22.2.2 Hankel-Funktionen

Funktion: hankel_1 (v, z) ¶

Die Hankel-Funktion der ersten Art der Ordnung \(v\) mit dem Argument \(z\). Siehe A & S 9.1.3. hankel_1 ist definiert als

      H1 (z) = J (z) + %i Y (z)
        v       v          v

Die Hankel-Funktion hankel_1 ist für das numerische und symbolische Rechnen geeignet.

Maxima berechnet hankel_1 numerisch für reelle und komplexe Gleitkommazahlen als Argumente für \(v\) und \(z\). Mit der Funktion float oder der Optionsvariablen numer kann die numerische Auswertung erzwungen werden, wenn die Argumente Zahlen sind. Die numerische Berechnung für große Gleitkommazahlen ist nicht implementiert. In diesem Fall gibt Maxima eine Substantivform zurück.

Hat die Optionsvariable besselexpand den Wert true, werden Hankel-Funktionen hankel_1 mit einer halbzahligen Ordnung \(v\) als Sinus- und Kosinusfunktionen entwickelt.

Maxima kennt die Ableitung der Hankel-Funktion hankel_1 nach dem zweiten Argument z.

Siehe auch die Funktion hankel_2 sowie die Bessel-Funktionen in Bessel-Funktionen.

Beispiele:

Numerische Berechnung.

(%i1) hankel_1(1, 0.5);
(%o1)       .2422684576748738 - 1.471472392670243 %i
(%i2) hankel_1(1, 0.5+%i);
(%o2)      - .2558287994862166 %i - 0.239575601883016

Für eine komplex Ordnung kann Maxima keinen numerischen Wert berechnet. Das Ergebnis ist eine Substantivform.

(%i3) hankel_1(%i, 0.5+%i);
(%o3)                hankel_1(%i, %i + 0.5)

Entwicklung der Hankel-Funktion hankel_1, wenn die Optionsvariable besselexpand den Wert true hat.

(%i4) hankel_1(1/2, z), besselexpand:true;
               sqrt(2) sin(z) - sqrt(2) %i cos(z)
(%o4)          ----------------------------------
                       sqrt(%pi) sqrt(z)

Ableitung der Hankel-Funktion hankel_1 nach dem Argument z. Die Ableitung nach der Ordnung v ist nicht implementiert. Maxima gibt eine Substantivform zurück.

(%i5)  diff(hankel_1(v,z), z);
             hankel_1(v - 1, z) - hankel_1(v + 1, z)
(%o5)        ---------------------------------------
                                2
(%i6)  diff(hankel_1(v,z), v);
                       d
(%o6)                  -- (hankel_1(v, z))
                       dv

Funktion: hankel_2 (v, z) ¶

Die Hankel-Funktion der zweiten Art der Ordnung \(v\) mit dem Argument \(z\). Siehe A & S 9.1.4. hankel_2 ist definiert als

      H2 (z) = J (z) - %i Y (z)
        v       v          v

Die Hankel-Funktion hankel_2 ist für das numerische und symbolische Rechnen geeignet.

Maxima berechnet hankel_2 numerisch für reelle und komplexe Gleitkommazahlen als Argumente für \(v\) und \(z\). Mit der Funktion float oder der Optionsvariablen numer kann die numerische Auswertung erzwungen werden, wenn die Argumente Zahlen sind. Die numerische Berechnung für große Gleitkommazahlen ist nicht implementiert. In diesem Fall gibt Maxima eine Substantivform zurück.

Hat die Optionsvariable besselexpand den Wert true, werden Hankel-Funktionen hankel_2 mit einer halbzahligen Ordnung \(v\) als Sinus- und Kosinusfunktionen entwickelt.

Maxima kennt die Ableitung der Hankel-Funktion hankel_2 nach dem zweiten Argument z.

Für Beispiele siehe hankel_1. Siehe auch die Bessel-Funktionen in Bessel-Funktionen.