15.2 Funciones de Bessel

Función: bessel_j (v, z) ¶

Función de Bessel de primera especie de orden \(v\) y argumento \(z\).

La función bessel_j se define como

                inf
                ====       k  - v - 2 k  v + 2 k
                \     (- 1)  2          z
                 >    --------------------------
                /        k! gamma(v + k + 1)
                ====
                k = 0

aunque la serie infinita no se utiliza en los cálculos.

Función: bessel_y (v, z) ¶

Función de Bessel de segunda especie de orden \(v\) y argumento \(z\).

La función bessel_y se define como

              cos(%pi v) bessel_j(v, z) - bessel_j(-v, z)
              -------------------------------------------
                             sin(%pi v)

si \(v\) no es un entero. En caso de que \(v\) sea un entero \(n\), se calcula el límite cuando \(v\) se aproxima a \(n\).

Función: bessel_i (v, z) ¶

Función modificada de Bessel de primera especie de orden \(v\) y argumento \(z\).

La función bessel_i se define como

                    inf
                    ====   - v - 2 k  v + 2 k
                    \     2          z
                     >    -------------------
                    /     k! gamma(v + k + 1)
                    ====
                    k = 0

aunque la serie infinita no se utiliza en los cálculos.

Función: bessel_k (v, z) ¶

Función modificada de Bessel de segunda especie de orden \(v\) y argumento \(z\).

La función bessel_k se define como

           %pi csc(%pi v) (bessel_i(-v, z) - bessel_i(v, z))
           -------------------------------------------------
                                  2

si \(v\) no es un entero. Si \(v\) es igual al entero \(n\), entonces se calcula el límite cuando \(v\) tiende a \(n\).

Función: hankel_1 (v, z) ¶

Función de Hankel de primera especie de orden \(v\) y argumento \(z\) (A&S 9.1.3). La función hankel_1 se define como

   bessel_j(v,z) + %i * bessel_y(v,z)

Maxima evalúa hankel_1 numéricamente para el orden real \(v\) y el argumento complejo \(z\) en doble precisión (float). La evaluación numérica en gran precisión (bigfloat) y para órdenes complejos no está implementada.

Si besselexpand vale true, hankel_1 se expande en términos de funciones elementales cuando el orden \(v\) es la mitad de un entero impar. Véase al respecto besselexpand.

Maxima reconoce la derivada de hankel_1 con respecto del argumento \(z\).

Ejemplos:

Evaluación numérica:

(%i1) hankel_1(1,0.5);
(%o1)              .2422684576748738 - 1.471472392670243 %i
(%i2) hankel_1(1,0.5+%i);
(%o2)             - .2558287994862166 %i - 0.239575601883016

No se soportan órdenes complejos. Maxima devuelve una forma nominal:

(%i3) hankel_1(%i,0.5+%i);
(%o3)                       hankel_1(%i, %i + 0.5)

Expansión de hankel_1 cuando besselexpand vale true:

(%i4) hankel_1(1/2,z),besselexpand:true;
                      sqrt(2) sin(z) - sqrt(2) %i cos(z)
(%o4)                 ----------------------------------
                              sqrt(%pi) sqrt(z)

Derivada de hankel_1 respecto del argumento \(z\). No está soportada la derivada respecto del orden \(v\). Maxima devuelve una forma nominal:

(%i5) diff(hankel_1(v,z),z);
                    hankel_1(v - 1, z) - hankel_1(v + 1, z)
(%o5)               ---------------------------------------
                                       2
(%i6) diff(hankel_1(v,z),v);
                             d
(%o6)                        -- (hankel_1(v, z))
                             dv

Función: hankel_2 (v, z) ¶

Función de Hankel de segunda especie de orden \(v\) y argumento \(z\) (A&S 9.1.4). La función hankel_2 se define como

   bessel_j(v,z) - %i * bessel_y(v,z)

Maxima evalúa hankel_2 numéricamente para el orden real \(v\) y el argumento complejo \(z\) en doble precisión (float). La evaluación numérica en gran precisión (bigfloat) y para órdenes complejos no está implementada.

Si besselexpand vale true, hankel_2 se expande en términos de funciones elementales cuando el orden \(v\) es la mitad de un entero impar. Véase al respecto besselexpand.

Maxima reconoce la derivada de hankel_2 con respecto del argumento \(z\).

Véanse ejemplos en hankel_1.

Variable optativa: besselexpand ¶

Valor por defecto: false

Controla la expansión de las funciones de Bessel cuando el orden es la mitad de un entero impar. En tal caso, las funciones de Bessel se pueden expandir en términos de otras funciones elementales. Si besselexpand vale true, se expande la función de Bessel.

(%i1) besselexpand: false$
(%i2) bessel_j (3/2, z);
                                    3
(%o2)                      bessel_j(-, z)
                                    2
(%i3) besselexpand: true$
(%i4) bessel_j (3/2, z);
                                        sin(z)   cos(z)
                       sqrt(2) sqrt(z) (------ - ------)
                                           2       z
                                          z
(%o4)                  ---------------------------------
                                   sqrt(%pi)

Función: scaled_bessel_i (v, z) ¶

Es la función de Bessel modificada de primera especie de orden \(v\) y argumento \(z\), es decir \(scaled_bessel_i(v,z) = exp(-abs(z))*bessel_i(v, z)\). Esta función es especialmente útil para calcular \(bessel_i\) cuando \(z\) es grande. Sin embargo, Maxima no sabe mucho más sobre esta función. En cálculos simbólicos, quizás sea preferible trabajar directamente con la expresión exp(-abs(z))*bessel_i(v, z).

Función: scaled_bessel_i0 (z) ¶

Idéntica a scaled_bessel_i(0,z).

Función: scaled_bessel_i1 (z) ¶

Idéntica a scaled_bessel_i(1,z).

Función: %s [u,v] (z) ¶

Función s[u,v](z) de Lommel. Gradshteyn & Ryzhik 8.570.1.