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Die Funktion abs ist die Betragsfunktion und für das numerische und
symbolische Rechnen geeignet. Ist das Argument z eine reelle oder
komplexe Zahl wird der Betrag berechnet. Wenn möglich werden allgemeine
Ausdrücke mit der Betragsfunktion vereinfacht. Maxima kann Ausdrücke mit
der Betragsfunktion integrieren und ableiten sowie Grenzwerte von Ausdrücken
mit der Betragsfunktion ermitteln. Das Paket abs_integrate erweitert
Maximas Möglichkeiten, Integrale mit der Betragsfunktion zu lösen.
Die Betragsfunktion wird automatisch auf die Elemente von Listen und Matrizen
sowie auf die beiden Seiten von Gleichungen angewendet. Siehe
distribute_over.
Siehe die Funktion cabs, um den Betrag eines komplexen Ausdrucks
oder einer Funktion zu berechnen.
Beispiele:
Berechnung des Betrages für reelle und komplexen Zahlen sowie numerische Konstanten und unendliche Größen. Das erste Beispiel zeigt, wie die Betragsfunktion von Maxima auf die Elemente einer Liste angewendet wird.
(%i1) abs([-4, 0, 1, 1+%i]);
(%o1) [4, 0, 1, sqrt(2)]
(%i2) abs((1+%i)*(1-%i));
(%o2) 2
(%i3) abs(%e+%i);
2
(%o3) sqrt(%e + 1)
(%i4) abs([inf, infinity, minf]);
(%o4) [inf, inf, inf]
Vereinfachung von Ausdrücken mit der Betragsfunktion.
(%i5) abs(x^2);
2
(%o5) x
(%i6) abs(x^3);
2
(%o6) x abs(x)
(%i7) abs(abs(x));
(%o7) abs(x)
(%i8) abs(conjugate(x));
(%o8) abs(x)
Ableitung und Integrale mit der Betragsfunktion. Wird das Paket
abs_integrate geladen, können weitere Integrale mit der Betragsfunktion
gelöst werden. Das letzte Beispiel zeigt die Laplacetransformation der
Betragsfunktion. Siehe laplace.
(%i9) diff(x*abs(x),x),expand;
(%o9) 2 abs(x)
(%i10) integrate(abs(x),x);
x abs(x)
(%o10) --------
2
(%i11) integrate(x*abs(x),x);
/
[
(%o11) I x abs(x) dx
]
/
(%i12) load("abs_integrate")$
(%i13) integrate(x*abs(x),x);
2 3
x abs(x) x signum(x)
(%o13) --------- - ------------
2 6
(%i14) integrate(abs(x),x,-2,%pi);
2
%pi
(%o14) ---- + 2
2
(%i15) laplace(abs(x),x,s);
1
(%o15) --
2
s
Die Funktion ceiling ist für das numerische und symbolische Rechnen
geeignet.
Ist das Argument x eine reelle Zahl, gibt ceiling die kleinste
ganze Zahl zurück, die größer oder gleich x ist.
Die Funktion ceiling gibt auch dann einen numerischen Wert zurück, wenn
das Argument ein konstanter Ausdruck ist, wie zum Beispiel 1+%e, der zu
einer reellen Zahl ausgewertet werden kann. In diesem Fall wird der konstante
Ausdruck in eine große Gleitkommazahl umgewandelt, auf die die Funktion
ceiling angewendet wird. Aufgrund von Rundungsfehlern bei der Umwandlung
in Gleitkommazahlen kann es zu Fehlern bei der Berechnung von ceiling
kommen. Um diese zu minimieren, wird die Anzahl der Stellen
fpprec für die Berechnung von ceiling um drei Stellen erhöht.
Ist das Argument expr der Funktion ein komplexer Ausdruck, wird eine Substantivform zurückgegeben.
Wenn möglich werden Ausdrücke mit der Funktion ceiling von Maxima
vereinfacht. Maxima kennt insbesondere Vereinfachungen für den Fall, dass
das Argument der Funktion ceiling ein Ausdruck mit den Funktionen
floor oder round ist. Weiterhin werden für die Vereinfachung
die Aussagen und Fakten der aktiven Kontexte herangezogen. Siehe
Funktionen und Variablen für Fakten.
ceiling wird automatisch auf die Elemente von Listen und Matrizen
sowie auf die beiden Seiten von Gleichungen angewendet. Siehe
distribute_over.
Siehe auch die Funktionen floor und round.
Beispiele:
(%i1) ceiling(ceiling(x)); (%o1) ceiling(x) (%i2) ceiling(floor(x)); (%o2) floor(x) (%i3) declare (n, integer)$ (%i4) ceiling([n, abs(n), max (n, 6)]); (%o4) [n, abs(n), max(6, n)] (%i5) assume (x > 0, x < 1)$ (%i6) ceiling (x); (%o6) 1
Sind die Werte einer Funktion eine Teilmenge der ganzen Zahlen, kann diese als
integervalued deklariert werden. Die Funktionen ceiling und
floor können diese Information nutzen, um Ausdrücke zu vereinfachen.
(%i1) declare (f, integervalued)$ (%i2) floor (f(x)); (%o2) f(x) (%i3) ceiling (f(x) - 1); (%o3) f(x) - 1
Maxima kennt das Integral der Funktion ceiling.
(%i1) integrate(ceiling(x),x);
(- ceiling(x) + 2 x + 1) ceiling(x)
(%o1) -----------------------------------
2
Die Funktion floor ist für das numerische und symbolische Rechnen
geeignet.
Ist das Argument x eine reelle Zahl, gibt floor die größte
ganze Zahl zurück, die kleiner oder gleich x ist.
Die Funktion floor gibt auch dann einen numerischen Wert zurück, wenn
das Argument ein konstanter Ausdruck ist, wie zum Beispiel 1+%e, der zu
einer reellen Zahl ausgewertet werden kann. In diesem Fall wird der konstante
Ausdruck in eine große Gleitkommazahl umgewandelt, auf die die Funktion
floor angewendet wird. Aufgrund von Rundungsfehlern bei der Umwandlung
in Gleitkommazahlen kann es zu Fehlern bei der Berechnung von floor
kommen. Um diese zu minimieren, wird die Anzahl der Stellen
fpprec für die Berechnung von floor um drei Stellen erhöht.
Ist das Argument x der Funktion ein komplexer Ausdruck, wird eine Substantivform zurückgegeben.
Wenn möglich werden Ausdrücke mit der Funktion floor von Maxima
vereinfacht. Maxima kennt insbesondere Vereinfachungen für den Fall, dass
das Argument der Funktion floor ein Ausdruck mit den Funktionen
ceiling oder round ist. Weiterhin werden für die Vereinfachung
die Aussagen und Fakten der aktiven Kontexte herangezogen. Siehe
Funktionen und Variablen für Fakten.
floor wird automatisch auf die Elemente von Listen und Matrizen
sowie auf die beiden Seiten von Gleichungen angewendet. Siehe
distribute_over.
Siehe auch die Funktionen ceiling und round.
Beispiele:
(%i1) floor(ceiling(x)); (%o1) ceiling(x) (%i2) floor(floor(x)); (%o2) floor(x) (%i3) declare(n, integer); (%o3) done (%i4) floor([n, abs(n), min (n, 6)]); (%o4) [n, abs(n), min(6, n)] (%i5) assume(x>0, x<1)$ (%i6) floor(x); (%o6) 0
Sind die Werte einer Funktion eine Teilmenge der ganzen Zahlen, kann diese als
integervalued deklariert werden. Die Funktionen ceiling und
floor können diese Information nutzen, um Ausdrücke zu vereinfachen.
(%i1) declare (f, integervalued)$ (%i2) floor(f(x)); (%o2) f(x) (%i3) ceiling(f(x) - 1); (%o3) f(x) - 1
Maxima kennt das Integral der Funktion floor.
(%i6) integrate(floor(x),x);
(- floor(x) + 2 x - 1) floor(x)
(%o6) -------------------------------
2
Ist das Argument L eine Liste oder Menge, wird die Funktion max auf
die Elemente der Liste oder Menge angewendet und das Ergebnis zurückgegeben.
Ist L keine Liste oder Menge, signalisiert Maxima einen Fehler.
Beispiel:
(%i1) L:[1+%e, %pi, 3]; (%o1) [%e + 1, %pi, 3] (%i1) lmax(L); (%o1) %e + 1
Ist das Argument L eine Liste oder Menge, wird die Funktion min auf
die Elemente der Liste oder Menge angewendet und das Ergebnis zurückgegeben.
Ist L keine Liste oder Menge, signalisiert Maxima einen Fehler.
Beispiel:
(%i1) L:[1+%e, %pi, 3]; (%o1) [%e + 1, %pi, 3] (%i2) lmin(L); (%o2) 3
Sind alle Argumente x_1, …, x_n Zahlen oder konstante
Ausdrücke wie zum Beispiel 1+%e oder sin(1), dann wird der
größte Zahlenwert zurückgegeben. Sind symbolische Variablen oder
allgemeine Ausdrücke unter den Argumenten, gibt Maxima einen vereinfachten
Ausdruck zurück. Die unendliche Größen inf und minf
können als Argument auftreten.
Die Vereinfachung der Funktion max kann kontrolliert werden, in dem mit
der Funktion put dem Symbol trylevel zu der Eigenschaft
maxmin ein Wert zwischen 1 bis 3 gegeben wird. Folgende Werte können
mit der Funktion put gesetzt werden:
put(trylevel, 1, maxmin)trylevel hat den Wert 1. Das ist der Standardwert. Maxima führt
keine besonderen Vereinfachungen aus.
put(trylevel, 2, maxmin)Maxima wendet die Vereinfachung max(e,-e) --> |e| an.
put(trylevel, 3, maxima)Maxima wendet die Vereinfachung max(e,-e) --> |e| an und versucht
Ausdrücke zu eliminieren, die zwischen zwei anderen Argumenten liegen. So
wird zum Beispiel max(x, 2*x, 3*x) zu max(x, 3*x) vereinfacht.
Mit dem Kommando get(trylevel, maxmin) wird der aktuelle Wert für
das Symbol trylevel angezeigt. Siehe die Funktion get.
max berücksichtigt bei der Vereinfachung von Ausdrücken die
Aussagen und Fakten der aktiven Kontexte. Siehe das Kapitel
Funktionen und Variablen für Fakten.
Beispiele:
(%i1) max(1.6, 3/2, 1); (%o1) 1.6 (%i2) max(1.5b0,1.5,3/2);
3
(%o2) -
2
(%i3) max(%e,%pi,1,2,3); (%o3) %pi (%i4) max(1+%e,%pi,1,2,3); (%o4) %e + 1 (%i5) max(minf,inf); (%o5) inf (%i6) assume(a>b); (%o6) [a > b] (%i7) max(a,b); (%o7) a
Sind alle Argumente x_1, …, x_n Zahlen oder konstante
Ausdrücke wie zum Beispiel 1+%e oder sin(1), dann wird der
kleinste Zahlenwert zurückgegeben. Sind symbolische Variablen oder
allgemeine Ausdrücke unter den Argumenten, gibt Maxima einen vereinfachten
Ausdruck zurück. Die unendliche Größen inf und minf
können als Argument auftreten.
Die Vereinfachung der Funktion min kann kontrolliert werden, in dem mit
der Funktion put dem Symbol trylevel zu der Eigenschaft
maxmin ein Wert zwischen 1 bis 3 gegeben wird. Folgende Werte können
mit der Funktion put gesetzt werden:
put(trylevel, 1, maxmin)trylevel hat den Wert 1. Das ist der Standardwert. Maxima führt
keine besonderen Vereinfachungen aus.
put(trylevel, 2, maxmin)Maxima wendet die Vereinfachung min(e,-e) --> |e| an.
put(trylevel, 3, maxima)Maxima wendet die Vereinfachung min(e,-e) --> |e| an und versucht
Ausdrücke zu eliminieren, die zwischen zwei anderen Argumenten liegen. So
wird zum Beispiel min(x, 2*x, 3*x) zu min(x, 3*x) vereinfacht.
Mit dem Kommando get(trylevel, maxmin) wird der aktuelle Wert für
das Symbol trylevel angezeigt. Siehe die Funktion get.
min berücksichtigt bei der Vereinfachung von Ausdrücken die
Aussagen und Fakten der aktiven Kontexte. Siehe das Kapitel
Funktionen und Variablen für Fakten.
Beispiele:
(%i1) min(1.6, 3/2, 1);
(%o1) 1
(%i2) min(1.5b0,1.5,3/2);
3
(%o2) -
2
(%i3) min(%e,%pi,3);
(%o3) %e
(%i4) min(1+%e,%pi,3);
(%o4) 3
(%i5) min(minf,inf);
(%o5) minf
(%i6) assume(a>b);
(%o6) [a > b]
(%i7) min(a,b);
(%o7) b
Die Funktion round ist für das numerische und symbolische Rechnen
geeignet.
Ist das Argument x eine reelle Zahl, gibt round die am
nächsten liegende ganze Zahl zurück. Vielfache von 1/2 werden auf die
nächste gerade ganze Zahl gerundet.
Die Funktion round gibt auch dann einen numerischen Wert zurück, wenn
das Argument ein konstanter Ausdruck ist, wie zum Beispiel 1+%e, der zu
einer reellen Zahl ausgewertet werden kann. In diesem Fall wird der konstante
Ausdruck in eine große Gleitkommazahl umgewandelt, auf die die Funktion
round angewendet wird. Aufgrund von Rundungsfehlern bei der Umwandlung
in Gleitkommazahlen kann es zu Fehlern bei der Berechnung von round
kommen. Um diese zu minimieren, wird die Anzahl der Stellen
fpprec für die Berechnung von round um drei Stellen erhöht.
Ist das Argument x der Funktion ein komplexer Ausdruck, wird eine Substantivform zurückgegeben.
Wenn möglich werden Ausdrücke mit der Funktion round von Maxima
vereinfacht. Maxima kennt insbesondere Vereinfachungen für den Fall, dass
das Argument der Funktion round ein Ausdruck mit den Funktionen
ceiling oder floor ist. Weiterhin werden für die Vereinfachung
die Aussagen und Fakten der aktiven Kontexte herangezogen. Siehe
Funktionen und Variablen für Fakten.
round wird automatisch auf die Elemente von Listen und Matrizen
sowie auf die beiden Seiten von Gleichungen angewendet. Siehe
distribute_over.
Siehe auch die Funktionen ceiling und floor.
Beispiele:
(%i1) round(floor(x)); (%o1) floor(x) (%i2) round(round(x)); (%o2) round(x) (%i3) declare(n, integer); (%o3) done (%i4) round([n, abs(n), min(n,6)]); (%o4) [n, abs(n), min(6, n)]
Sind die Werte einer Funktion eine Teilmenge der ganzen Zahlen, kann diese als
integervalued deklariert werden. Die Funktion round kann diese
Information nutzen, um Ausdrücke zu vereinfachen.
(%i1) declare(f, integervalued); (%o1) done (%i2) round(f(x)); (%o2) f(x) (%i3) round(f(x) - 1); (%o3) f(x) - 1
Die Signumfunktion signum ist für das numerische und symbolische
Rechnen geeignet. Ist das Argument z eine Zahl, ist das Ergebnis 0, 1
oder -1, wenn die Zahl Null, positiv oder negativ ist. Das Argument kann auch
ein konstanter Ausdruck wie %pi oder 1+%e sein. Ist das Argument
z eine komplexe Zahl, vereinfacht die der Ausdruck signum(z) zu
z/abs(z).
Ist das Argument z keine Zahl oder kein konstanter Ausdruck, versucht
Maxima den Ausdruck zu vereinfachen. Maxima kann die Funktion signum
differenzieren. Wird das Paket abs_integrate geladen, kann Maxima
Integrale mit der Funktion signum lösen.
signum wird automatisch auf die Elemente von Listen und Matrizen
sowie auf die beiden Seiten von Gleichungen angewendet. Siehe
distribute_over.
Beispiele:
Ergebnisse für verschiedene Zahlen und konstante Ausdrücke. Die Beispiele
zeigen, dass das Ergebnis der Signumfunktion den Typ der Zahl erhält. Die
unendlichen Größen minf und inf können als Argument
auftreten.
(%i1) signum([-1.5, 0, 0.0, 1.5, 1.5b0, %e, sin(1), cos(4)]);
(%o1) [- 1.0, 0, 0.0, 1.0, 1.0b0, 1, 1, - 1]
(%i2) signum(1+%i);
%i 1
(%o2) ------- + -------
sqrt(2) sqrt(2)
(%i3) signum([minf,inf]);
(%o3) [- 1, 1]
Vereinfachungen der Signumfunktion.
(%i3) signum(x*y); (%o3) signum(x) signum(y) (%i4) signum(-x); (%o4) - signum(x)
Wird das Paket abs_integrate geladen, kann Maxima Integrale mit der Signumfunktion lösen. Ausdrücke mit der Signumfunktion können differenziert werden.
(%i5) load("abs_integrate")$
(%i6) integrate(signum(x),x);
(%o6) abs(x)
(%i7) integrate(sin(x)*signum(x),x);
(%o7) (1 - cos(x)) signum(x)
(%i7) diff(%,x);
(%o7) signum(x) sin(x)
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