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Löst das Randwertproblem einer Differentialgleichung 2. Ordnung. Das
Argument solution ist eine allgemeine Lösung, wie sie von der Funktion
ode2 zurückgegeben wird. xval1 gibt den Wert der unabhängigen
Variablen im ersten Randpunkt an. Der Randwert wird als ein Ausdruck
x = x1 angegeben. Das Argument yval1 gibt den Wert
der abhängigen Variablen in diesem Punkt an. Der Randwert wird als
y = y1 angegeben. Mit den Argumenten xval2 und
yval2 werden die entsprechenden Werte an einem zweiten Randpunkt
angegeben.
Siehe die Funktion ode2 für Beispiele.
Die Funktion desolve löst lineare Systeme gewöhnlicher
Differentialgleichungen mit Hilfe der Methode der Laplacetransformation. Die
Argumente eqn_i sind die Differentialgleichungen mit den abhängigen
Variablen x_1, …, x_n. Die funktionale Abhängigkeit der
Variablen x_1, …, x_n zum Beispiel von einer Variablen x
muss explizit für die Variablen und ihrer Ableitungen angegeben werden. Zum
Beispiel ist sind die folgenden zwei Gleichungen keine korrekte Definition:
eqn_1: 'diff(f,x,2) = sin(x) + 'diff(g,x); eqn_2: 'diff(f,x) + x^2 - f = 2*'diff(g,x,2);
Eine korrekte Definition der zwei Gleichungen ist
eqn_1: 'diff(f(x),x,2) = sin(x) + 'diff(g(x),x); eqn_2: 'diff(f(x),x) + x^2 - f(x) = 2*'diff(g(x),x,2);
Die Funktion desolve wird dann folgendermaßen aufgerufen
desolve([eqn_1, eqn_2], [f(x),g(x)]);
Sind Anfangswerte für x=0 bekannt, können diese mit der Funktion
atvalue vor dem Aufruf der Funktion desolve angegeben werden.
(%i1) 'diff(f(x),x)='diff(g(x),x)+sin(x);
d d
(%o1) -- (f(x)) = -- (g(x)) + sin(x)
dx dx
(%i2) 'diff(g(x),x,2)='diff(f(x),x)-cos(x);
2
d d
(%o2) --- (g(x)) = -- (f(x)) - cos(x)
2 dx
dx
(%i3) atvalue('diff(g(x),x),x=0,a);
(%o3) a
(%i4) atvalue(f(x),x=0,1);
(%o4) 1
(%i5) desolve([%o1,%o2],[f(x),g(x)]);
x
(%o5) [f(x) = a %e - a + 1, g(x) =
x
cos(x) + a %e - a + g(0) - 1]
(%i6) [%o1,%o2],%o5,diff;
x x x x
(%o6) [a %e = a %e , a %e - cos(x) = a %e - cos(x)]
Kann desolve keine Lösung finden, ist die Rückgabe false.
Löst das Anfangswertproblem für eine Differentialgleichung 1. Ordnung.
Das Argument solution ist eine allgemeine Lösung der
Differentialgleichung, wie sie von der Funktion ode2 zurückgegeben
wird. Mit dem Argument xval wird der Anfangswert der unabhängigen
Variablen in der Form x = x0 angegeben. Mit dem Argument
yval wird der Anfangswert der unabhängigen Variablen in der Form
y = y0 angegeben.
Siehe die Funktion ode2 für ein Beispiel.
Löst das Anfangswertproblem für eine Differentialgleichung 2. Ordnung.
Das Argument solution ist eine allgemeine Lösung der
Differentialgleichung, wie sie von der Funktion ode2 zurückgegeben
wird. Mit dem Argument xval wird der Anfangswert der unabhängigen
Variablen in der Form x = x0 angegeben. Mit dem Argument
yval wird der Anfangswert der abhängigen Variablen in der Form
y = y0 angegeben. Mit dem Argument dval wird der
Anfangswert der ersten Ableitung der abhängigen Variablen nach der
unabhängigen Variablen in der Form diff(y,x) = dy0
angegeben. Dem Symbol diff muss kein Quote-Operator '
vorangestellt werden.
Siehe auch ode2 für ein Beispiel.
Die Funktion ode2 löst eine gewöhnliche Differentialgleichung der
ersten oder zweiten Ordnung. Die Funktion hat drei Argumente: die
Differentialgleichung eqn, die abhängige Variable dvar und die
unabhängige Variable ivar. Ist die Funktion ode2 erfolgreich
wird eine explizite oder implizite Lösung für die abhängige Variable
zurückgegeben. Im Fall einer Differentialgleichung 1. Ordnung wird die
Integrationskonstante mit %c bezeichnet. Für eine
Differentialgleichung 2. Ordnung werden die Integrationskonstanten mit
%k1 und %k2 bezeichnet. Die Abhängigkeit der abhängigen
Variable von der unabhängigen Variablen muss nicht explizit, wie im Fall von
desolve angegeben werden.
Kann ode2 keine Lösung finden, ist die Rückgabe false.
Gegebenenfalls wird eine Fehlermeldung ausgegeben. Folgende Methoden werden
für das Lösen einer Differentialgleichung 1. Ordnung nacheinander
angewendet: linear, separierbar, exakt - wenn notwendig unter Zuhilfenahme
eines Integrationsfaktors, homogen, bernoullische Differentialgleichung und
eine Methode für verallgemeinerte homogene Gleichungen. Für eine
Differentialgleichung 2. Ordnung kommen die folgenden Methoden zur Anwendung:
konstante Koeffizienten, exakt, linear homogen mit nicht-konstanten
Koeffizienten, die zu konstanten Koeffizienten transformiert werden können,
eulersche Differentialgleichung, Variation der Parameter, Reduktion auf eine
Differentialgleichung 1. Ordnung, wenn die Differentialgleichung entweder
frei von der unabhängigen oder der abhängigen Variablen ist.
Im Laufe des Lösungsverfahrens werden zur Information des Nutzers globale
Variablen gesetzt: method bezeichnet die Methode, die von ode2
zum Auffinden der Lösung verwendet wurde. intfactor bezeichnet einen
verwendeten Integrationsfaktor. odeindex bezeichnet den Index der
bernoullischen Gleichung oder der verallgemeinerte Methode für eine homogene
Differentialgleichung. yp bezeichnet eine partikuläre Lösung, wenn
die Variation der Parameter angewendet wird.
Für das Lösen von Anfangswertproblemen einer Differentialgleichung 1. oder
2. Ordnung können die Funktionen ic1 und ic2 verwendet werden.
Ein Randwertproblem für eine Differentialgleichung 2. Ordnung kann mit der
Funktion bc2 gelöst werden.
Beispiele:
(%i1) x^2*'diff(y,x) + 3*y*x = sin(x)/x;
2 dy sin(x)
(%o1) x -- + 3 x y = ------
dx x
(%i2) ode2(%,y,x);
%c - cos(x)
(%o2) y = -----------
3
x
(%i3) ic1(%o2,x=%pi,y=0);
cos(x) + 1
(%o3) y = - ----------
3
x
(%i4) 'diff(y,x,2) + y*'diff(y,x)^3 = 0;
2
d y dy 3
(%o4) --- + y (--) = 0
2 dx
dx
(%i5) ode2(%,y,x);
3
y + 6 %k1 y
(%o5) ------------ = x + %k2
6
(%i6) ratsimp(ic2(%o5,x=0,y=0,'diff(y,x)=2));
3
2 y - 3 y
(%o6) - ---------- = x
6
(%i7) bc2(%o5,x=0,y=1,x=1,y=3);
3
y - 10 y 3
(%o7) --------- = x - -
6 2
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