Anterior: Introdução a ctensor, Acima: ctensor [Conteúdo][Índice]
ctensorÉ uma função no pacote ctensor (component tensor)
que inicializa o pacote e permite ao usuário inserir uma métrica
interativamente. Veja ctensor para mais detalhes.
É uma função no pacote ctensor
que calcula o inverso da métrica e prepara o pacote para
cálculos adiante.
Se cframe_flag for false, a função calcula a métrica inversa
ug a partir da matriz lg (definida pelo usuário). O determinante da métrica é
também calculado e armazenado na variável gdet. Mais adiante, o
pacote determina se a métrica é diagonal e escolhe o valor
de diagmetric conforme a determinação. Se o argumento opcional dis
estiver presente e não for false, a saída é mostrada ao usuário pela linha de comando para que ele possa ver
o inverso da métrica.
Se cframe_flag for true, a função espera que o valor de
fri (a matriz moldura inversa) e lfg (a métrica da moldura) sejam
definidas. A partir dessas, a matriz da moldura fr e a métrica da moldura
inversa ufg são calculadas.
Escolhe um sistema de coordenadas predefinido e uma métrica. O argumento sistema_de_coordenadas pode ser um dos seguintes símbolos:
SYMBOL Dim Coordenadas Descrição/comentários -------------------------------------------------------------------------- cartesian2d 2 [x,y] Sist. de coord. cartesianas 2D polar 2 [r,phi] Sist. de coord. Polare elliptic 2 [u,v] confocalelliptic 2 [u,v] bipolar 2 [u,v] parabolic 2 [u,v] cartesian3d 3 [x,y,z] Sist. de coord. cartesianas 3D polarcylindrical 3 [r,theta,z] ellipticcylindrical 3 [u,v,z] Elíptica 2D com Z cilíndrico confocalellipsoidal 3 [u,v,w] bipolarcylindrical 3 [u,v,z] Bipolar 2D com Z cilíndrico paraboliccylindrical 3 [u,v,z] Parabólico 2D com Z cilíndrico paraboloidal 3 [u,v,phi] conical 3 [u,v,w] toroidal 3 [u,v,phi] spherical 3 [r,theta,phi] Sist. de coord. Esféricas oblatespheroidal 3 [u,v,phi] oblatespheroidalsqrt 3 [u,v,phi] prolatespheroidal 3 [u,v,phi] prolatespheroidalsqrt 3 [u,v,phi] ellipsoidal 3 [r,theta,phi] cartesian4d 4 [x,y,z,t] Sist. de coord. 4D spherical4d 4 [r,theta,eta,phi] exteriorschwarzschild 4 [t,r,theta,phi] Métrica de Schwarzschild interiorschwarzschild 4 [t,z,u,v] Métrica de Schwarzschild Interior kerr_newman 4 [t,r,theta,phi] Métrica simétrica axialmente alterada
sistema_de_coordenadas pode também ser uma lista de funções de transformação,
seguida por uma lista contendo as varáveis coordenadas. Por exemplo,
você pode especificar uma métrica esférica como segue:
(%i1) load("ctensor");
(%o1) /share/tensor/ctensor.mac
(%i2) ct_coordsys([r*cos(theta)*cos(phi),r*cos(theta)*sin(phi),
r*sin(theta),[r,theta,phi]]);
(%o2) done
(%i3) lg:trigsimp(lg);
[ 1 0 0 ]
[ ]
[ 2 ]
(%o3) [ 0 r 0 ]
[ ]
[ 2 2 ]
[ 0 0 r cos (theta) ]
(%i4) ct_coords;
(%o4) [r, theta, phi]
(%i5) dim;
(%o5) 3
Funções de transformação podem também serem usadas quando cframe_flag for true:
(%i1) load("ctensor");
(%o1) /share/tensor/ctensor.mac
(%i2) cframe_flag:true;
(%o2) true
(%i3) ct_coordsys([r*cos(theta)*cos(phi),r*cos(theta)*sin(phi),
r*sin(theta),[r,theta,phi]]);
(%o3) done
(%i4) fri;
[ cos(phi) cos(theta) - cos(phi) r sin(theta) - sin(phi) r cos(theta) ]
[ ]
(%o4) [ sin(phi) cos(theta) - sin(phi) r sin(theta) cos(phi) r cos(theta) ]
[ ]
[ sin(theta) r cos(theta) 0 ]
(%i5) cmetric();
(%o5) false
(%i6) lg:trigsimp(lg);
[ 1 0 0 ]
[ ]
[ 2 ]
(%o6) [ 0 r 0 ]
[ ]
[ 2 2 ]
[ 0 0 r cos (theta) ]
O argumento opcional extra_arg pode ser qualquer um dos seguintes:
cylindrical diz a ct_coordsys para anexar uma coordenada adicional cilíndrica.
minkowski diz a ct_coordsys para anexar uma coordenada com assinatura métrica negativa.
all diz a ct_coordsys para chamar cmetric e christof(false) após escolher a métrica.
Se a variável global verbose for escolhida para true, ct_coordsys mostra os valores de dim, ct_coords, e ou lg ou lfg e fri, dependendo do valor de cframe_flag.
Inicializa o pacote ctensor.
A função init_ctensor reinicializa o pacote ctensor. Essa função remove todos os arrays e matrizes usados por ctensor, coloca todos os sinalizadores de volta a seus valores padrão, retorna dim para 4, e retorna a métrica da moldura para a métrica da moldura de Lorentz.
O principal propósito do pacote ctensor é calcular os tensores
do espaç(tempo) curvo, mais notavelmente os tensores usados na relatividade
geral.
Quando uma base métrica é usada, ctensor pode calcular os seguintes tensores:
lg -- ug
\ \
lcs -- mcs -- ric -- uric
\ \ \
\ tracer - ein -- lein
\
riem -- lriem -- weyl
\
uriem
ctensor pode também usar molduras móveis. Quando cframe_flag for
escolhida para true, os seguintes tensores podem ser calculados:
lfg -- ufg
\
fri -- fr -- lcs -- mcs -- lriem -- ric -- uric
\ | \ \ \
lg -- ug | weyl tracer - ein -- lein
|\
| riem
|
\uriem
Uma função no pacote ctensor.
Essa função calcula os símbolos de Christoffel de ambos
os tipos. O argumento dis determina quais resultados são para serem imediatamente
mostrados. Os símbolos de Christoffel de primeiro e de segundo tipo são
armazenados nos arrays lcs[i,j,k] e mcs[i,j,k] respectivamente e
definidos para serem simétricos nos primeiros dois índices. Se o argumento para
christof for lcs ou for mcs então o único valor não nulo de lcs[i,j,k]
ou de mcs[i,j,k], respectivamente, será mostrado. Se o argumento for all
então o único valor não nulo de lcs[i,j,k] e o único valor não nulo de mcs[i,j,k] serão
mostrados. Se o argumento for false então a exibição dos elementos
não acontecerá. Os elementos do array mcs[i,j,k] são definidos de uma tal
maneira que o índice final é contravariante.
Uma função no pacote ctensor.
ricci calcula as componentes contravariantes
(simétricas) ric[i,j] do tensor de Ricci. Se o argumento dis for true,
então as componentes não nulas são mostradas.
Essa função primeiro calcula as
componentes contravariantes ric[i,j] do tensor de Ricci.
Então o tensor misto de Ricci é calculado usando o
tensor métrico contravariante. Se o valor do argumento dis
for true, então essas componentes mistas, uric[i,j] (o índice "i" é
covariante e o índice "j" é contravariante), serão mostradas
diretamente. De outra forma, ricci(false) irá simplesmente calcular as entradas
do array uric[i,j] sem mostrar os resultados.
Retorna a curvatura escalar (obtida através da contração do tensor de Ricci) do Riemaniano multiplicado com a métrica dada.
Uma função no pacote ctensor.
einstein calcula o tensor misto de Einstein
após os símbolos de Christoffel e o tensor de Ricci terem sido obtidos
(com as funções christof e ricci). Se o argumento dis for
true, então os valores não nulos do tensor misto de Einstein ein[i,j]
serão mostrados quando j for o índice contravariante.
A variável rateinstein fará com que a simplificação racional ocorra sobre
esses componentes. Se ratfac for true então as componentes irão
também ser fatoradas.
Tensor covariante de Einstein. leinstein armazena o valor do tensor covariante de Einstein no array lein. O tensor covariante de Einstein é calculado a partir tensor misto de Einstein ein através da multiplicação desse pelo tensor métrico. Se o argumento dis for true, então os valores não nulos do tensor covariante de Einstein são mostrados.
Uma função no pacote ctensor.
riemann calcula o tensor de curvatura de Riemann
a partir da métrica dada e correspondendo aos símbolos de Christoffel. As seguintes
convenções de índice são usadas:
l _l _l _l _m _l _m
R[i,j,k,l] = R = | - | + | | - | |
ijk ij,k ik,j mk ij mj ik
Essa notação é consistente com a notação usada por no pacote
itensor e sua função icurvature.
Se o argumento opcional dis for true,
as componentes não nulas riem[i,j,k,l] serão mostradas.
Como com o tensor de Einstein, vários comutadores escolhidos pelo usuário
controlam a simplificação de componentes do tensor de Riemann.
Se ratriemann for true, então
simplificação racional será feita. Se ratfac
for true então
cada uma das componentes irá também ser fatorada.
Se a variável cframe_flag for false, o tensor de Riemann é
calculado diretamente dos símbolos de Christoffel. Se cframe_flag for
true, o tensor covariante de Riemann é calculado primeiro dos
coeficientes de campo da moldura.
Tensor covariante de Riemann (lriem[]).
Calcula o tensor covariante de Riemann como o array lriem. Se o
argumento dis for true, únicos valores não nulos são mostrados.
Se a variável cframe_flag for true, o tensor covariante
de Riemann é calculado diretamente dos coeficientes de campo da moldura. De outra forma,
o tensor (3,1) de Riemann é calculado primeiro.
Para informação sobre a ordenação de índice, veja riemann.
Calcula as componentes contravariantes do tensor de curvatura
de Riemann como elementos do array uriem[i,j,k,l]. Esses são mostrados
se dis for true.
Compõe o invariante de Kretchmann (kinvariant) obtido através da
contração dos tensores
lriem[i,j,k,l]*uriem[i,j,k,l].
Esse objeto não é automaticamente simplificado devido ao fato de poder ser muito largo.
Calcula o tensor conformal de Weyl. Se o argumento dis for
true, as componentes não nulas weyl[i,j,k,l] irão ser mostradas para o
usuário. De outra forma, essas componentes irão simplesmente serem calculadas e armazenadas.
Se o comutador ratweyl é escolhido para true, então as componentes irão ser
racionalmente simplificadas; se ratfac for true então os resultados irão ser
fatorados também.
O pacote ctensor possui a habilidade para truncar resultados assumindo
que eles são aproximações das séries de Taylor. Esse comportamenteo é controlado através
da variável ctayswitch; quando escolhida para true, ctensor faz uso
internamente da função ctaylor quando simplifica resultados.
A função ctaylor é invocada pelas seguintes funções de ctensor:
Function Comments
---------------------------------
christof() só para mcs
ricci()
uricci()
einstein()
riemann()
weyl()
checkdiv()
A função ctaylor trunca seus argumentos através da conversão
destes para uma série de Taylor usando taylor, e então chamando
ratdisrep. Isso tem efeito combinado de abandonar termos
de ordem mais alta na variável de expansão ctayvar. A ordem
dos termos que podem ser abandonados é definida através de ctaypov; o
ponto em torno do qual a expansão da série é realizada está especificado
em ctaypt.
Como um exemplo, considere uma métrica simples que é uma perturbação da métrica de Minkowski. Sem restrições adicionais, mesmo uma métrica diagonal produz expressões para o tensor de Einstein que são de longe muito complexas:
(%i1) load("ctensor");
(%o1) /share/tensor/ctensor.mac
(%i2) ratfac:true;
(%o2) true
(%i3) derivabbrev:true;
(%o3) true
(%i4) ct_coords:[t,r,theta,phi];
(%o4) [t, r, theta, phi]
(%i5) lg:matrix([-1,0,0,0],[0,1,0,0],[0,0,r^2,0],[0,0,0,r^2*sin(theta)^2]);
[ - 1 0 0 0 ]
[ ]
[ 0 1 0 0 ]
[ ]
(%o5) [ 2 ]
[ 0 0 r 0 ]
[ ]
[ 2 2 ]
[ 0 0 0 r sin (theta) ]
(%i6) h:matrix([h11,0,0,0],[0,h22,0,0],[0,0,h33,0],[0,0,0,h44]);
[ h11 0 0 0 ]
[ ]
[ 0 h22 0 0 ]
(%o6) [ ]
[ 0 0 h33 0 ]
[ ]
[ 0 0 0 h44 ]
(%i7) depends(l,r);
(%o7) [l(r)]
(%i8) lg:lg+l*h;
[ h11 l - 1 0 0 0 ]
[ ]
[ 0 h22 l + 1 0 0 ]
[ ]
(%o8) [ 2 ]
[ 0 0 r + h33 l 0 ]
[ ]
[ 2 2 ]
[ 0 0 0 r sin (theta) + h44 l ]
(%i9) cmetric(false);
(%o9) done
(%i10) einstein(false);
(%o10) done
(%i11) ntermst(ein);
[[1, 1], 62]
[[1, 2], 0]
[[1, 3], 0]
[[1, 4], 0]
[[2, 1], 0]
[[2, 2], 24]
[[2, 3], 0]
[[2, 4], 0]
[[3, 1], 0]
[[3, 2], 0]
[[3, 3], 46]
[[3, 4], 0]
[[4, 1], 0]
[[4, 2], 0]
[[4, 3], 0]
[[4, 4], 46]
(%o12) done
Todavia, se nós recalcularmos esse exemplo como uma aproximação que é
linear na variável l, pegamos expressões muito simples:
(%i14) ctayswitch:true;
(%o14) true
(%i15) ctayvar:l;
(%o15) l
(%i16) ctaypov:1;
(%o16) 1
(%i17) ctaypt:0;
(%o17) 0
(%i18) christof(false);
(%o18) done
(%i19) ricci(false);
(%o19) done
(%i20) einstein(false);
(%o20) done
(%i21) ntermst(ein);
[[1, 1], 6]
[[1, 2], 0]
[[1, 3], 0]
[[1, 4], 0]
[[2, 1], 0]
[[2, 2], 13]
[[2, 3], 2]
[[2, 4], 0]
[[3, 1], 0]
[[3, 2], 2]
[[3, 3], 9]
[[3, 4], 0]
[[4, 1], 0]
[[4, 2], 0]
[[4, 3], 0]
[[4, 4], 9]
(%o21) done
(%i22) ratsimp(ein[1,1]);
2 2 4 2 2
(%o22) - (((h11 h22 - h11 ) (l ) r - 2 h33 l r ) sin (theta)
r r r
2 2 4 2
- 2 h44 l r - h33 h44 (l ) )/(4 r sin (theta))
r r r
Essa compatibilidade pode ser útil, por exemplo, quando trabalhamos no limite do campo fraco longe de uma fonte gravitacional.
Quando a variável cframe_flag for escolhida para true, o pacote ctensor
executa seus cálculos usando uma moldura móvel.
O delimitador da moldura (fb[]).
Calcula o delimitador da moldura conforme a seguinte definição:
c c c d e ifb = ( ifri - ifri ) ifr ifr ab d,e e,d a b
Um novo recurso (a partir de November de 2004) de ctensor é sua habilidade para
calcular a classificação de Petrov de uma métrica espaço tempo tetradimensional.
Para uma demonstração dessa compatibilidade, veja o arquivo
share/tensor/petrov.dem.
Calcula um tetrad nulo de Newman-Penrose (np) e seus índices ascendentes
em contrapartida (npi). Veja petrov para um exemplo.
O tetrad nulo é construído assumindo que uma moldura métrica ortonormal tetradimensional com assinatura métrica (-,+,+,+) está sendo usada. As componentes do tetrad nulo são relacionadas para a matriz moldura inversa como segue:
np = (fri + fri ) / sqrt(2) 1 1 2 np = (fri - fri ) / sqrt(2) 2 1 2 np = (fri + %i fri ) / sqrt(2) 3 3 4 np = (fri - %i fri ) / sqrt(2) 4 3 4
Calcula os cinco coeficientes de Newman-Penrose psi[0]...psi[4].
Se psi for escolhida para true, os coeficientes são mostrados.
Veja petrov para um exemplo.
Esses coeficientes são calculados a partir do tensor de Weyl em uma base de coordenada.
Se uma base de moldura for usada,o tensor de Weyl é primeiro convertido para a base de
coordenada, que pode ser um procedimento computacional expansível. Por essa razão,
em alguns casos pode ser mais vantajoso usar uma base de coordenada em
primeiro lugar antes que o tensor de Weyl seja calculado. Note todavia, que
para a construção de um tetrad nulo de Newman-Penrose é necessário uma base de moldura. Portanto,
uma seqüência de cálculo expressiva pode começar com uma base de moldura, que
é então usada para calcular lg (calculada automaticamente através de cmetric)
e em seguida calcula ug. Nesse ponto, você pode comutar de volta para uma base de coordenada
escolhendo cframe_flag para false antes de começar a calcular os
símbolos de Christoffel. Mudando para uma base de moldura em um estágio posterior pode retornar
resultados inconsistentes, já que você pode terminar com um grande mistura de tensores, alguns
calculados em uma base de moldura, alguns em uma base de coordenada, sem nenhum modo para
distingüir entre os dois tipos.
Calcula a classificação de petrov da métrica caracterizada através de psi[0]...psi[4].
Por exemplo, o seguinte demonstra como obter a classificação de Petrov da métrica de Kerr:
(%i1) load("ctensor");
(%o1) /share/tensor/ctensor.mac
(%i2) (cframe_flag:true,gcd:spmod,ctrgsimp:true,ratfac:true);
(%o2) true
(%i3) ct_coordsys(exteriorschwarzschild,all);
(%o3) done
(%i4) ug:invert(lg)$
(%i5) weyl(false);
(%o5) done
(%i6) nptetrad(true);
(%t6) np =
[ sqrt(r - 2 m) sqrt(r) ]
[ --------------- --------------------- 0 0 ]
[ sqrt(2) sqrt(r) sqrt(2) sqrt(r - 2 m) ]
[ ]
[ sqrt(r - 2 m) sqrt(r) ]
[ --------------- - --------------------- 0 0 ]
[ sqrt(2) sqrt(r) sqrt(2) sqrt(r - 2 m) ]
[ ]
[ r %i r sin(theta) ]
[ 0 0 ------- --------------- ]
[ sqrt(2) sqrt(2) ]
[ ]
[ r %i r sin(theta) ]
[ 0 0 ------- - --------------- ]
[ sqrt(2) sqrt(2) ]
sqrt(r) sqrt(r - 2 m)
(%t7) npi = matrix([- ---------------------, ---------------, 0, 0],
sqrt(2) sqrt(r - 2 m) sqrt(2) sqrt(r)
sqrt(r) sqrt(r - 2 m)
[- ---------------------, - ---------------, 0, 0],
sqrt(2) sqrt(r - 2 m) sqrt(2) sqrt(r)
1 %i
[0, 0, ---------, --------------------],
sqrt(2) r sqrt(2) r sin(theta)
1 %i
[0, 0, ---------, - --------------------])
sqrt(2) r sqrt(2) r sin(theta)
(%o7) done
(%i7) psi(true);
(%t8) psi = 0
0
(%t9) psi = 0
1
m
(%t10) psi = --
2 3
r
(%t11) psi = 0
3
(%t12) psi = 0
4
(%o12) done
(%i12) petrov();
(%o12) D
A função de classificação Petrov é baseada no algorítmo publicado em "Classifying geometries in general relativity: III Classification in practice" por Pollney, Skea, e d’Inverno, Class. Quant. Grav. 17 2885-2902 (2000). Exceto para alguns casos de teste simples, a implementação não está testada até 19 de Dezembro de 2004, e é provável que contenha erros.
ctensor possui a habilidade de calcular e incluir coeficientes de torsão e não
metricidade nos coeficientes de conecção.
Os coeficientes de torsão são calculados a partir de um tensor fornecido pelo usuário
tr, que pode ser um tensor de categoria (2,1). A partir disso, os coeficientes de
torsão kt são calculados de acordo com a seguinte fórmula:
m m m
- g tr - g tr - tr g
im kj jm ki ij km
kt = -------------------------------
ijk 2
k km
kt = g kt
ij ijm
Note que somente o tensor de índice misto é calculao e armazenado no
array kt.
Os coeficientes de não metricidade são calculados a partir do vetor de não metricidade
fornecido pelo usuário nm. A partir disso, os coeficientes de não metricidade
nmc são calculados como segue:
k k km
-nm D - D nm + g nm g
k i j i j m ij
nmc = ------------------------------
ij 2
onde D simboliza o delta de Kronecker.
Quando ctorsion_flag for escolhida para true, os valores de kt
são subtraídos dos coeficientes de conecção indexados mistos calculados através de
christof e armazenados em mcs. Similarmente, se cnonmet_flag
for escolhida para true, os valores de nmc são subtraídos dos
coeficientes de conecção indexados mistos.
Se necessário, christof chama as funções contortion e
nonmetricity com o objetivo de calcular kt e nm.
Calcula os coeficientes de contorsão de categoria (2,1) a partir do tensor de torsão tr.
Calcula o coeficiente de não metricidade de categoria (2,1) a partir do vetor de não metricidade nm.
Uma função no pacote ctensor
que irá executar uma transformação de coordenadas
sobre uma matriz simétrica quadrada arbitrária M. O usuário deve informar as
funçãoes que definem a transformação. (Formalmente chamada transform.)
Retorna uma lista de equações diferenciais únicas (expressões)
correspondendo aos elementos do array quadrado n dimensional
A. Atualmente, n pode ser 2 ou 3. deindex é uma lista global
contendo os índices de A correspondendo a essas únicas
equações diferenciais. Para o tensor de Einstein (ein), que
é um array dimensional, se calculado para a métrica no exemplo
abaixo, findde fornece as seguintes equações diferenciais independentes:
(%i1) load("ctensor");
(%o1) /share/tensor/ctensor.mac
(%i2) derivabbrev:true;
(%o2) true
(%i3) dim:4;
(%o3) 4
(%i4) lg:matrix([a,0,0,0],[0,x^2,0,0],[0,0,x^2*sin(y)^2,0],[0,0,0,-d]);
[ a 0 0 0 ]
[ ]
[ 2 ]
[ 0 x 0 0 ]
(%o4) [ ]
[ 2 2 ]
[ 0 0 x sin (y) 0 ]
[ ]
[ 0 0 0 - d ]
(%i5) depends([a,d],x);
(%o5) [a(x), d(x)]
(%i6) ct_coords:[x,y,z,t];
(%o6) [x, y, z, t]
(%i7) cmetric();
(%o7) done
(%i8) einstein(false);
(%o8) done
(%i9) findde(ein,2);
2
(%o9) [d x - a d + d, 2 a d d x - a (d ) x - a d d x + 2 a d d
x x x x x x x
2 2
- 2 a d , a x + a - a]
x x
(%i10) deindex;
(%o10) [[1, 1], [2, 2], [4, 4]]
Calcula o gradiente covariante de uma função escalar permitindo ao
usuário escolher o nome do vetor correspondente como o exemplo sob
contragrad ilustra.
Calcula o gradiente contravariante de uma função escalar permitindo ao usuário escolher o nome do vetor correspondente como o exemplo abaixo como ilustra a métrica de Schwarzschild:
(%i1) load("ctensor");
(%o1) /share/tensor/ctensor.mac
(%i2) derivabbrev:true;
(%o2) true
(%i3) ct_coordsys(exteriorschwarzschild,all);
(%o3) done
(%i4) depends(f,r);
(%o4) [f(r)]
(%i5) cograd(f,g1);
(%o5) done
(%i6) listarray(g1);
(%o6) [0, f , 0, 0]
r
(%i7) contragrad(f,g2);
(%o7) done
(%i8) listarray(g2);
f r - 2 f m
r r
(%o8) [0, -------------, 0, 0]
r
Calcula o tensor d’Alembertiano da função escalar assim que as dependências tiverem sido declaradas sobre a função. Po exemplo:
(%i1) load("ctensor");
(%o1) /share/tensor/ctensor.mac
(%i2) derivabbrev:true;
(%o2) true
(%i3) ct_coordsys(exteriorschwarzschild,all);
(%o3) done
(%i4) depends(p,r);
(%o4) [p(r)]
(%i5) factor(dscalar(p));
2
p r - 2 m p r + 2 p r - 2 m p
r r r r r r
(%o5) --------------------------------------
2
r
Calcula a divergência covariante do tensor de segunda categoria misto
(cujo primeiro índice deve ser covariante) imprimindo as
correspondentes n componentes do campo do vetor (a divergência) onde
n = dim. Se o argumento para a função for g então a
divergência do tensor de Einstein será formada e pode ser zero.
Adicionalmente, a divergência (vetor) é dada no array chamado div.
Uma função no pacote ctensor.
cgeodesic calcula as equações geodésicas de
movimento para uma dada métrica. Elas são armazenadas no array geod[i]. Se
o argumento dis for true então essas equações são mostradas.
Gera as componentes covariantes das equações de campo de vácuo da
teoria de gravitação de Brans-Dicke. O campo escalar é especificado
através do argumento f, que pode ser um nome de função (com apóstrofo)
com dependências funcionais, e.g., 'p(x).
As componentes de segunda categoria do tensor campo covariante são as componentes de segunda categoria
representadas pelo array bd.
Gera o tensor misto de Euler-Lagrange (equações de campo) para a
densidade invariante de R^2. As equações de campo são componentes de um
array chamado inv1.
*** NOT YET IMPLEMENTED ***
Gera o tensor misto de Euler-Lagrange (equações de campo) para a
densidade invariante de ric[i,j]*uriem[i,j]. As equações de campo são as
componentes de um array chamado inv2.
*** NOT YET IMPLEMENTED ***
Gera as euauações de campo da teoria bimétrica de Rosen. As equações
de campo são as componentes de um array chamado rosen.
Retorna true se M for uma matriz diagonal ou um array (2D).
Retorna true se M for uma matriz simétrica ou um array (2D).
Fornece ao usuário um rápido quadro do "tamanho" do tensor duplamente subscrito (array) f. Imprime uma lista de dois elementos onde o segundo elemento corresponde a N-TERMOS de componentes especificadas através dos primeiros elementos. Nesse caminho, é possível rapidamente encontrar as expressões não nulas e tentar simplificação.
Mostra todos os elementos do tensor ten, como representados por
um array multidimensional. Tensores de categoria 0 e 1, assim como outros tipos de
variáveis, são mostrados com ldisplay. Tensores de categoria 2 são
mostrados como matrizes bidimensionais, enquanto tensores de alta categoria são mostrados
como uma lista de matrizes bidimensionais. Por exemplo, o tensor de Riemann da
métrica de Schwarzschild pode ser visto como:
(%i1) load("ctensor");
(%o1) /share/tensor/ctensor.mac
(%i2) ratfac:true;
(%o2) true
(%i3) ct_coordsys(exteriorschwarzschild,all);
(%o3) done
(%i4) riemann(false);
(%o4) done
(%i5) cdisplay(riem);
[ 0 0 0 0 ]
[ ]
[ 2 ]
[ 3 m (r - 2 m) m 2 m ]
[ 0 - ------------- + -- - ---- 0 0 ]
[ 4 3 4 ]
[ r r r ]
[ ]
riem = [ m (r - 2 m) ]
1, 1 [ 0 0 ----------- 0 ]
[ 4 ]
[ r ]
[ ]
[ m (r - 2 m) ]
[ 0 0 0 ----------- ]
[ 4 ]
[ r ]
[ 2 m (r - 2 m) ]
[ 0 ------------- 0 0 ]
[ 4 ]
[ r ]
riem = [ ]
1, 2 [ 0 0 0 0 ]
[ ]
[ 0 0 0 0 ]
[ ]
[ 0 0 0 0 ]
[ m (r - 2 m) ]
[ 0 0 - ----------- 0 ]
[ 4 ]
[ r ]
riem = [ ]
1, 3 [ 0 0 0 0 ]
[ ]
[ 0 0 0 0 ]
[ ]
[ 0 0 0 0 ]
[ m (r - 2 m) ]
[ 0 0 0 - ----------- ]
[ 4 ]
[ r ]
riem = [ ]
1, 4 [ 0 0 0 0 ]
[ ]
[ 0 0 0 0 ]
[ ]
[ 0 0 0 0 ]
[ 0 0 0 0 ]
[ ]
[ 2 m ]
[ - ------------ 0 0 0 ]
riem = [ 2 ]
2, 1 [ r (r - 2 m) ]
[ ]
[ 0 0 0 0 ]
[ ]
[ 0 0 0 0 ]
[ 2 m ]
[ ------------ 0 0 0 ]
[ 2 ]
[ r (r - 2 m) ]
[ ]
[ 0 0 0 0 ]
[ ]
riem = [ m ]
2, 2 [ 0 0 - ------------ 0 ]
[ 2 ]
[ r (r - 2 m) ]
[ ]
[ m ]
[ 0 0 0 - ------------ ]
[ 2 ]
[ r (r - 2 m) ]
[ 0 0 0 0 ]
[ ]
[ m ]
[ 0 0 ------------ 0 ]
riem = [ 2 ]
2, 3 [ r (r - 2 m) ]
[ ]
[ 0 0 0 0 ]
[ ]
[ 0 0 0 0 ]
[ 0 0 0 0 ]
[ ]
[ m ]
[ 0 0 0 ------------ ]
riem = [ 2 ]
2, 4 [ r (r - 2 m) ]
[ ]
[ 0 0 0 0 ]
[ ]
[ 0 0 0 0 ]
[ 0 0 0 0 ]
[ ]
[ 0 0 0 0 ]
[ ]
riem = [ m ]
3, 1 [ - 0 0 0 ]
[ r ]
[ ]
[ 0 0 0 0 ]
[ 0 0 0 0 ]
[ ]
[ 0 0 0 0 ]
[ ]
riem = [ m ]
3, 2 [ 0 - 0 0 ]
[ r ]
[ ]
[ 0 0 0 0 ]
[ m ]
[ - - 0 0 0 ]
[ r ]
[ ]
[ m ]
[ 0 - - 0 0 ]
riem = [ r ]
3, 3 [ ]
[ 0 0 0 0 ]
[ ]
[ 2 m - r ]
[ 0 0 0 ------- + 1 ]
[ r ]
[ 0 0 0 0 ]
[ ]
[ 0 0 0 0 ]
[ ]
riem = [ 2 m ]
3, 4 [ 0 0 0 - --- ]
[ r ]
[ ]
[ 0 0 0 0 ]
[ 0 0 0 0 ]
[ ]
[ 0 0 0 0 ]
[ ]
riem = [ 0 0 0 0 ]
4, 1 [ ]
[ 2 ]
[ m sin (theta) ]
[ ------------- 0 0 0 ]
[ r ]
[ 0 0 0 0 ]
[ ]
[ 0 0 0 0 ]
[ ]
riem = [ 0 0 0 0 ]
4, 2 [ ]
[ 2 ]
[ m sin (theta) ]
[ 0 ------------- 0 0 ]
[ r ]
[ 0 0 0 0 ]
[ ]
[ 0 0 0 0 ]
[ ]
riem = [ 0 0 0 0 ]
4, 3 [ ]
[ 2 ]
[ 2 m sin (theta) ]
[ 0 0 - --------------- 0 ]
[ r ]
[ 2 ]
[ m sin (theta) ]
[ - ------------- 0 0 0 ]
[ r ]
[ ]
[ 2 ]
[ m sin (theta) ]
riem = [ 0 - ------------- 0 0 ]
4, 4 [ r ]
[ ]
[ 2 ]
[ 2 m sin (theta) ]
[ 0 0 --------------- 0 ]
[ r ]
[ ]
[ 0 0 0 0 ]
(%o5) done
Retorna uma nova lista consistindo de L com o n’ésimo elemento apagado.
ctensorValor padrão: 4
Uma opção no pacote ctensor.
dim é a dimensão de multiplicação com o
padrão 4. O comando dim: n irá escolher a dimensão para qualquer outro
valor n.
Valor padrão: false
Uma opção no pacote ctensor.
Se diagmetric for true rotinas especiais calculam
todos os objetos geométricos (que possuem o tensor métrico explicitamente)
levando em consideração a diagonalidade da métrica. Tempo de
execuçào reduzido irá, com certeza, resultar dessa escolha. Nota: essa opção é escolhida
automaticamente por csetup se uma métrica diagonal for especificada.
Faz com que simplificações trigonométricas sejam usadas quando tensores forem calculados. Atualmente,
ctrgsimp afeta somente cálculos envolvendo uma moldura móvel.
Faz com que cálculos sejam executados relativamente a uma moldura móvel em oposição a
uma métrica holonômica. A moldura é definida através do array da moldura inversa fri
e da métrica da moldura lfg. Para cálculos usando uma moldura Cartesiana,
lfg pode ser a matriz unitária de dimensão apropriada; para
cálculos em uma moldura de Lorentz, lfg pode ter a assinatura
apropriada.
Faz com que o tensor de contorsão seja incluído no cálculo dos
coeficientes de conecção. O tensor de contorsão por si mesmo é calculado através de
contortion a partir do tensor tr fornecido pelo usuário.
Faz com que os coeficientes de não metricidade sejam incluídos no cálculo dos
coeficientes de conecção. Os coeficientes de não metricidade são calculados
a partir do vetor de não metricidade nm fornecido pelo usuário através da função
nonmetricity.
Se escolhida para true, faz com que alguns cálculos de ctensor sejam realizados usando
expansões das séries de Taylor. atualmente, christof, ricci,
uricci, einstein, e weyl levam em conta essa
escolha.
Variável usada pela expansão de séries de Taylor se ctayswitch é escolhida para
true.
Maximo expoente usado em expansões de séries de Taylor quando ctayswitch for
escolhida para true.
Ponto em torno do qual expansões de séries de Taylor sao realizadas quando
ctayswitch for escolhida para true.
O determinante do tensor métrico lg. Calculado através de cmetric quando
cframe_flag for escolhido para false.
Faz com que simplificações racionais sejam aplicadas através de christof.
Valor padrão: true
Se true simplificação racional será
executada sobre as componentes não nulas de tensores de Einstein; se
ratfac for true então as componentes irão também ser fatoradas.
Valor padrão: true
Um dos comutadores que controlam
simplificações dos tensores de Riemann; se true, então simplificações
racionais irão ser concluídas; se ratfac for true então cada uma das
componentes irá também ser fatorada.
Valor padrão: true
Se true, esse comutador faz com que a função de weyl
aplique simplificações racionais aos valores do tensor de Weyl. Se
ratfac for true, então as componentes irão também ser fatoradas.
A moldura métrica covariante. Por padrão, é inicializada para a moldura tetradimensional de Lorentz com assinatura (+,+,+,-). Usada quando cframe_flag for true.
A métrica da moldura inversa. Calculada de lfg quando cmetric for chamada enquanto cframe_flag for escolhida para true.
O tensor de categoria (3,1) de Riemann. Calculado quando a função riemann é invocada. Para informação sobre ordenação de índices, veja a descrição de riemann.
Se cframe_flag for true, riem é calculado a partir do tensor covariante de Riemann lriem.
O tensor covariante de Riemann. Calculado através de lriemann.
O tensor contravariante de Riemann. Calculado através de uriemann.
O tensor misto de Ricci. Calculado através de ricci.
O tensor contravariante de Ricci. Calculado através de uricci.
O tensor métrico. Esse tensor deve ser especificado (como uma dim através da matriz dim)
antes que outro cálculo possa ser executado.
O inverso do tensor métrico. Calculado através de cmetric.
O tensor de Weyl. Calculado através de weyl.
Coeficientes delimitadores da moldura, como calculado através de frame_bracket.
O invariante de Kretchmann. Calculado através de rinvariant.
Um tetrad nulo de Newman-Penrose. Calculado através de nptetrad.
O índice ascendente do tetrad nulo de Newman-Penrose. Calculado através de nptetrad.
Definido como ug.np. O produto np.transpose(npi) é constante:
(%i39) trigsimp(np.transpose(npi));
[ 0 - 1 0 0 ]
[ ]
[ - 1 0 0 0 ]
(%o39) [ ]
[ 0 0 0 1 ]
[ ]
[ 0 0 1 0 ]
Tensor de categoria 3 fornecido pelo usuário representando torsão. Usado por contortion.
O tensor de contorsão, calculado a partir de tr através de contortion.
Vetor de não metrcidade fornecido pelo usuário. Usado por nonmetricity.
Os coeficientes de não metricidade, calculados a partir de nm por nonmetricity.
Variável indicando se o pacote tensor foi inicializado. Escolhida e usada por
csetup, retornada ao seu valor original através de init_ctensor.
Valor padrão: []
Uma opção no pacote ctensor.
ct_coords contém uma lista de coordenadas.
Enquanto normalmente definida quando a função csetup for chamada,
se pode redefinir as coordenadas com a atribuição
ct_coords: [j1, j2, ..., jn] onde os j’s são os novos nomes de coordenadas.
Veja também csetup.
Os seguintes nomes são usados internamente pelo pacote ctensor e
não devem ser redefinidos:
Name Description --------------------------------------- _lg() Avalia paralfgse a moldura métrica for usada, paralgde outra forma _ug() Avalia paraufgse a moldura métrica for usada, paraugde outra forma cleanup() Remove ítens da listadeindexcontract4() Usado por psi() filemet() Usado por csetup() quando lendo a métrica de um arquivo findde1() Usado por findde() findde2() Usado por findde() findde3() Usado por findde() kdelt() Delta de Kronecker (não generalizado) newmet() Usado por csetup() para escolher uma métrica interativamente setflags() Usado por init_ctensor() readvalue() resimp() sermet() Usado por csetup() para informar uma métricacom série de Taylor txyzsum() tmetric() Moldura métrica, usado por cmetric() quando cframe_flag:true triemann() Tensor de Riemann em base de moldura, usado quando cframe_flag:true tricci() Tensor de Ricci em base de moldura, usada quando cframe_flag:true trrc() Coeficientes de rotação de Ricci, usado por christof() yesp()
Em Novembro de 2004, o pacote ctensor foi extensivamente reescrito.
Muitas funções e variáveis foram renomeadas com o objetivo de tornar o
pacote com a versão comercial do Macsyma.
Novo Nome Nome Antigo Descrição -------------------------------------------------------------------- ctaylor() DLGTAYLOR() Expansão da série de Taylor de uma -----------------------------expressão lgeod[] EM Equações geodésicas ein[] G[] Tensor misto de Einstein ric[] LR[] Tensor misto de Ricci ricci() LRICCICOM() Calcula o tensor misto de Ricci ctaypov MINP Maximo expoente em expansões de séries de -----------------------------Taylor cgeodesic() MOTION Calcula as equações geodésicas ct_coords OMEGA Coordenadas métricas ctayvar PARAM Variável de expansão de séries de -----------------------------Taylor lriem[] R[] Tensor covariante de Riemann uriemann() RAISERIEMANN() Calcula o tensor contravariante de -----------------------------Riemann ratriemann RATRIEMAN Simplificação racional do tensor de -----------------------------Riemann uric[] RICCI[] Tensor de Ricci contravariante uricci() RICCICOM() Calcula o tensor de Ricci contravariante cmetric() SETMETRIC() Escolhe a métrica ctaypt TAYPT Ponto para expansões de séries de Taylor ctayswitch TAYSWITCH Escolhe o comutador de séries de Taylor csetup() TSETUP() Inicia sessão interativa de configuração ctransform() TTRANSFORM() Transformação de coordenadas interativa uriem[] UR[] Tensor contravariante de Riemann weyl[] W[] Tensor (3,1) de Weyl
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