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El operador doble factorial.
Para un número entero, de punto flotante o racional n,
n!! se evaluará como el producto de n (n-2) (n-4) (n-6) ... (n - 2 (k-1))
donde k es igual a entier(n/2), que es, el mayor entero
menor o igual a n/2.
Note que esta definición no coincide con otras definciones publicadas para argumentos, los cuales no son enteros.
Para un entero par (o impar) n, n! se evalua el producto de
todos los enteros pares (o impares) consecutivos desde 2 (o 1) por n inclusive.
Para un argumento n el cual no es un número entero, punto flotante o racional, n!! produce una forma de nombre genfact (n, n/2, 2).
Es el coeficiente binomial x!/(y! (x - y)!).
Si x y y son enteros, entonces se calcula el valor numérico
del coeficiente binomial. Si y o x - y son enteros,
el coeficiente binomial se expresa como un polinomio.
Ejemplos:
(%i1) binomial (11, 7);
(%o1) 330
(%i2) 11! / 7! / (11 - 7)!;
(%o2) 330
(%i3) binomial (x, 7);
(x - 6) (x - 5) (x - 4) (x - 3) (x - 2) (x - 1) x
(%o3) -------------------------------------------------
5040
(%i4) binomial (x + 7, x);
(x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) (x + 6) (x + 7)
(%o4) -------------------------------------------------------
5040
(%i5) binomial (11, y);
(%o5) binomial(11, y)
Trata de combinar los coeficientes de los factoriales de expr con los mismos factoriales, convirtiendo, por ejemplo, (n + 1)*n! en (n + 1)!.
Si la variable sumsplitfact vale false hará que minfactorial se aplique después de factcomb.
Representa la función factorial. Maxima considera factorial (x)
y x! como sinónimos.
Para cualquier número complejo x, excepto para
enteros negativos, x! se define como gamma(x+1).
Para un entero x, x! se reduce al producto de los enteros
desde 1 hasta x inclusive. 0! se reduce a 1.
Para un número real o complejo en formato de coma flotante x,
x! se reduce al valor de gamma(x+1). Cuando
x es igual a n/2, siendo n un entero impar, entonces
x! se reduce a un factor racional multiplicado por sqrt(%pi)
(pues gamma(1/2)) es igual a sqrt(%pi)).
Las variables opcionales factlim y gammalim controlan la
evaluación numérica de factoriales de argumentos enteros y racionales.
Las funciones minfactorial y factcomb simplifican expresiones
que contiene factoriales.
Véanse también factlim, gammalim, minfactorial y
factcomb.
Las funciones gamma, bffac y cbffac son variaciones de
la función matemática gamma. Las funciones bffac y cbffac
son llamadas internamente desde gamma para evaluar la función gamma
de números reales y complejos decimales con precisión de reales grandes
(bigfloats).
Las funciones makegamma substituye a gamma para factoriales
y funciones relacionadas.
Maxima reconoce la derivada de la función factorial y los límites para ciertos valores específicos, tales como los enteros negativos.
La variable opcional factorial_expand controla la simplificación de
expresiones como (n+x)!, para n entero.
Véase también binomial.
Ejemplos:
El factorial de un entero se reduce a un número exacto, a menos que
el argumento sea mayor que factlim. Los factoriales de números
reales o complejos se evalúan como decimales de coma flotante.
(%i1) factlim:10;
(%o1) 10
(%i2) [0!, (7/2)!, 8!, 20!];
105 sqrt(%pi)
(%o2) [1, -------------, 40320, 20!]
16
(%i3) [4.77!, (1.0+%i)!];
(%o3) [81.44668037931197,
.3430658398165454 %i + .6529654964201665]
(%i4) [2.86b0!, (1.0b0+%i)!];
(%o4) [5.046635586910012b0,
3.430658398165454b-1 %i + 6.529654964201667b-1]
El factorial de una constante conocida o de una expresión general no se calcula. Pero puede ser posible reducir el factorial después de evaluado el argumento.
(%i1) [(%i + 1)!, %pi!, %e!, (cos(1) + sin(1))!];
(%o1) [(%i + 1)!, %pi!, %e!, (sin(1) + cos(1))!]
(%i2) ev (%, numer, %enumer);
(%o2) [.3430658398165454 %i + .6529654964201665,
7.188082728976031,
4.260820476357003, 1.227580202486819]
Los factoriales son simplificados o reducidos, no evaluados.
Así x! puede ser reemplazado en una expresión
nominal.
(%i1) '([0!, (7/2)!, 4.77!, 8!, 20!]);
105 sqrt(%pi)
(%o1) [1, -------------, 81.44668037931199, 40320,
16
2432902008176640000]
Maxima reconoce la derivada de la función factorial.
(%i1) diff(x!,x);
(%o1) x! psi (x + 1)
0
La variable opcional factorial_expand controla la simplificación de
expresiones con la función factorial.
(%i1) (n+1)!/n!,factorial_expand:true; (%o1) n + 1
Valor por defecto: -1
La variable factlim especifica el mayor factorial que será expandido automáticamente. Si su valor es -1, entonces se expandirán todos los enteros.
Valor por defecto: false
La variable factorial_expand controla la simplificación
de expresiones tales como (n+1)!, siendo n un entero.
Véase ! para un ejemplo.
Devuelve el factorial generalizado, definido como
x (x-z) (x - 2 z) ... (x - (y - 1) z). Así, para el entero x,
genfact (x, x, 1) = x! y genfact (x, x/2, 2) = x!!.
Busca en expr la presencia de dos factoriales que solo se
diferencien en una unidad; en tal caso, minfactorial
devuelve una expresión simplificada.
(%i1) n!/(n+2)!;
n!
(%o1) --------
(n + 2)!
(%i2) minfactorial (%);
1
(%o2) ---------------
(n + 1) (n + 2)
Valor por defecto: true
Si sumsplitfact vale false,
minfactorial se aplica después de factcomb.
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