44.1, Introdução a contrib_ode

O resolvedor de equações diferenciais ordinárias (EDO) do MAXIMA, o ode2, resolve EDO’s elementares de primeira e segunda ordem. A função contrib_ode extende ode2 com métodos adicionais para EDO’s lineares e EDO’s não lineares de primeira ordem e EDO’s lineares homogêneas de segunda ordem. O código está ainda em desenvolvimemto e a seqüência de chamada da função pode mudar em futuras versões. Uma vez que o código estiver estabilizado essa função pode ser movida do diretório contrib e integrada dentro do MAXIMA.

Esse pacote deve torna-se disponível para uso com o comando load("contrib_ode") em primeiro lugar.

A convenção de chamada para contrib_ode é idêntica a ode2. Toma três argumentos: uma EDO (somente o lado esquerdo precisa ser fornecido se o lado direito for 0), a variável dependente, e a variável independente. Quando contrib_ode obtiver sucesso, retorna uma lista de soluções.

A forma de retorno da lista de solução difere de ode2. Como equações não lineares podem ter múltiplas soluções, contrib_ode retorna uma lista de soluções. Cada solução pode ter várias formas:

• uma solução explícita para a variável dependente,
• uma solução implícita para a variável dependente,
• uma solução paramétrica em termos de variável %t, ou
• uma transfrmação em outra EDO na variável %u.

%c é usado para representar a constante de integração para equações de primeira ordem. %k1 e %k2 são constantes para equações de segunda ordem. Se contrib_ode não puder obter uma solução por qualquer razão, false é retornado, após talvez mostrar uma mensagem de erro.

Isso é necessário para retornar uma lista de soluções, como mesmo EDO’s de primeira ordem não lineares podem ter soluções multiplas. Por exemplo:

(%i1) load("contrib_ode")$

(%i2) eqn:x*'diff(y,x)^2-(1+x*y)*'diff(y,x)+y=0;

                    dy 2             dy
(%o2)            x (--)  - (x y + 1) -- + y = 0
                    dx               dx
(%i3) contrib_ode(eqn,y,x);

                                             x
(%o3)             [y = log(x) + %c, y = %c %e ]
(%i4) method;

(%o4)                        factor

EDO’s não lineares podem ter soluções singulares sem constantes de integração, como na segunda solução do seguinte exemplo:

(%i1) load("contrib_ode")$

(%i2) eqn:'diff(y,x)^2+x*'diff(y,x)-y=0;

                       dy 2     dy
(%o2)                 (--)  + x -- - y = 0
                       dx       dx
(%i3) contrib_ode(eqn,y,x);

                                           2
                                 2        x
(%o3)              [y = %c x + %c , y = - --]
                                          4
(%i4) method;

(%o4)                       clairault

A seguinte EDO possui duas soluções paramétricas em termos da variável fictícia %t. Nesse caso as soluções paramétricaspodem ser manipuladas para fornecer soluções explícitas.

(%i1) load("contrib_ode")$

(%i2) eqn:'diff(y,x)=(x+y)^2;

                          dy          2
(%o2)                     -- = (y + x)
                          dx
(%i3) contrib_ode(eqn,y,x);

(%o3) [[x = %c - atan(sqrt(%t)), y = - x - sqrt(%t)], 
                     [x = atan(sqrt(%t)) + %c, y = sqrt(%t) - x]]
(%i4) method;

(%o4)                       lagrange

O seguinte exemplo (Kamke 1.112) demonstra uma solução implícita.

(%i1) load("contrib_ode")$

(%i2) assume(x>0,y>0);

(%o2)                    [x > 0, y > 0]
(%i3) eqn:x*'diff(y,x)-x*sqrt(y^2+x^2)-y;

                     dy           2    2
(%o3)              x -- - x sqrt(y  + x ) - y
                     dx
(%i4) contrib_ode(eqn,y,x);

                                  y
(%o4)                  [x - asinh(-) = %c]
                                  x
(%i5) method;

(%o5)                          lie

A seguinte equação de Riccati é transformada em uma EDO linear de segunda ordem na variável %u. MAXIMA não está apto a resolver a nova EDO, de forma que essa nova EDO é retornada sem avaliação.

(%i1) load("contrib_ode")$

(%i2) eqn:x^2*'diff(y,x)=a+b*x^n+c*x^2*y^2;

                    2 dy      2  2      n
(%o2)              x  -- = c x  y  + b x  + a
                      dx
(%i3) contrib_ode(eqn,y,x);

               d%u
               ---                            2
               dx        2     n - 2   a     d %u
(%o3)  [[y = - ----, %u c  (b x      + --) + ---- c = 0]]
               %u c                     2      2
                                       x     dx
(%i4) method;

(%o4)                        riccati

Para EDO’s de primeira ordem contrib_ode chama ode2. ode2 tenta então os seguintes métodos: fatoração, Clairault, Lagrange, Riccati, Abel e os métodos de simetria de Lie. O método de Lie não é tentado sobre equações de Abel se o método de Abel falhar, mas é tendado se o método de Riccati uma EDO de segunda ordem não resolvida.

Para EDO’s de segunda ordem contrib_ode chama ode2 e em seguida odelin.

Rastros extensivos de depuração mensagens são mostradas se o comando put('contrib_ode,true,'verbose) for executado.