
Die Ableitung der Gammafunktion gamma.
(%i10) diff(gamma(z),z);
(%o10) psi (z) gamma(z)
0
Standardwert: false
Kontrolliert die Vereinfachung der Gammafunktion gamma und verwandte
Funktionen wie gamma_incomplete für den Fall, dass das Argument die
Form z+n oder z-n hat. Dabei ist z ist ein beliebiges
Argument und n ist eine ganze Zahl.
Siehe die Funktion gamma für ein Beispiel.
Der Logarithmus der Gammafunktion.
Die unvollständige Gammafunktion (A & S 6.5.2) die definiert ist als
inf
/
[ a - 1 - t
I t %e dt
]
/
z
Regularisierte unvollständige Gammafunktion (A & S 6.5.1)
gamma_incomplete(a, z)
----------------------
gamma(a)
Verallgemeinerte unvollständige Gammafunktion
z2
/
[ a - 1 - t
I t %e dt
]
/
z1
Standardwert: 1000000
Kontrolliert die Vereinfachung der Gammafunktion für rationale Argumente.
Ist der Betrag des Arguments der Gammafunktion größer als gammalim,
wird die Gammafunktion nicht vereinfacht. Damit wird verhindert, dass
die Berechnung der Gammafunktion zu einem Überlauf führt und mit einem
Fehler abbricht.
Siehe auch die Optionsvariable factlim, um die Vereinfachung für
ganze Zahlen zu kontrollieren.
Ersetzt Fakultäten sowie Binomial- und Betafunktionen durch die Gammafunktion
gamma im Ausdruck expr.
Siehe auch die Funktion makefact, um stattdessen Fakultäten in den
Ausdruck einzusetzen.
Beispiel:
(%i1) expr: binomial(a,b)*gamma(b+1)/gamma(a+1);
binomial(a, b) gamma(b + 1)
(%o1) ---------------------------
gamma(a + 1)
(%i2) makegamma(expr);
1
(%o2) ------------------
gamma(- b + a + 1)
Die Betafunktion ist definiert als gamma(a) gamma(b)/gamma(a+b)
(A & S 6.2.1).
Maxima vereinfacht die Betafunktion für positive ganze Zahlen a und
b sowie rationale Zahlen, deren Summe a + b eine ganze
Zahl ist. Hat die Optionsvariable beta_args_sum_to_integer den Wert
true, vereinfacht Maxima die Betafunktion für allgemeine Ausdrücke
a und b, deren Summe eine ganze Zahl ist.
Ist eines der Argumente a oder b Null, ist die Betafunktion nicht definiert.
Im allgemeinen ist die Betafunktion nicht definiert für negative ganze Zahlen als Argument. Ausnahme ist der Fall, dass a = -n, wobei n eine positive ganze Zahl und b eine positive ganze Zahl mit b <= b ist. In diesem Fall kann eine analytische Fortsetzung der Betafunktion definiert werden. Maxima gibt für diesen Fall ein Ergebnis zurück.
Hat die Optionsvariable beta_expand den Wert true, werden
Ausdrücke wie beta(a+n, b und beta(a-n, b) oder
beta(a, b+n und beta(a, b-n) entwickelt.
Maxima berechnet die Betafunktion für reelle und komplexe Gleitkommazahlen
numerisch. Für die numerische Berechnung nutzt Maxima die Funktion
log_gamma:
- log_gamma(b + a) + log_gamma(b) + log_gamma(a)
%e
Maxima kennt Symmetrieeigenschaften der Betafunktion. Die Betafunktion ist symmetrisch und hat Spiegelsymmetrie.
Maxima kennt die Ableitung der Betafunktion nach den Argumenten a und b.
Mit der Funktion makegamma kann die Betafunktion durch Gammafunktionen
ersetzt werden. Entsprechend ersetzt die Funktion makefact
Betafunktionen in einem Ausdruck durch Fakultäten.
Beispiele:
Vereinfachung der Betafunktion, wenn eines der Argumente eine ganze Zahl ist.
(%i1) [beta(2,3),beta(2,1/3),beta(2,a)];
1 9 1
(%o1) [--, -, ---------]
12 4 a (a + 1)
Vereinfachung der Betafunktion für zwei rationale Argumente, die sich zu einer ganzen Zahl summieren.
(%i2) [beta(1/2,5/2),beta(1/3,2/3),beta(1/4,3/4)];
3 %pi 2 %pi
(%o2) [-----, -------, sqrt(2) %pi]
8 sqrt(3)
Hat die Optionsvariable beta_args_sum_to_integer den Wert true,
vereinfacht die Betafunktion für allgemeine Ausdrücke, die sich zu einer
ganzen Zahl summieren.
(%i3) beta_args_sum_to_integer:true$
(%i4) beta(a+1,-a+2);
%pi (a - 1) a
(%o4) ------------------
2 sin(%pi (2 - a))
Die möglichen Ergebnisse, wenn eines der Argumente eine negative ganze Zahl ist.
(%i5) [beta(-3,1),beta(-3,2),beta(-3,3)];
1 1 1
(%o5) [- -, -, - -]
3 6 3
Vereinfachungen, wenn die Optionsvariable beta_expand den Wert
true hat.
(%i6) beta_expand:true$
(%i7) [beta(a+1,b),beta(a-1,b),beta(a+1,b)/beta(a,b+1)];
a beta(a, b) beta(a, b) (b + a - 1) a
(%o7) [------------, ----------------------, -]
b + a a - 1 b
Die Betafunktion ist nicht definiert, wenn eines der Argumente Null ist.
(%i7) beta(0,b); beta: expected nonzero arguments; found 0, b -- an error. To debug this try debugmode(true);
Numerische Berechnung der Betafunktion für reelle und komplexe Argumente.
(%i8) beta(2.5,2.3); (%o8) .08694748611299981 (%i9) beta(2.5,1.4+%i); (%o9) 0.0640144950796695 - .1502078053286415 %i (%i10) beta(2.5b0,2.3b0); (%o10) 8.694748611299969b-2 (%i11) beta(2.5b0,1.4b0+%i); (%o11) 6.401449507966944b-2 - 1.502078053286415b-1 %i
Die Betafunktion ist symmetrisch und hat Spiegelsymmetrie.
(%i14) beta(a,b)-beta(b,a); (%o14) 0 (%i15) declare(a,complex,b,complex)$ (%i16) conjugate(beta(a,b)); (%o16) beta(conjugate(a), conjugate(b))
Ableitung der Betafunktion.
(%i17) diff(beta(a,b),a);
(%o17) - beta(a, b) (psi (b + a) - psi (a))
0 0
Die Definition der unvollständigen Betafunktion ist (A & S 6.6.1)
z
/
[ b - 1 a - 1
I (1 - t) t dt
]
/
0
Diese Definition ist möglich für \(realpart(a)>0\) und \(realpart(b)>0\) sowie \(abs(z)<1\). Für andere Werte kann die unvollständige Betafunktion als eine verallgemeinerte Hypergeometrische Funktion definiert werden:
gamma(a) hypergeometric_generalized([a, 1 - b], [a + 1], z) z
(Siehe https://functions.wolfram.com/ für eine Definition der unvollständigen Betafunktion.)
Für negative ganze Zahlen \(a = -n\) und positive ganze Zahlen \(b = m\) mit \(m <= n\) kann die unvollständige Betafunktion definiert werden als
m - 1 k
==== (1 - m) z
n - 1 \ k
z > -----------
/ k! (n - k)
====
k = 0
Maxima nutzt diese Definition, um die Funktion beta_incomplete für
negative ganzzahlige Argumente a zu vereinfachen.
Für positive ganzzahlige Argumente a vereinfacht beta_incomplete
für jedes Argument b und z. Entsprechend vereinfacht
beta_incomplete für ein positives ganzzahliges Argument b mit
der Ausnahme, dass a eine negative ganze Zahl ist.
Für \(z=0\) und \(realpart(a) > 0\) hat beta_incomplete den
speziellen Wert Null. Für z=1 und \(realpart(b) > 0\) vereinfacht
beta_incomplete zu einem Ausdruck mit der Betafunktion beta(a, b).
Maxima berechnet beta_incomplete numerisch für reelle und komplexe
Gleitkommazahlen als Argumente. Für die numerische Berechnung nutzt Maxima
eine Entwicklung der unvollständigen Betafunktion als Kettenbruch.
Hat die Optionsvariable beta_expand den Wert true, entwickelt
Maxima Ausdrücke der Form beta_incomplete(a+n, b, z) und
beta_incomplete(a-n, b, z), wobei n eine ganze Zahl ist.
Maxima kennt die Ableitungen der unvollständigen Betafunktion nach den Variablen a, b und z und das Integral für die Integrationsvariable z.
Beispiele:
Vereinfachung für eine positive ganze Zahl als Argument a.
(%i1) beta_incomplete(2,b,z);
b
1 - (1 - z) (b z + 1)
(%o1) ----------------------
b (b + 1)
Vereinfachung für eine positive ganze Zahl als Argument b.
(%i2) beta_incomplete(a,2,z);
a
(a (1 - z) + 1) z
(%o2) ------------------
a (a + 1)
Vereinfachung für positive ganzzahlige Argumente a und b.
(%i3) beta_incomplete(3,2,z);
3
(3 (1 - z) + 1) z
(%o3) ------------------
12
a ist eine negative ganze Zahl mit \(b <= (-a)\). Maxima vereinfacht für diesem Fall.
(%i4) beta_incomplete(-3,1,z);
1
(%o4) - ----
3
3 z
Für die speziellen Werte \(z=0\) und \(z=1\) vereinfacht Maxima.
(%i5) assume(a>0,b>0)$ (%i6) beta_incomplete(a,b,0); (%o6) 0 (%i7) beta_incomplete(a,b,1); (%o7) beta(a, b)
Numerische Berechnung für reelle Argumente.
(%i8) beta_incomplete(0.25,0.50,0.9); (%o8) 4.594959440269333 (%i9) fpprec:25$ (%i10) beta_incomplete(0.25,0.50,0.9b0); (%o10) 4.594959440269324086971203b0
Für \(abs(z) > 1\) ist das Ergebnis komplex.
(%i11) beta_incomplete(0.25,0.50,1.7); (%o11) 5.244115108584249 - 1.45518047787844 %i
Numerische Ergebnisse für komplexe Argumente.
(%i14) beta_incomplete(0.25+%i,1.0+%i,1.7+%i); (%o14) 2.726960675662536 - .3831175704269199 %i (%i15) beta_incomplete(1/2,5/4*%i,2.8+%i); (%o15) 13.04649635168716 %i - 5.802067956270001 (%i16)
Entwicklung, wenn beta_expand den Wert true hat.
(%i23) beta_incomplete(a+1,b,z),beta_expand:true;
b a
a beta_incomplete(a, b, z) (1 - z) z
(%o23) -------------------------- - -----------
b + a b + a
(%i24) beta_incomplete(a-1,b,z),beta_expand:true;
b a - 1
beta_incomplete(a, b, z) (- b - a + 1) (1 - z) z
(%o24) -------------------------------------- - ---------------
1 - a 1 - a
Ableitung und Integral der unvollständigen Betafunktion.
(%i34) diff(beta_incomplete(a, b, z), z);
b - 1 a - 1
(%o34) (1 - z) z
(%i35) integrate(beta_incomplete(a, b, z), z);
b a
(1 - z) z
(%o35) ----------- + beta_incomplete(a, b, z) z
b + a
a beta_incomplete(a, b, z)
- --------------------------
b + a
(%i36) factor(diff(%, z));
(%o36) beta_incomplete(a, b, z)
Die regularisierte unvollständige Beta Funktion (A & S 6.6.2), die definiert ist als
beta_incomplete(a, b, z)
------------------------
beta(a, b)
Wie bei der Funktion beta_incomplete ist diese Definition nicht
vollständig. Siehe https://functions.wolfram.com für eine vollständige
Definition der Funktion.
beta_incomplete_regularized vereinfacht, wenn das Argument a oder
b eine positive ganze Zahl ist. Für Argumente z = 0 und
realpart(a) > 0 vereinfacht die Funktion
beta_incomplete_regularized zu 0. Für z = 1 und
realpart(b) > 0 vereinfacht die Funktion
beta_incomplete_regularized zu 1.
Maxima berechnet beta_incomplete_regularized für reelle und komplexe
Gleitkommazahlen als Argumente numerisch.
When beta_expand is true, Maxima expands
beta_incomplete_regularized for arguments \(a+n\) or \(a-n\),
where n is an integer.
Hat die Optionsvariable beta_expand den Wert true, expandiert
Maxima beta_incomplete_regularized für Argumente \(a+n\) oder
\(a-n\), wobei n eine ganze Zahl ist.
Maxima kennt die Ableitung der Funktion beta_incomplete_regularized
nach den Argumenten a, b und z sowie das Integral für das
Argument z.
Beispiele:
Vereinfachung, wenn die Argumente a oder b ganze Zahlen sind.
(%i1) beta_incomplete_regularized(2,b,z);
b
(%o1) 1 - (1 - z) (b z + 1)
(%i2) beta_incomplete_regularized(a,2,z);
a
(%o2) (a (1 - z) + 1) z
(%i3) beta_incomplete_regularized(3,2,z);
3
(%o3) (3 (1 - z) + 1) z
Für die speziellen Werte \(z=0\) und \(z=1\) vereinfacht Maxima.
(%i4) assume(a>0,b>0)$ (%i5) beta_incomplete_regularized(a,b,0); (%o5) 0 (%i6) beta_incomplete_regularized(a,b,1); (%o6) 1
Numerische Berechnung für reelle und komplexe Argumente.
(%i7) beta_incomplete_regularized(0.12,0.43,0.9); (%o7) .9114011367359802 (%i8) fpprec:32$ (%i9) beta_incomplete_regularized(0.12,0.43,0.9b0); (%o9) 9.1140113673598075519946998779975b-1 (%i10) beta_incomplete_regularized(1+%i,3/3,1.5*%i); (%o10) .2865367499935405 %i - .1229959633346841 (%i11) fpprec:20$ (%i12) beta_incomplete_regularized(1+%i,3/3,1.5b0*%i); (%o12) 2.8653674999354036142b-1 %i - 1.2299596333468400163b-1
Expansion, wenn beta_expand den Wert true hat.
(%i13) beta_incomplete_regularized(a+1,b,z);
b a
(1 - z) z
(%o13) beta_incomplete_regularized(a, b, z) - ------------
a beta(a, b)
(%i14) beta_incomplete_regularized(a-1,b,z);
(%o14) beta_incomplete_regularized(a, b, z)
b a - 1
(1 - z) z
- ----------------------
beta(a, b) (b + a - 1)
Die Ableitung und das Integral der Funktion.
(%i15) diff(beta_incomplete_regularized(a,b,z),z);
b - 1 a - 1
(1 - z) z
(%o15) -------------------
beta(a, b)
(%i16) integrate(beta_incomplete_regularized(a,b,z),z);
(%o16) beta_incomplete_regularized(a, b, z) z
b a
(1 - z) z
a (beta_incomplete_regularized(a, b, z) - ------------)
a beta(a, b)
- -------------------------------------------------------
b + a
Die Definition der verallgemeinerten unvollständigen Betafunktion ist
z2
/
[ b - 1 a - 1
I (1 - t) t dt
]
/
z1
Maxima vereinfacht beta_incomplete_refularized für positive ganzzahlige
Argumente a und b.
Ist \(realpart(a)>0\) und \(z1=0\) oder \(z2=0\), vereinfacht Maxima
beta_incomplete_generalized zu der Funktion
beta_incomplete. Ist \(realpart(b)>0\) und \(z1=1\) oder
z2=1, vereinfacht Maxima zu einem Ausdruck mit der Funktion
beta und beta_incomplete.
Maxima berechnet beta_incomplete_regularized numerisch für reelle und
komplexe Gleitkommazahlen in doppelter und beliebiger Genauigkeit.
Hat die Optionsvariable beta_expand den Wert true, dann expandiert
Maxima beta_incomplete_generalized für Argumente \(a+n\) und
\(a-n\), wobei n eine positive ganze Zahl ist.
Maxima kennt die Ableitung der Funktion beta_incomplete_generalized nach
den Variablen a, b, z1 und z2 sowie die Integrale
für die Integrationsvariablen z1 und z2.
Beispiele:
Maxima vereinfacht beta_incomplete_generalized, wenn a und b
positive ganze Zahlen sind.
(%i1) beta_incomplete_generalized(2,b,z1,z2);
b b
(1 - z1) (b z1 + 1) - (1 - z2) (b z2 + 1)
(%o1) -------------------------------------------
b (b + 1)
(%i2) beta_incomplete_generalized(a,2,z1,z2);
a a
(a (1 - z2) + 1) z2 - (a (1 - z1) + 1) z1
(%o2) -------------------------------------------
a (a + 1)
(%i3) beta_incomplete_generalized(3,2,z1,z2);
2 2 2 2
(1 - z1) (3 z1 + 2 z1 + 1) - (1 - z2) (3 z2 + 2 z2 + 1)
(%o3) -----------------------------------------------------------
12
Vereinfachung für die speziellen Werte \(z1=0\), \(z2=0\), \(z1=1\) und \(z2=1\).
(%i4) assume(a > 0, b > 0)$ (%i5) beta_incomplete_generalized(a,b,z1,0); (%o5) - beta_incomplete(a, b, z1) (%i6) beta_incomplete_generalized(a,b,0,z2); (%o6) - beta_incomplete(a, b, z2) (%i7) beta_incomplete_generalized(a,b,z1,1); (%o7) beta(a, b) - beta_incomplete(a, b, z1) (%i8) beta_incomplete_generalized(a,b,1,z2); (%o8) beta_incomplete(a, b, z2) - beta(a, b)
Numerische Berechnung für reelle Argumente in doppelter und beliebiger Gleitkommagenauigkeit.
(%i9) beta_incomplete_generalized(1/2,3/2,0.25,0.31); (%o9) .09638178086368676 (%i10) fpprec:32$ (%i10) beta_incomplete_generalized(1/2,3/2,0.25,0.31b0); (%o10) 9.6381780863686935309170054689964b-2
Numerische Berechnung für komplexe Argumente in doppelter und beliebiger Gleitkommagenauigkeit.
(%i11) beta_incomplete_generalized(1/2+%i,3/2+%i,0.25,0.31); (%o11) - .09625463003205376 %i - .003323847735353769 (%i12) fpprec:20$ (%i13) beta_incomplete_generalized(1/2+%i,3/2+%i,0.25,0.31b0); (%o13) - 9.6254630032054178691b-2 %i - 3.3238477353543591914b-3
Expansion für \(a+n\) oder \(a-n\) und n eine positive ganze Zahl,
wenn beta_expand den Wert true hat.
(%i14) beta_expand:true$ (%i15) beta_incomplete_generalized(a+1,b,z1,z2);
b a b a
(1 - z1) z1 - (1 - z2) z2
(%o15) -----------------------------
b + a
a beta_incomplete_generalized(a, b, z1, z2)
+ -------------------------------------------
b + a
(%i16) beta_incomplete_generalized(a-1,b,z1,z2);
beta_incomplete_generalized(a, b, z1, z2) (- b - a + 1)
(%o16) -------------------------------------------------------
1 - a
b a - 1 b a - 1
(1 - z2) z2 - (1 - z1) z1
- -------------------------------------
1 - a
Ableitung nach der Variablen z1 und die Integrale für die Integrationsvariablen z1 und z2.
(%i17) diff(beta_incomplete_generalized(a,b,z1,z2),z1);
b - 1 a - 1
(%o17) - (1 - z1) z1
(%i18) integrate(beta_incomplete_generalized(a,b,z1,z2),z1);
(%o18) beta_incomplete_generalized(a, b, z1, z2) z1
+ beta_incomplete(a + 1, b, z1)
(%i19) integrate(beta_incomplete_generalized(a,b,z1,z2),z2);
(%o19) beta_incomplete_generalized(a, b, z1, z2) z2
- beta_incomplete(a + 1, b, z2)
Standardwert: false
Hat die Optionsvariable beta_expand den Wert true, werden
beta(a,b) und verwandte Funktionen für Argumente \(a+n\) oder
\(a-n\) entwickelt, wobei n eine positive ganze Zahl ist.
Standardwert: false
Hat die Optionsvariable beta_args_sum_to_integer den Wert true,
vereinfacht Maxima die Funktion beta(a,b), wenn sich die Argumente
a und b zu einer ganzen Zahlen summieren. Siehe auch beta.
Ist definiert als die Ableitung der Funktion log(gamma(x)) der
Ordnung n+1. psi[0](x) ist die erste Ableitung,
psi[1](x) ist die zweite Ableitung, usw.
Maxima kann numerische Werte für reelle Gleitkommazahlen berechnen. Weiterhin
kann Maxima die Funktion psi für rationale Argumente zu exakten Werten
vereinfachen. Die Optionsvariablen maxpsiposint,
maxpsinegint, maxpsifracnum und maxpsifracdenom
kontrollieren, den Wertebereich der Argumente für den die Funktion psi
vereinfacht.
Die Funktion bfpsi des bffac-Package kann numerische Werte der
Funktion psi berechnen.
Standardwert: 20
Die Optionsvariable maxpsiposint kontrolliert die Vereinfachung der
Funktion psi und enthält eine obere positive Schranke. Ist das
Argument x der Funktion psi größer als maxpsiposint,
dann versucht Maxima nicht psi[n](x) zu vereinfachen.
Siehe auch maxpsifracdenom, maxpsifracnum und
maxpsinegint.
Beispiele:
(%o1) 20
(%i2) psi[0](20);
275295799
(%o2) --------- - %gamma
77597520
(%i3) maxpsiposint:10;
(%o3) 10
(%i4) psi[0](20);
(%o4) psi (20)
0
(%i5) psi[0](10);
7129
(%o5) ---- - %gamma
2520
Standardwert: -10
Die Optionsvariable maxpsinegint kontrolliert die Vereinfachung der
Funktion psi und enthält eine untere negative Schranke. Ist das
Argument x der Funktion psi kleiner als maxpsinegint,
dann versucht Maxima nicht psi[n](x) zu vereinfachen.
Siehe auch maxpsifracdenom, maxpsifracnum und
maxpsiposint.
Beispiele:
(%i1) maxpsinegint:-10;
(%o1) - 10
(%i2) psi[0](-3/2);
8
(%o2) - 2 log(2) - %gamma + -
3
(%i3) maxpsinegint:-1;
(%o3) - 1
(%i4) psi[0](-3/2);
3
(%o4) psi (- -)
0 2
(%i5) psi[0](-1/2);
(%o5) - 2 log(2) - %gamma + 2
Standardwert: 6
Die Optionsvariable maxpsifracnum kontrolliert die Vereinfachung der
Funktion psi. Ist das Argument x der Funktion psi eine
rationale Zahl kleiner als eins mit p/q und ist der Zähler p
größer als maxpsifracnum, dann versucht Maxima nicht
psi[n](x) zu vereinfachen.
Siehe auch maxpsifracdenom, maxpsiposint und
maxpsinegint.
Beispiele:
(%i1) maxpsifracnum: 6;
(%o1) 6
(%i2) psi[0](5/6);
3 log(3) sqrt(3) %pi
(%o2) - -------- - 2 log(2) + ----------- - %gamma
2 2
(%i3) maxpsifracnum: 3;
(%o3) 3
(%i4) psi[0](5/6);
5
(%o4) psi (-)
0 6
Standardwert: 6
Die Optionsvariable maxpsifracdenom kontrolliert die Vereinfachung der
Funktion psi. Ist das Argument x der Funktion psi eine
rationale Zahl kleiner als eins mit p/q und ist der Nenner q
größer als maxpsifracdenom, dann versucht Maxima nicht
psi[n](x) zu vereinfachen.
Siehe auch maxpsifracnum, maxpsiposint und
maxpsinegint.
Beispiele:
(%i1) maxpsifracdenom: 6;
(%o1) 6
(%i2) psi[0](1/6);
3 log(3) sqrt(3) %pi
(%o2) - -------- - 2 log(2) - ----------- - %gamma
2 2
(%i3) maxpsifracdenom: 4;
(%o3) 4
(%i4) psi[0](1/6);
1
(%o4) psi (-)
0 6
(%i5) psi[0](1/5);
1
(%o5) psi (-)
0 5
(%i6) psi[0](1/4);
%pi
(%o6) - 3 log(2) - --- - %gamma
2
Ersetzt Binomial-, Gamma- und Beta-Funktionen, die im Ausdruck expr auftreten, durch Fakultäten.
Siehe auch die Funktion makegamma.
Gibt einen numerischen Faktor des Produktes expr zurück. Ist expr
kein Produkt oder enthält das Produkt keinen numerischen Faktor ist die
Rückgabe 1.
Beispiel:
(%i1) gamma (7/2);
15 sqrt(%pi)
(%o1) ------------
8
(%i2) numfactor (%);
15
(%o2) --
8
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