Introdução ao Pacote atensor (Manual do Maxima)

29.1, Introdução ao Pacote atensor

atensor é um pacote de manipulção de tensores algébricos. Para usar atensor, digite load("atensor"), seguido por uma chamada à função init_atensor.

A essência de atensor é um conjunto de regras de simplificação para o operador de produto (ponto) não comutativo ("."). atensor reconhece muitos tipos de álgebra; as regras de simplificação correspondentes são ativadas quando a função init_atensor é chamada.

A compatibilidade de atensor pode ser demonstrada pela definição da álgebra de quatérnios como uma álgera-Clifford Cl(0,2) com dois vetores fundamentais. As três unidades quaterniônicas imaginárias fundamentais são então os dois vetores base e seu produto, i.e.:

    i = v     j = v     k = v  .  v
         1         2         1    2

Embora o pacote atensor tenha uma definição interna para a álgebra dos quatérnios, isso não foi usado nesse exemplo, no qual nós nos esforçamos para construir a tabela de multiplicação dos quatérnios como uma matriz:


(%i1) load("atensor");
(%o1)       /share/tensor/atensor.mac
(%i2) init_atensor(clifford,0,0,2);
(%o2)                                done
(%i3) atensimp(v[1].v[1]);
(%o3)                                 - 1
(%i4) atensimp((v[1].v[2]).(v[1].v[2]));
(%o4)                                 - 1
(%i5) q:zeromatrix(4,4);
                                [ 0  0  0  0 ]
                                [            ]
                                [ 0  0  0  0 ]
(%o5)                           [            ]
                                [ 0  0  0  0 ]
                                [            ]
                                [ 0  0  0  0 ]
(%i6) q[1,1]:1;
(%o6)                                  1
(%i7) for i thru adim do q[1,i+1]:q[i+1,1]:v[i];
(%o7)                                done
(%i8) q[1,4]:q[4,1]:v[1].v[2];
(%o8)                               v  .  v
                                     1    2
(%i9) for i from 2 thru 4 do for j from 2 thru 4 do
      q[i,j]:atensimp(q[i,1].q[1,j]);
(%o9)                                done
(%i10) q;
                   [    1        v         v      v  .  v  ]
                   [              1         2      1    2 ]
                   [                                      ]
                   [   v         - 1     v  .  v    - v    ]
                   [    1                 1    2      2   ]
(%o10)             [                                      ]
                   [   v      - v  .  v     - 1      v     ]
                   [    2        1    2              1    ]
                   [                                      ]
                   [ v  .  v      v        - v       - 1   ]
                   [  1    2      2          1            ]

atensor reconhece como bases vetoriais símbolos indexados, onde o símbolo é aquele armazenado em asymbol e o iíndice está entre 1 e adim. Para símbolos indexado, e somente para símbolos indexados, as formas bilineares sf, af, e av são avaliadas. A avaliação substitui os valores de aform[i,j] em lugar de fun(v[i],v[j]) onde v representa o valor de asymbol e fun é ainda af ou sf; ou, isso substitui v[aform[i,j]] em lugar de av(v[i],v[j]).

Desnecessário dizer, as funções sf, af e av podem ser redefinidas.

Quando o pacote atensor é chamado, os seguintes sinalizadores são configurados:

dotscrules:true;
dotdistrib:true;
dotexptsimp:false;

Se você deseja experimentar com uma álgebra não associativa, você pode também considerar a configuração de dotassoc para false. Nesse caso, todavia, atensimp não stará sempre habilitado a obter as simplificações desejadas.