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Néssa página vamos considerar integrais indefinidas. Veja também Integrais Definidas.
Maxima pode calcular integrais indefinidas de muitas funções. Integração Simbólica descreve o algorítmo para calcular integrais indefinidas.
integrate(x/(x^3 + 1), x);
2 x - 1
2 atan(-------)
log(x - x + 1) sqrt(3) log(x + 1)
--------------- + ------------- - ----------
6 sqrt(3) 3
Para verificar esse resultado, vamos calcular sua derivada:
diff(%, x);
2 2 x - 1 1
------------------ + -------------- - ---------
2 2 3 (x + 1)
(2 x - 1) 6 (x - x + 1)
3 (---------- + 1)
3
Isso é uma adição de três expressões racionais. Óbviamente, todo termo da integral contribui com uma expressão racional. Usamos ratsimp para trazer todas as três expressões a um denominador comum:
ratsimp(%);
x
------
3
x + 1
Vamos olhar em um exemplo com funções trigonométricas e exponenciais:
integrate(exp(a*x)*sin(x)*cos(x), x) ;
Obtemos:
a x
%e (a sin(2 x) - 2 cos(2 x))
(%o1) -------------------------------
2
2 (a + 4)
Para verificar o resultado, calculamos a derivada:
(%i2) diff(%, x);
a x a x
a %e (a sin(2 x) - 2 cos(2 x)) %e (4 sin(2 x) + 2 a cos(2 x))
(%o2)--------------------------------- + ---------------------------------
2 2
2 (a + 4) 2 (a + 4)
Essa resposta é uma surpresa, mas simplificação fornece
ratsimp(%);
a x
%e sin(2 x)
(%o3) --------------
2
Para nos livrar-mos do seno de arco múltiplo, aplicamos trigexpand:
trigexpand(%);
a x
(%o4) %e cos(x) sin(x)
Algumas vezes Maxima responde a então chamada 'forma substantiva' de uma integral. Isso diz a você que Maximafoi inapto para encontrar uma integral:
integrate(1/((x-3)^4+1/2), x);
/
[ 1
(%o5) I ------------ dx
] 4 1
/ (x - 3) + -
2
Algumas vezes uma mudança da variável de integração ajuda:
changevar (%, x - 3 - y ,y ,x);
/
[ 1
(%o6) 2 I -------- dy
] 4
/ 2 y + 1
Agora podemos integrar:
ev (%, integrate);
e obtemos
2 3/4 2 3/4
log(sqrt(2) y + 2 y + 1) log(sqrt(2) y - 2 y + 1)
(%o8) 2 (---------------------------- - ----------------------------
3/4 3/4
4 2 4 2
3/4 3/4
2 sqrt(2) y + 2 2 sqrt(2) y - 2
atan(------------------) atan(------------------)
3/4 3/4
2 2
+ ------------------------ + ------------------------)
3/4 3/4
2 2 2 2
Substituição reversa nos fornece a integral desejada.
sfx: %, y=x-3;
2 3/4
log(sqrt(2) (x - 3) + 2 (x - 3) + 1)
(%o8) 2 (----------------------------------------
3/4
4 2
3/4
2 sqrt(2) (x - 3) + 2
atan(------------------------)
2 3/4 3/4
log(sqrt(2) (x - 3) - 2 (x - 3) + 1) 2
- ---------------------------------------- + ------------------------------
3/4 3/4
4 2 2 2
3/4
2 sqrt(2) (x - 3) - 2
atan(------------------------)
3/4
2
+ ------------------------------)
3/4
2 2
O integrando é uma função positiva em todo lugar. Para tais funções podemos avaliar a integral nos limites de uma integral definida para obter seu valor. Para calcular:
'integrate(1/((x-3)^4+1/2), x,0, 1);
1
/
[ 1
(%o17) I ------------ dx
] 4 1
/ (x - 3) + -
0 2
podemos escrever:
ratsimp(subst (1, x, sfx) - subst(0, x, sfx));
Essa expressão usa substituição para avaliar a integral indefinida nos limites da integral definida. Obtemos:
3/4 3/4
1/4 2 + 6 sqrt(2) 1/4 2 + 4 sqrt(2)
(%o14) (2 2 atan(----------------) - 2 2 atan(----------------)
3/4 3/4
2 2
1/4 3/4 1/4 3/4
+ 2 log(3 2 + 9 sqrt(2) + 1) - 2 log(2 2 + 4 sqrt(2) + 1)
1/4 3/4 1/4 3/4
+ 2 log(- 2 2 + 4 sqrt(2) + 1) - 2 log(- 3 2 + 9 sqrt(2) + 1)
3/4 3/4
1/4 6 sqrt(2) - 2 1/4 4 sqrt(2) - 2
+ 2 2 atan(----------------) - 2 2 atan(----------------))/4
3/4 3/4
2 2
O valor numérico é:
(%i15) float(%);
(%o15) 0.02880633385274
integração numérica pelo método de Romberg confirma aquele resultado:
(%i16) romberg(1/((x-3)^4+1/2), x,0, 1);
(%o16) 0.02880633392455
O seguinte exemplo mostra como um integrando da forma f(x)*f'(x) é manuseado:
p: (x^3 + x^2)^2*(3*x^2 + 2*x);
2 3 2 2
(%o4) (3 x + 2 x) (x + x )
p2: expand(p);
8 7 6 5
(%o5) 3 x + 8 x + 7 x + 2 x
integrate(p2*sin(2*x^3 + 2*x^2)*cos(x^3 + x^2),x);
Obtemos:
3 2 3 2 6 5 4
(%o6)((6 x + 6 x ) sin(3 x + 3 x ) + (- 9 x - 18 x - 9 x + 2)
3 2 3 2 3 2
cos(3 x + 3 x ) + (54 x + 54 x ) sin(x + x )
6 5 4 3 2
+ (- 27 x - 54 x - 27 x + 54) cos(x + x ))/54
The following integral can be computed
integrate((-4*x^3*(x^4 + 1)^(2/3)
-16*x^3*(x^4 + 1)^(1/3))
/(3*x^8 +6*x^4 + 3), x);
Obtemos:
1 2
(%o2) ----------- + -----------
4 1/3 4 2/3
(x + 1) (x + 1)
Simplificações com ratsimp fornece:
4 2/3 4 1/3
(x + 1) + 2 (x + 1)
(%o3) ---------------------------
4
x + 1
Uma integral desprezívelmente mais complicada é resolvida em termos de exponencial e logarítmos:
integrate(((6*x^5 + 7*x^4 - 36*x^3 + 18*x - 21)*(x^4 + 1)^(2/3)
+ (2*x^6 - 20*x^4 - 40*x^3 + 18*x^2 + 12)*(x^4 + 1)^(1/3))
/(3*x^8 +6*x^4 + 3), x);
4 4
2 log(x + 1) log(x + 1)
------------- -----------
2 3 3 3
(3 x - 7 x + 9) %e + (2 x + 4 x + 5) %e
(%o4) -----------------------------------------------------------------
4
x + 1
Temos que usar radcan para obter uma representação canônica dos radicais:
radcan(%);
2 4 2/3 3 4 1/3
(3 x - 7 x + 9) (x + 1) + (2 x + 4 x + 5) (x + 1)
(%o5) -----------------------------------------------------------
4
x + 1
**
(%i6) integrate (7*tan(x)^8 + 7*tan(x)^6, x);
7 5 3
15 tan (x) - 21 tan (x) + 35 tan (x) - 105 tan(x)
(%o6) 7 (------------------------------------------------- + x)
105
5 3
3 tan (x) - 5 tan (x) + 15 tan(x)
+ 7 (--------------------------------- - x)
15
(%i7) ratsimp(%);
7
(%o7) tan (x)
uma integral definida.
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