22.3 Funciones para la resolución numérica de ecuaciones

Función: horner (expr, x) ¶

Función: horner (expr) ¶

Cambia el formato de expr según la regla de Horner utilizando x como variable principal, si ésta se especifica. El argumento x se puede omitir, en cuyo caso se considerará como variable principal la de expr en su formato racional canónico (CRE).

La función horner puede mejorar las estabilidad si expr va a ser numéricamente evaluada. También es útil si Maxima se utiliza para generar programas que serán ejecutados en Fortran. Véase también stringout.

(%i1) expr: 1e-155*x^2 - 5.5*x + 5.2e155;
                           2
(%o1)            1.0E-155 x  - 5.5 x + 5.2E+155
(%i2) expr2: horner (%, x), keepfloat: true;
(%o2)            (1.0E-155 x - 5.5) x + 5.2E+155
(%i3) ev (expr, x=1e155);
Maxima encountered a Lisp error:

 floating point overflow

Automatically continuing.
To reenable the Lisp debugger set *debugger-hook* to nil.
(%i4) ev (expr2, x=1e155);
(%o4)                       7.0E+154

Función: find_root (expr, x, a, b, [abserr, relerr]) ¶

Función: find_root (f, a, b, [abserr, relerr]) ¶

Función: bf_find_root (expr, x, a, b, [abserr, relerr]) ¶

Función: bf_find_root (f, a, b, [abserr, relerr]) ¶

Variable opcional: find_root_error ¶

Variable opcional: find_root_abs ¶

Variable opcional: find_root_rel ¶

Calcula una raíz de la expresión expr o de la función f en el intervalo cerrado [a, b]. La expresión expr puede ser una ecuación, en cuyo caso find_root busca una raíz de lhs(expr) - rhs(expr).

Dado que Maxima puede evaluar expr o f en [a, b], entonces, si expr o f es continua, find_root encuentrará la raíz buscada, o raíces, en caso de existir varias.

La función find_root aplica al principio la búsqueda por bipartición. Si la expresión es lo suficientemente suave, entonces find_root aplicará el método de interpolación lineal.

bf_find_root es una versión de find_root para números reales de precisión arbitraria (bigfloat). La función se evalúa utilizando la aritmética de estos números, devolviendo un resultado numérico de este tipo. En cualquier otro aspecto, bf_find_root es idéntica a find_root, siendo la explicación que sigue igualmente válida para bf_find_root.

La precisión de find_root está controlada por abserr y relerr, que son claves opcionales para find_root. Estas claves toman la forma key=val. Las claves disponibles son:

abserr

Error absoluto deseado de la función en la raíz. El valor por defecto es find_root_abs.

relerr

Error relativo deseado de la raíz. El valor por defecto es find_root_rel.

find_root se detiene cuando la función alcanza un valor menor o igual que abserr, o si las sucesivas aproximaciones x_0, x_1 difieren en no más que relerr * max(abs(x_0), abs(x_1)). Los valores por defecto de find_root_abs y find_root_rel son ambos cero.

find_root espera que la función en cuestión tenga signos diferentes en los extremos del intervalo. Si la función toma valores numéricos en ambos extremos y estos números son del mismo signo, entonces el comportamiento de find_root se controla con find_root_error. Cuando find_root_error vale true, find_root devuelve un mensaje de error; en caso contrario, find_root devuelve el valor de find_root_error. El valor por defecto de find_root_error es true.

Si en algún momento del proceso de búsqueda f alcanza un valor no numérico, find_root devuelve una expresión parcialmente evaluada.

Se ignora el orden de a y b; la región de búsqueda es [min(a, b), max(a, b)].

Ejemplos:

(%i1) f(x) := sin(x) - x/2;
                                        x
(%o1)                  f(x) := sin(x) - -
                                        2
(%i2) find_root (sin(x) - x/2, x, 0.1, %pi);
(%o2)                   1.895494267033981
(%i3) find_root (sin(x) = x/2, x, 0.1, %pi);
(%o3)                   1.895494267033981
(%i4) find_root (f(x), x, 0.1, %pi);
(%o4)                   1.895494267033981
(%i5) find_root (f, 0.1, %pi);
(%o5)                   1.895494267033981
(%i6) find_root (exp(x) = y, x, 0, 100);
                            x
(%o6)           find_root(%e  = y, x, 0.0, 100.0)
(%i7) find_root (exp(x) = y, x, 0, 100), y = 10;
(%o7)                   2.302585092994046
(%i8) log (10.0);
(%o8)                   2.302585092994046
(%i9) fpprec:32;
(%o9)                           32
(%i10) bf_find_root (exp(x) = y, x, 0, 100), y = 10;
(%o10)                  2.3025850929940456840179914546844b0
(%i11) log(10b0);
(%o11)                  2.3025850929940456840179914546844b0

Función: newton (expr, x, x_0, eps) ¶

Devuelve una solución aproximada de expr = 0 obtenida por el método de Newton, considerando expr como una función de una variable, x. La búsqueda comienza con x = x_0 y continúa hasta que se verifique abs(expr) < eps, donde expr se evalúa con el valor actual de x.

La función newton permite que en expr haya variables no definidas, siempre y cuando la condición de terminación abs(expr) < eps pueda reducirse a un valor lógico true o false; de este modo, no es necesario que expr tome un valor numérico.

Ejecútese load("newton1") para cargar esta función.

Véanse también realroots, allroots, find_root y mnewton.

Ejemplos:

(%i1) load ("newton1");
(%o1) /usr/share/maxima/5.10.0cvs/share/numeric/newton1.mac
(%i2) newton (cos (u), u, 1, 1/100);
(%o2)                   1.570675277161251
(%i3) ev (cos (u), u = %);
(%o3)                 1.2104963335033528E-4
(%i4) assume (a > 0);
(%o4)                        [a > 0]
(%i5) newton (x^2 - a^2, x, a/2, a^2/100);
(%o5)                  1.00030487804878 a
(%i6) ev (x^2 - a^2, x = %);
                                           2
(%o6)                6.098490481853958E-4 a