Introducción a distrib (Manual de Maxima 5.47.0)

46.1 Introducción a distrib

El paquete distrib contiene un conjunto de funciones para la realización de cálculos probabilísticos con modelos univariantes, tanto discretos como continuos.

A continuación un breve recordatorio de las deficiones básicas sobre distribuciones de probabilidad.

Sea $f (x)$ la función de densidad de una variable aleatoria $X$ absolutamente continua. La función de distribución se define como

                       x
                      /
                      [
               F(x) = I     f(u) du
                      ]
                      /
                       minf

que es igual a la probabilidad Pr(X <= x).

La media es un parámetro de localización y se define como

                     inf
                    /
                    [
           E[X]  =  I   x f(x) dx
                    ]
                    /
                     minf

La varianza es una medida de dispersión,

                 inf
                /
                [                    2
         V[X] = I     f(x) (x - E[X])  dx
                ]
                /
                 minf

que es un número real positivo. La raíz cuadrada de la varianza es la desviación típica, $D [X] = s q r t (V [X])$ , siendo otra medida de dispersión.

El coeficiente de asimetría es una medida de forma,

                 inf
                /
            1   [                    3
  SK[X] = ----- I     f(x) (x - E[X])  dx
              3 ]
          D[X]  /
                 minf

Y el coeficiente de curtosis mide el apuntamiento de la densidad,

                 inf
                /
            1   [                    4
  KU[X] = ----- I     f(x) (x - E[X])  dx - 3
              4 ]
          D[X]  /
                 minf

Si $X$ es normal, $K U [X] = 0$ . De hecho, tanto la asimetría como la curtosis son parámetros de forma para medir la no normalidad de una distribución.

Si la variable aleatoria $X$ es discreta, su función de densidad, o de probabiliad, $f (x)$ toma valores positivos dentro de un conjunto numerable de valores $x_{i}$ , y cero en cualquier otro lugar. En este caso, la función de distribución es

                       ====
                       \
                F(x) =  >    f(x )
                       /        i
                       ====
                      x <= x
                       i

La media, varianza, desviación típica y los coeficientes de asimetría y curtosis adquieren las formas

                       ====
                       \
                E[X] =  >  x  f(x ) ,
                       /    i    i
                       ====
                        x 
                         i

                ====
                \                     2
        V[X] =   >    f(x ) (x - E[X])  ,
                /        i    i
                ====
                 x
                  i

               D[X] = sqrt(V[X]),

                     ====
              1      \                     3
  SK[X] =  -------    >    f(x ) (x - E[X])  
           D[X]^3    /        i    i
                     ====
                      x
                       i

                     ====
              1      \                     4
  KU[X] =  -------    >    f(x ) (x - E[X])   - 3 ,
           D[X]^4    /        i    i
                     ====
                      x
                       i

respectivamente.

Por favor, consúltese cualquier manual introductorio de probabilidad y estadística para más información sobre toda esta parafernalia matemática.

Se sigue cierta convención a la hora de nombrar las funciones del paquete distrib. Cada nombre tiene dos partes, el primero hace referencia a la función o parámetro que se quiere calcular,

Funciones:
   Función de densidad        (pdf_*)
   Función de distribución    (cdf_*)
   Cuantil                    (quantile_*)
   Media                      (mean_*)
   Varianza                   (var_*)
   Desviación típica          (std_*)
   Coeficiente de asimetría   (skewness_*)
   Coeficiente de curtosis    (kurtosis_*)
   Valor aleatorio            (random_*)

La segunda parte hace referencia explícita al modelo probabilístico,

Distribuciones continuas:
   Normal              (*normal)
   Student             (*student_t)
   Chi^2               (*chi2)
   Chi^2 no central    (*noncentral_chi2)
   F                   (*f)
   Exponencial         (*exp)
   Lognormal           (*lognormal)
   Gamma               (*gamma)
   Beta                (*beta)
   Continua uniforme   (*continuous_uniform)
   Logística           (*logistic)
   Pareto              (*pareto)
   Weibull             (*weibull)
   Rayleigh            (*rayleigh)
   Laplace             (*laplace)
   Cauchy              (*cauchy)
   Gumbel              (*gumbel)

Distribuciones discretas:
   Binomial             (*binomial)
   Poisson              (*poisson)
   Bernoulli            (*bernoulli)
   Geométrica           (*geometric)
   Uniforme discreta    (*discrete_uniform)
   Hipergeométrica      (*hypergeometric)
   Binomial negativa    (*negative_binomial)
   Finita discreta      (*general_finite_discrete)

Por ejemplo, pdf_student_t(x,n) es la función de densidad de la distribución de Student con n grados de libertad, std_pareto(a,b) es la desviación típica de la distribución de Pareto de parámetros a y b, y kurtosis_poisson(m) es el coeficiente de curtosis de la distribución de Poisson de media m.

Para poder hacer uso del paquete distrib es necesario cargarlo primero tecleando

(%i1) load("distrib")$

Para comentarios, errores o sugerencias, por favor contáctese conmigo en ’riotorto AT yahoo DOT com’.