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Hace el cambio de variable dado por f(x,y) = 0 en todas las integrales que aparecen en expr con la integración respecto de x. La nueva variable será y.
(%i1) assume(a > 0)$
(%i2) 'integrate (%e**sqrt(a*y), y, 0, 4);
4
/
[ sqrt(a) sqrt(y)
(%o2) I %e dy
]
/
0
(%i3) changevar (%, y-z^2/a, z, y);
0
/
[ abs(z)
2 I z %e dz
]
/
- 2 sqrt(a)
(%o3) - ----------------------------
a
Si una expresión contiene formas nominales, como aquélla en la que aparece 'integrate en el ejemplo, podrá ser evaluada por ev si se utiliza el término nouns. Por ejemplo, la expresión devuelta por changevar se puede evaluar haciendo ev (%o3, nouns).
La función changevar también se puede utilizar para cambiar los índices de una suma o producto. Sin embargo, debe tenerse en cuenta que cuando se realiza un cambio en una suma o producto, el mismo debe expresarse en términos de sumas, como i = j+ ..., no como una función de mayor grado.
Ejemplo:
(%i4) sum (a[i]*x^(i-2), i, 0, inf);
inf
====
\ i - 2
(%o4) > a x
/ i
====
i = 0
(%i5) changevar (%, i-2-n, n, i);
inf
====
\ n
(%o5) > a x
/ n + 2
====
n = - 2
Es una rutina para integrales dobles escrita en lenguaje Maxima y posteriormente traducida y compilada a código máquina. La instrucción load ("dblint") carga esta función. Utiliza el método de Simpson en las dos direcciones x e y para calcular
/b /s(x) | | | | f(x,y) dy dx | | /a /r(x)
La función f debe ser una función traducida o compilada de dos variables, a la vez que r y s deben ser cada una de ellas una función traducida o compilada de una variable, mientras que a y b deben ser números en coma flotante. La rutina tiene dos variables globales que determinan el número de divisiones de los intervalos x e y: dblint_x y dblint_y, ambos con un valor por defecto de 10, pero que pueden cambiarse de forma independiente a otros valores enteros (hay 2*dblint_x+1 puntos a calcular en la dirección x y 2*dblint_y+1 en la dirección y). La rutina subdivide el eje X y luego para cada valor de X calcula primero r(x) y s(x); entonces se subdivide el eje Y entre r(x) y s(x), evaluándose la integral a lo largo del eje Y aplicando la regla de Simpson; a continuación, se evalúa la integral a lo largo del eje X utilizando también la regla de Simpson tomando como valores de función las integrales sobre Y. Este procedimiento puede ser numéricamente inestable por múltiples motivos, pero es razonablemente rápido: evítese su uso con funciones con grandes oscilaciones o que tengan singularidades. Las integrales del eje Y dependen de la proximidad de los límites r(x) y s(x), de manera que si la distancia s(x) - r(x) varía rápidamente con X, puede dar lugar errores importantes debido a truncamientos de diferente amplitud en las integrales de Y. Se puede aumentar dblint_x y dblint_y al objeto de mejorar el recubrimiento de la región de integración, pero a costa del tiempo de cómputo. Es necesario que las funciones f, r y s estén traducidas o compiladas antes de utilizar dblint, lo cual redundará en una mejora del tiempo de ejecución de varios órdenes de magnitud respecto de la ejecución de código interpretado.
Intenta calcular una integral definida. La función defint es invocada por integrate cuando se especifican los límites de integración, por ejemplo integrate (expr, x, a, b). Así, desde el punto de vista del usuario, es suficiente con utilizar integrate.
La función defint devuelve una expresión simbólica, bien sea el resultado calculado o la forma nominal.
Véase quad_qag y sus funciones relacionadas para aproximaciones numéricas de integrales definidas.
Valor por defecto: true
Si erfflag vale false, la función risch no introduce la función erf en el resultado si no había ninguna en el integrando.
Calcula la transformada inversa de Laplace de expr con respecto de s y parámetro t. El argumento expr debe ser una fracción de polinomios cuyo denominador tenga sólo factores lineales y cuadráticos. Utilizando las funciones laplace y ilt, junto con las funciones solve o linsolve, el usuario podrá resolver ciertas ecuaciones integrales.
(%i1) 'integrate (sinh(a*x)*f(t-x), x, 0, t) + b*f(t) = t**2;
t
/
[ 2
(%o1) I f(t - x) sinh(a x) dx + b f(t) = t
]
/
0
(%i2) laplace (%, t, s);
a laplace(f(t), t, s) 2
(%o2) b laplace(f(t), t, s) + --------------------- = --
2 2 3
s - a s
(%i3) linsolve ([%], ['laplace(f(t), t, s)]);
2 2
2 s - 2 a
(%o3) [laplace(f(t), t, s) = --------------------]
5 2 3
b s + (a - a b) s
(%i4) ilt (rhs (first (%)), s, t);
Is a b (a b - 1) positive, negative, or zero?
pos;
sqrt(a b (a b - 1)) t
2 cosh(---------------------) 2
b a t
(%o4) - ----------------------------- + -------
3 2 2 a b - 1
a b - 2 a b + a
2
+ ------------------
3 2 2
a b - 2 a b + a
Valor por defecto: true
Cuando vale true, la integración definida trata de encontrar polos
en el integrando dentro del intervalo de integración. Si encuentra
alguno, entonces la integral se calcula como valor principal. Si intanalysis
vale false, entonces no se realiza esta comprobación y la integración se
realiza sin tener en cuenta los polos.
Véase también ldefint.
Ejemplos:
Maxima puede calcular las siguientes integrales cuando a intanalysis
se le asigna el valor false:
(%i1) integrate(1/(sqrt(x)+1),x,0,1);
1
/
[ 1
(%o1) I ----------- dx
] sqrt(x) + 1
/
0
(%i2) integrate(1/(sqrt(x)+1),x,0,1),intanalysis:false;
(%o2) 2 - 2 log(2)
(%i3) integrate(cos(a)/sqrt((tan(a))^2 +1),a,-%pi/2,%pi/2);
The number 1 isn't in the domain of atanh
-- an error. To debug this try: debugmode(true);
(%i4) intanalysis:false$
(%i5) integrate(cos(a)/sqrt((tan(a))^2+1),a,-%pi/2,%pi/2);
%pi
(%o5) ---
2
Calcula simbólicamente la integral de expr respecto de x. La llamada
integrate (expr, x) resuelve una integral indefinida, mientras que
integrate (expr, x, a, b) resuelve una integral definida con
límites de integración a y b.
Los límites no pueden contener a x. El argumento
a no necesita ser menor que b.
Si b es igual a a, integrate devuelve cero.
Véase quad_qag y funciones relacionadas para la aproximación numérica de integrales definidas.
Véase residue para el cálculo de residuos (integración compleja).
Véase antid para un método alternativo de resolución de integrales indefinidas.
Se obtendrá una integral (es decir, una expresión sin integrate) si integrate tiene éxito en el cálculo. En otro caso, la respuesta es la forma nominal de la integral (esto es, el operador 'integrate precedido de apóstrofo) o una expresión que contiene una o más formas nominales. La forma nominal de integrate se muestra con un símbolo integral.
En ciertos casos es útil proporcionar una forma nominal ’a mano’, haciendo preceder integrate con una comilla simple o apóstrofo, como en 'integrate (expr, x).
Por ejemplo, la integral puede depender de algunos parámetros que todavía no han sido calculados.
La forma nominal puede aplicarse después a sus argumentos haciendo ev (i, nouns)
donde i es la forma nominal de interés.
La función integrate trata de manera diferente las integrales definidas de las indefinidas,
empleando una batería de heurísticas especial para cada caso.
Casos especiales de integrales definidas incluyen las que tienen límites de integración iguales a cero o a infinito (inf o minf), funciones trigonométricas con límites de integración igual a cero y %pi o 2 %pi, funciones racionales, integrales relacionadas con las funciones beta y psi y algunas integrales logarítmicas y trigonométricas. El tratamiento de funciones racionales puede incluir el cálculo de residuos.
Si no se reconoce ninguno de los casos especiales, se intenta resolver la integral idefinida y evaluarla en los límites de integración. Esto incluye tomar límites cuando alguno de los extremos del intervalo de integración se acerca a más infinito o a menos infinito; véase también ldefint.
Casos especiales de integrales indefinidas incluyen a las funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y racionales. La función integrate también hace uso de una pequeña tabla de integrales elementales.
La función integrate puede llevar a cabo cambios de variable si el integrando es de la forma f(g(x)) * diff(g(x), x), entonces integrate trata de encontrar una subexpresión de g(x) tal que la derivada de g(x) divida el integrando. Esta búsqueda puede hacer uso de las derivadas establecidas con la función gradef.
Véanse también changevar y antid.
Si ninguna de las heurísticas descritas resuelve la integral indefinida, se ejecuta el algoritmo de Risch.
La variable risch puede utilizarse como una evflag, en una llamada a ev o en la línea de comandos
por ejemplo, ev (integrate (expr, x), risch) o integrate (expr, x), risch.
Si risch está presenta, integrate llama a la función risch sin intentar primero las heurísticas. Véase también risch.
La función integrate opera únicamente con relaciones funcionales que se representen explícitamente con la notación f(x), sin considerar las dependencias implícitas establecidas mediante la función depends.
Es posible que integrate necesite conocer alguna propiedad de alguno de los parámetros presentes en el integrando, en cuyo caso integrate consultará en primer lugar la base de datos creada con assume, y si la variable de interés no se encuentra ahí, integrate le preguntará al usuario. Dependiendo de la pregunta, posibles respuestas son: yes;, no;, pos;, zero; o neg;.
Por defecto, integrate no se considera lineal. Véanse declare y linear.
La función integrate intentará la integración por partes sólo en casos especiales.
Ejemplos:
(%i1) integrate (sin(x)^3, x);
3
cos (x)
(%o1) ------- - cos(x)
3
(%i2) integrate (x/ sqrt (b^2 - x^2), x);
2 2
(%o2) - sqrt(b - x )
(%i3) integrate (cos(x)^2 * exp(x), x, 0, %pi);
%pi
3 %e 3
(%o3) ------- - -
5 5
(%i4) integrate (x^2 * exp(-x^2), x, minf, inf);
sqrt(%pi)
(%o4) ---------
2
assume e interacción.
(%i1) assume (a > 1)$
(%i2) integrate (x**a/(x+1)**(5/2), x, 0, inf);
2 a + 2
Is ------- an integer?
5
no;
Is 2 a - 3 positive, negative, or zero?
neg;
3
(%o2) beta(a + 1, - - a)
2
gradef y otra utilizando la derivada diff(r(x)) de una función no especificada r(x).
(%i3) gradef (q(x), sin(x**2));
(%o3) q(x)
(%i4) diff (log (q (r (x))), x);
d 2
(-- (r(x))) sin(r (x))
dx
(%o4) ----------------------
q(r(x))
(%i5) integrate (%, x);
(%o5) log(q(r(x)))
'integrate.
En este ejemplo, Maxima puede extraer un factor del denominador de una función racional, pero no puede factorizar el resto. La función grind muestra la forma nominal 'integrate del resultado.
Véase también integrate_use_rootsof para más información sobre integrales de funciones racionales.
(%i1) expand ((x-4) * (x^3+2*x+1));
4 3 2
(%o1) x - 4 x + 2 x - 7 x - 4
(%i2) integrate (1/%, x);
/ 2
[ x + 4 x + 18
I ------------- dx
] 3
log(x - 4) / x + 2 x + 1
(%o2) ---------- - ------------------
73 73
(%i3) grind (%);
log(x-4)/73-('integrate((x^2+4*x+18)/(x^3+2*x+1),x))/73$
f_1 en este ejemplo contiene la forma nominal de integrate.
El operador comilla-comilla '' hace que se evalúe la integral y su resultado será el que defina a la función f_2.
(%i1) f_1 (a) := integrate (x^3, x, 1, a);
3
(%o1) f_1(a) := integrate(x , x, 1, a)
(%i2) ev (f_1 (7), nouns);
(%o2) 600
(%i3) /* Note parentheses around integrate(...) here */
f_2 (a) := ''(integrate (x^3, x, 1, a));
4
a 1
(%o3) f_2(a) := -- - -
4 4
(%i4) f_2 (7);
(%o4) 600
Valor por defecto: %c
Cuando una constante de integración se crea durante la integración definida
de una ecuación, el nombre de la constante se construye concatenando
integration_constant y integration_constant_counter.
A integration_constant se le puede asignar un símbolo cualquiera.
Ejemplos:
(%i1) integrate (x^2 = 1, x);
3
x
(%o1) -- = x + %c1
3
(%i2) integration_constant : 'k; (%o2) k
(%i3) integrate (x^2 = 1, x);
3
x
(%o3) -- = x + k2
3
Valor por defecto: 0
Cuando una constante de integración se crea durante la integración definida
de una ecuación, el nombre de la constante se construye concatenando
integration_constant y integration_constant_counter.
La variable integration_constant_counter se incrementa antes de construir la
constante de integración siguiente.
Ejemplos:
(%i1) integrate (x^2 = 1, x);
3
x
(%o1) -- = x + %c1
3
(%i2) integrate (x^2 = 1, x);
3
x
(%o2) -- = x + %c2
3
(%i3) integrate (x^2 = 1, x);
3
x
(%o3) -- = x + %c3
3
(%i4) reset (integration_constant_counter); (%o4) [integration_constant_counter]
(%i5) integrate (x^2 = 1, x);
3
x
(%o5) -- = x + %c1
3
Valor por defecto: false
Si integrate_use_rootsof vale true y el denominador de una función racional no se puede factorizar, integrate devuelve la integral como una suma respecto de las raíces desconocidas del denominador.
Por ejemplo, dándole a integrate_use_rootsof el valor false,
integrate devuelve la integral no resuelta de la función racional en forma nominal:
(%i1) integrate_use_rootsof: false$
(%i2) integrate (1/(1+x+x^5), x);
/ 2
[ x - 4 x + 5
I ------------ dx 2 x + 1
] 3 2 2 5 atan(-------)
/ x - x + 1 log(x + x + 1) sqrt(3)
(%o2) ----------------- - --------------- + ---------------
7 14 7 sqrt(3)
Si ahora se le da a la variable el valor true, la parte no resuelta de la integral se expresa como una suma cuyos sumandos dependen de las raíces del denominador de la función racional:
(%i3) integrate_use_rootsof: true$
(%i4) integrate (1/(1+x+x^5), x);
==== 2
\ (%r4 - 4 %r4 + 5) log(x - %r4)
> -------------------------------
/ 2
==== 3 %r4 - 2 %r4
3 2
%r4 in rootsof(%r4 - %r4 + 1, %r4)
(%o4) ----------------------------------------------------------
7
2 x + 1
2 5 atan(-------)
log(x + x + 1) sqrt(3)
- --------------- + ---------------
14 7 sqrt(3)
Alternativamente, el usuario puede calcular las raíces del denominador separadamente y luego representar el integrando en función de dichas raíces, como por ejemplo 1/((x - a)*(x - b)*(x - c)) o 1/((x^2 - (a+b)*x + a*b)*(x - c))
si el denominador es un polinomio de tercer grado. En algunos casos, esto ayudará a Maxima mejorar sus resultados.
Calcula la integral definida de expr utilizando limit tras el cálculo de la integral indefinida de expr respecto a x en los extremos de integración b y a.
Si no consigue calcular la integral definida,
ldefint devuelve una expresión con los límites en forma nominal.
La función integrate no llama a ldefint,
de modo que la ejecución de ldefint (expr, x, a, b) puede dar un resultado diferente que
integrate (expr, x, a, b). La función
ldefint siempre utiliza el mismo método para calcular la integral definida,
mientras que integrate puede hacer uso de varias heurísticas y reconocer así casos especiales.
Calcula el residuo en el plano complejo de la expresión expr cuando la variable z toma el valor z_0. El residuo es el coeficiente de (z - z_0)^(-1) en el desarrollo de Laurent de expr.
(%i1) residue (s/(s**2+a**2), s, a*%i);
1
(%o1) -
2
(%i2) residue (sin(a*x)/x**4, x, 0);
3
a
(%o2) - --
6
Integra expr respecto de x utilizando el caso trascendental del algoritmo de Risch. El caso algebraico del algoritmo de Risch no se ha implementado. Este método trata los casos de exponenciales y logaritmos anidados que no resuelve el procedimiento principal de integrate. La función integrate llamará automáticamente a risch si se presentan estos casos.
Si la variable erfflag vale false, evita que risch introduzca la función erf
en la respuesta si ésta no estaba presente previamente en el integrando.
(%i1) risch (x^2*erf(x), x);
2
3 2 - x
%pi x erf(x) + (sqrt(%pi) x + sqrt(%pi)) %e
(%o1) -------------------------------------------------
3 %pi
(%i2) diff(%, x), ratsimp;
2
(%o2) x erf(x)
Equivale a ldefint cuando tlimswitch vale true.
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