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Traduz valores complexos da forma r %e^(%i t) para a forma a + b %i.
load ("fft") chama essa função dentro do Maxima. Veja também fft.
O módulo e a fase, r e t, São tomados de magnitude_array e
phase_array, respectivamente. Os valores originais de arrays de entrada são
substituídos pelas partes real e emaginária, a e b, no retorno. As saídas são
calculadas como
a: r cos (t) b: r sin (t)
Os arrays de entrada devem ter o mesmo tamanho e ser unidimensionais. O tamanho do array não deve ser uma potência de 2.
polartorect é a função inversa de recttopolar.
Traduz valores complexos da forma a + b %i para a forma r %e^(%i t).
load ("fft") chama essa função dentro do Maxima. Veja também fft.
As partes real e imaginária, a e b, são tomadas de real_array e
imaginary_array, respectivamente. Os valores originais dos arrays de entrada
são substituídos pelo módulo e pelo ângulo, r e t, no retorno. As saídas são
calculadas como
r: sqrt (a^2 + b^2) t: atan2 (b, a)
O ângulo calculado encontra-se no intervalo de -%pi a %pi.
Os arrays de entrada devem ter o mesmo tamanho e ser unidimensionais. O tamanho do array não deve ser uma potência de 2.
recttopolar é a função inversa de polartorect.
Transformação rápida inversa discreta de Fourier . load ("fft") chama essa função
dentro do Maxima.
ift realiza a transformação rápida complexa de Fourier sobre
arrays em ponto flutuante unidimensionais. A transformação inversa é definida como
x[j]: sum (y[j] exp (+2 %i %pi j k / n), k, 0, n-1)
Veja fft para maiores detalhes.
Transformação rápidada de Fourier e funções relacionadas. load ("fft")
chama essas funções dentro do Maxima.
fft e ift realiza transformação rápida complexa de Fourier e
a transformação inversa, respectivamente, sobre arrays em ponto flutuante
unidimensionais. O tamanho de imaginary_array deve ser igual ao tamanho de real_array.
fft e ift operam in-loco. Isto é, sobre o retorno de fft ou de ift,
O conteúdo original dos arrays de entrada é substituído pela saída.
A função fillarray pode fazer uma cópia de um array, isso pode
ser necessário.
A transformação discreta de Fourier e sua transformação inversa são definidas
como segue. Tome x sendo os dados originais, com
x[i]: real_array[i] + %i imaginary_array[i]
Tome y sendo os dados transformados. A transformação normal e sua transformação inversa são
y[k]: (1/n) sum (x[j] exp (-2 %i %pi j k / n), j, 0, n-1) x[j]: sum (y[j] exp (+2 %i %pi j k / n), k, 0, n-1)
Arrays adequadas podem ser alocadas pela função array. Por exemplo:
array (my_array, float, n-1)$
declara um array unidimensional com n elementos, indexado de 0 a n-1 inclusive. O número de elementos n deve ser igual a 2^m para algum m.
fft pode ser aplicada a dados reais (todos os arrays imaginários são iguais a zero) para obter
coeficientes seno e cosseno. Após chamar fft, os coeficientes
seno e cosseno, digamos a e b, podem ser calculados como
a[0]: real_array[0] b[0]: 0
e
a[j]: real_array[j] + real_array[n-j] b[j]: imaginary_array[j] - imaginary_array[n-j]
para j variando de 1 a n/2-1, e
a[n/2]: real_array[n/2] b[n/2]: 0
recttopolar traduz valores complexos da forma a + b %i para
a forma r %e^(%i t). Veja recttopolar.
polartorect traduz valores complexos da forma r %e^(%i t)
para a forma a + b %i. Veja polartorect.
demo ("fft") exibe uma demonstração do pacote fft.
Valor padrão: 0
fortindent controla a margem esquerda de indentação de
expressões mostradas pelo comando fortran. 0 fornece indentação
normal (i.e., 6 espaços), e valores positivos farão com que
expressões sejam mostrados mais além para a direita.
Mostra expr como uma declaração Fortran.
A linha de saída é indentada com espaços.
Se a linha for muito longa, fortran imprime linhas de continuação.
fortran mostra o operador de exponenciação ^ como **,
e mostra um número complexo a + b %i na forma (a,b).
expr pode ser uma equação. Nesse caso, fortran mostra uma declaração de
atribuição, atribuindo o primeiro membro (esquerda) da equação ao segundo membro (direita).
Em particular, se o primeiro membro expr é um nome de uma matriz,
então fortran mostra uma declaração de atribuição para cada elemento da matriz.
Se expr não for alguma coisa reconhecida por fortran,
a expressão é mostrada no formato grind sem reclamação.
fortran não conhece listas, arrays ou funções.
fortindent controla o margem esquerda das linhas mostradas.
0 é a margem normal (i.e., indentada 6 espaços). Incrementando fortindent
faz com que expressões sejam mostradas adiante para a direita.
quando fortspaces for true, fortran preenche
cada linha mostrada com espaços em branco até completar 80 columas.
fortran avalia seus argumentos;
colocando um apóstrofo em um argumento evita avaliação.
fortran sempre retorna done.
Exemplos:
(%i1) expr: (a + b)^12$
(%i2) fortran (expr);
(b+a)**12
(%o2) done
(%i3) fortran ('x=expr);
x = (b+a)**12
(%o3) done
(%i4) fortran ('x=expand (expr));
x = b**12+12*a*b**11+66*a**2*b**10+220*a**3*b**9+495*a**4*b**8+792
1 *a**5*b**7+924*a**6*b**6+792*a**7*b**5+495*a**8*b**4+220*a**9*b
2 **3+66*a**10*b**2+12*a**11*b+a**12
(%o4) done
(%i5) fortran ('x=7+5*%i);
x = (7,5)
(%o5) done
(%i6) fortran ('x=[1,2,3,4]);
x = [1,2,3,4]
(%o6) done
(%i7) f(x) := x^2$
(%i8) fortran (f);
f
(%o8) done
Valor padrão: false
Quando fortspaces for true, fortran preenche
cada linha mostrada com espaços em branco até completar 80 columas.
Retorna uma representação rearranjada de expr como
na regra de Horner, usando x como variável principal se isso for especificado.
x pode ser omitido e nesse caso a variável principal da forma de expressão racional
canônica de expr é usada.
horner algumas vezes melhora a estabilidade se expr for
ser numericamente avaliada. Isso também é útil se Maxima é usado para
gerar programas para rodar em Fortran. Veja também stringout.
(%i1) expr: 1e-155*x^2 - 5.5*x + 5.2e155;
2
(%o1) 1.0E-155 x - 5.5 x + 5.2E+155
(%i2) expr2: horner (%, x), keepfloat: true;
(%o2) (1.0E-155 x - 5.5) x + 5.2E+155
(%i3) ev (expr, x=1e155);
Maxima encountered a Lisp error:
floating point overflow
Automatically continuing.
To reenable the Lisp debugger set *debugger-hook* to nil.
(%i4) ev (expr2, x=1e155);
(%o4) 7.0E+154
Encontra a raíz da função f com a variável x percorrendo o intervalo [a, b].
A função deve ter um
sinal diferente em cada ponto final. Se essa condição não for alcançada, a
action of the function is governed by find_root_error. If
find_root_error is true then an error occurs, otherwise the value of
find_root_error is returned (thus for plotting find_root_error might be set to
0.0). De outra forma (dado que Maxima pode avaliar o primeiro argumento
no intervalo especificado, e que o intervalo é contínuo) find_root é
garantido vir para cima com a raíz (ou um deles se existir mais
que uma raíz). A precisão de find_root é governada por
intpolabs e intpolrel os quais devem ser números em ponto flutuante
não negativos. find_root encerrará quando o primeiro argumento avaliar para
alguma coisa menor que ou igual a intpolabs ou se sucessivas
aproximações da raíz diferirem por não mais que intpolrel * <um dos aproximandos>.
O valor padrão de intpolabs e intpolrel são
0.0 de forma que find_root pega como boa uma resposta como for possível com a
precisão aritmética simples que tivermos. O primeiro argumento pode ser uma
equação. A ordem dos dois últimos argumentos é irrelevante. Dessa forma
find_root (sin(x) = x/2, x, %pi, 0.1);
é equivalente a
find_root (sin(x) = x/2, x, 0.1, %pi);
O método usado é uma busca binária no intervalo especificado pelos últimos dois argumentos. Quando o resultado da busca for encontrado a função é fechada o suficiente para ser linear, isso inicia usando interpolação linear.
Examples:
(%i1) f(x) := sin(x) - x/2;
x
(%o1) f(x) := sin(x) - -
2
(%i2) find_root (sin(x) - x/2, x, 0.1, %pi);
(%o2) 1.895494267033981
(%i3) find_root (sin(x) = x/2, x, 0.1, %pi);
(%o3) 1.895494267033981
(%i4) find_root (f(x), x, 0.1, %pi);
(%o4) 1.895494267033981
(%i5) find_root (f, 0.1, %pi);
(%o5) 1.895494267033981
Valor padrão: 0.0
find_root_abs é a precisão do comando find_root. A precisão é
governada por find_root_abs e find_root_rel que devem ser
números não negativos em ponto flutuante. find_root terminará quando o
primeiro argumento avaliar para alguma coisa menor que ou igual a find_root_abs ou se
sucessivos aproximandos para a raíz diferirem por não mais que find_root_rel * <um dos aproximandos>.
Os valores padrão de find_root_abs e
find_root_rel são 0.0 de forma que find_root tome como boa uma resposta que for possível
com a precisão aritmética simples que tivermos.
Valor padrão: true
find_root_error governa o comportamento de find_root.
Quando find_root for chamada, ela determina se a função
a ser resolvida satisfaz ou não a condição que os valores da
função nos pontos finais do intervalo de interpolação são opostos
em sinal. Se eles forem de sinais opostos, a interpolação prossegue.
Se eles forem de mesmo sinal, e find_root_error for true, então um erro é
sinalizado. Se eles forem de mesmo sinal e find_root_error não for true, o
valor de find_root_error é retornado. Dessa forma para montagem de gráfico, find_root_error
pode ser escolhida para 0.0.
Valor padrão: 0.0
find_root_rel é a precisão do comando find_root e é
governada por find_root_abs e find_root_rel que devem ser
números não negativos em ponto flutuante. find_root terminará quando o
primeiro argumento avaliar para alguma coisa menor que ou igual a find_root_abs ou se
sucessivos aproximandos para a raíz diferirem de não mais que find_root_rel * <um dos aproximandos>.
Os valores padrão de find_root_labs e
find_root_rel é 0.0 de forma que find_root toma como boa uma resposta que for possível
com a precisão aritmética simples que tivermos.
Retorna uma solução aproximada de expr = 0 através do método de Newton,
considerando expr como sendo uma função de uma variável, x.
A busca pela solução começa com x = x_0
e prossegue até abs(expr) < eps
(com expr avaliada para o valor corrente de x).
newton permite que variáveis indefinidas apareçam em expr,
contanto que o teste de terminação abs(expr) < eps avalie
para true ou false.
Dessa forma não é necessário que expr avalie para um número.
load("newton1") chama essa função.
Veja também realroots, allroots, find_root, e mnewton.
Exemplos:
(%i1) load ("newton1");
(%o1) /usr/share/maxima/5.10.0cvs/share/numeric/newton1.mac
(%i2) newton (cos (u), u, 1, 1/100);
(%o2) 1.570675277161251
(%i3) ev (cos (u), u = %);
(%o3) 1.2104963335033528E-4
(%i4) assume (a > 0);
(%o4) [a > 0]
(%i5) newton (x^2 - a^2, x, a/2, a^2/100);
(%o5) 1.00030487804878 a
(%i6) ev (x^2 - a^2, x = %);
2
(%o6) 6.098490481853958E-4 a
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